30 de març de 2018

Un altre material per treballar la probabilitat

Complementant la sèrie d'entrades que ja vam dedicar a materials manipulatius per treballar la probabilitat avui parlarem d'un "artefacte" que coneixíem des de que el vam veure dins de la Caixa de Varga però sobre el qual no havíem parat atenció encara.

Es tracta d'una capseta de plàstic on hi ha una sèrie de boletes de diferents colors que apareixen alineades i no es poden moure i la mateixa quantitat de boles (i dels mateixos colors) que es mouen lliurement per la capseta. Al llibre "Combinatoire, statistiques et probabilités de 6 à 14 ans" de T. Varga i M. Dumont (1973) podem veure un dibuix i un petita anàlisi de l'artefacte i de les possibles coincidències quan alineem les boles lliures al costat de les fixes.

Comenten la temptació de pensar que la probabilitat de tenir k coincidències es representa així:
quan en realitat la probabilitat de que hi hagi 5 coincidència, malgrat que petita, és major que la probabilitat de que n'hi hagi 4, que és 0. Aquesta reflexió és extensible a altres quantitats de boles (n) ja que 1/n! = P(k=n) > P(k=n-1) = 0.

En realitat, la probabilitat de tenir k coincidències quan n= 5 es representa així:
En veure aquest gràfic ens ha sorprès que la diferència major en comparació al que proposàven Varga i Dumont com a "intuitiu" no és tant al voltant dels valors 4 i 5 com dels valors 0 i 1. Això es pot apreciar millor en analitzar la representació anterior per a altres quantitats de boles (n variant de 2 a 10)
Representació de la variació de la probabilitat de tenir k coincidències en els casos n=1 a n=10
Es així que ens hem preguntat quina relació hi ha entre P(k=0) i P(k=1) per a diferents valors de n i hem vist que:

  • P(k=0) < P(k=1) quan n és senar i P(k=0) > P(k=1) 
  • la diferència entre les dues probabilitats és 1/n!

Aquestes conclusions deriven de les dades següents:

  • A000166 llista de valors donada per l'OEIS per als desarranjaments, o sigui, permutacions en les quals cap dels elements del conjunt no apareix en la seva posició original
  • A000240 llista de valors donada per l'OEIS per a les permutacions que tenen un únic element del conjunt que apareix en la seva posició original
  • R(n,k) és el nombre de permutacions de n elements en què exactament k elements estan en les seves posicions originals (desarranjaments parcials).
En el joc "Cursa de probabilitat" de la Caixa de Varga apareixen quatre targetes relacionades amb aquest artefacte (n=6):
Font: Perímetre

L'artefacte ofereix la possibilitat d'afegir uns trossets de plàstic que limiten la llibertat de moviment de les boles lliures i que amplien la possibilitat de proposar preguntes de probabilitat

Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada