30 d’abril de 2018

Tasques riques i Fibonacci

La successió de Fibonacci (una successió en que cada terme és la suma dels dos anteriors) és una font inesgotable de tasques riques. En aquest post comentem tres exemples.

Tasca 1

Aquí tenim un exemple proposat en Cicle Inicial on l'objectiu és practicar de manera productiva sumes en el rang 0-100:

"Laboratori de nombres" (1r Primària, Innovamat)
A diferència del primer apartat de la tasca en que la solució en cada cas és única (encara que les estratègies que demanen no és la misma en els quatre casos)
  • a l'apartat 2 es demanen dues de deu solucions possibles (en les primeres dues cel·les es poden col·locar els nombres 1-10. 2-9, ..., 10-1) Val a observar que els cucs generats en col·locar en les dues primeres cel·les 3 i 8 o 8 i 3 no són iguals: 
  • a l'apartat 3, el fet de no demanar que l'última anella hagi de tenir al 50 sinó un nombre proper a ell, permet que els alumnes vagin provant i millorant les seves solucions sense sensació de fracàs mentre fan un munt de sumes que és en el fons el que volem practicar.
A alumnes més grans o com a tasca d'ampliació
  • sí que se'ls pot proposar trobar totes les parelles de nombres que col·locats en les dues primeres anelles generen que el 50 quedi en la cinquena. Quan troben les 9 parelles possibles (si ens restringim a utilitzar nombres naturals) podem demanar-lo el patró que segueixen (1-16, 4-14, 7-12, 10-10, 13-8, 16-6, 19-4, 22-2 i 25-0).
  • els podem preguntar quina relació troben entre l’anella central i la suma de les dels extrems (a la imatge següent es veu una justificació que pot complementar la conjectura que facin els alumnes al respecte)

Tasca 2

Però no cal restringir-nos a successions de 5 termes, aquí tenim un exemple proposat en Cicle Superior on l'objectiu és practicar de manera productiva el càlcul de mitjanes:
Matemàtiques 6è (Ed. Barcanova)
La justificació de que la mitjana entre la cel·les n i n+3 és la cel·la n+2 pot ser visual:
I també pot ser visual la justificació de que la mitjana entre la cel·les n, n+1 i n+6 és la cel·la n+4

Tasca 3

Comencem demanant que s'escriguin tots els termes de la successió de Fibonacci (en la seva versió estàndar, o sigui, començant amb 1 i 1) menors que 1000. Pot semblar una tasca molt llarga però ens adonem que no és així: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987

A continuació fem propostes com aquestes:
  • verifica que entre aquests nombres només un de cada tres termes és parell, un de cada quatre és múltiple de 3, un de cada cinc és múltiple de 5. Com continuaries aquesta sèrie? 
  • divideix cada terme de la successió entre 3 i pren nota dels residus que vas obtenint. Què observes? Què passa si canvies el divisor per un altre nombre (per exemple: 7)? 
Es pot veure que en dividir entre 3 els termes de la successió s'obtenen els residus: 1,1,2,0,2,2,1,0 en bucle. I aquests bucles es poden trobar qualsevol sigui el divisor. El @DavidKButlerUoA va piular imatges que il·lustren aquest fet amb reglets Cuisenaire. Per exemple, el cas del divisor 3:

@DavidKButlerUoA
La xifra final dels nombres que formen la successió de Fibonacci (o sigui, el residu de dividir aquests nombres entre 10) no s'escapen a aquest resultat i també es repeteixen seguint un bucle de longitud 60!! A més unint aquests nombres a mida que apareixen en el bucle es dibuixa un interessant patró geomètric, tal com es veu en aquesta imatge de @panlepan

@panlepan
  • verifica la següent afirmació amb tots els nombres de dues xifres: "tot nombre natural es pot escriure de manera única com la suma de termes diferents de la successió de Fibonacci" 
Aquest resultat es coneix com a teorema de Zeckendorf i, a més afirma, que si exigim que no hagi nombres de Fibonacci consecutius la descomposció és única.

20 d’abril de 2018

Arrels quadrades a Primària? I tant!

Una vegada més advoquem per no confondre una operació amb el seu algorisme. No és el mateix saber dividir que saber executar l'algorisme tradicional de la divisió i podem treballar la noció d'arrel quadrada a l'aula de primària sense ni esmentar l'algorisme estandard de l'arrel quadrada que va traumatitzar a alguns alumnes del segle passat, i que la majoria vam aprendre sense entendre per què funcionava.

A l'igual que per altres operacions que ja vam comentar en posts d'aquest blog, l'algorisme estandard no és l'únic i, encara que eficient (en temps en que no existien calculadores era un procediment eficient per fer el càlcul) probablement, és un dels algorisme menys transparents que podríem haver estudiat. Recomanem efusivament la sèrie de posts sobre algorismes de l'arrel quadrada escrits pel Joan Jareño en el seu blog
En el nostre blog també vam tocar aquest tema en un post anomenat Jocs i pràctica del càlcul: golf on defensavem la possibilitat d'apropar-nos al concepte d'arrel quadrada d'un nombre a partir de l'estimació.

Avui volem afegir a aquestes reflexions un vídeo gravat en el context del mòdul 2 del curs ARAMAT durant la sessió dedicada a nombres decimals


D'aquesta sessió volem destacar més enllà del que es veu al vídeo
  • l'ús de l'applet que apareix a la imatge per introduir la noció de lupa que ens permet la densitat dels nombres decimals 

  • la relació entre el valor obtingut per aproximacions successives en un procés que pot ser tan llarg com vulgem i el nombre que veiem en la pantalla d'una calculadora quan li demanem l'arrel quadrada d'un nombre.