20 d’abril de 2018

Arrels quadrades a Primària? I tant!

Una vegada més advoquem per no confondre una operació amb el seu algorisme. No és el mateix saber dividir que saber executar l'algorisme tradicional de la divisió i podem treballar la noció d'arrel quadrada a l'aula de primària sense ni esmentar l'algorisme estandard de l'arrel quadrada que va traumatitzar a alguns alumnes del segle passat, i que la majoria vam aprendre sense entendre per què funcionava.

A l'igual que per altres operacions que ja vam comentar en posts d'aquest blog, l'algorisme estandard no és l'únic i, encara que eficient (en temps en que no existien calculadores era un procediment eficient per fer el càlcul) probablement, és un dels algorisme menys transparents que podríem haver estudiat. Recomanem efusivament la sèrie de posts sobre algorismes de l'arrel quadrada escrits pel Joan Jareño en el seu blog
En el nostre blog també vam tocar aquest tema en un post anomenat Jocs i pràctica del càlcul: golf on defensavem la possibilitat d'apropar-nos al concepte d'arrel quadrada d'un nombre a partir de l'estimació.

Avui volem afegir a aquestes reflexions un vídeo gravat en el context del mòdul 2 del curs ARAMAT durant la sessió dedicada a nombres decimals


D'aquesta sessió volem destacar més enllà del que es veu al vídeo
  • l'ús de l'applet que apareix a la imatge per introduir la noció de lupa que ens permet la densitat dels nombres decimals 

  • la relació entre el valor obtingut per aproximacions successives en un procés que pot ser tan llarg com vulgem i el nombre que veiem en la pantalla d'una calculadora quan li demanem l'arrel quadrada d'un nombre.

30 de març de 2018

Un altre material per treballar la probabilitat

Complementant la sèrie d'entrades que ja vam dedicar a materials manipulatius per treballar la probabilitat avui parlarem d'un "artefacte" que coneixíem des de que el vam veure dins de la Caixa de Varga però sobre el qual no havíem parat atenció encara.

Es tracta d'una capseta de plàstic on hi ha una sèrie de boletes de diferents colors que apareixen alineades i no es poden moure i la mateixa quantitat de boles (i dels mateixos colors) que es mouen lliurement per la capseta. Al llibre "Combinatoire, statistiques et probabilités de 6 à 14 ans" de T. Varga i M. Dumont (1973) podem veure un dibuix i un petita anàlisi de l'artefacte i de les possibles coincidències quan alineem les boles lliures al costat de les fixes.

Comenten la temptació de pensar que la probabilitat de tenir k coincidències es representa així:
quan en realitat la probabilitat de que hi hagi 5 coincidència, malgrat que petita, és major que la probabilitat de que n'hi hagi 4, que és 0. Aquesta reflexió és extensible a altres quantitats de boles (n) ja que 1/n! = P(k=n) > P(k=n-1) = 0.

En realitat, la probabilitat de tenir k coincidències quan n= 5 es representa així:
En veure aquest gràfic ens ha sorprès que la diferència major en comparació al que proposàven Varga i Dumont com a "intuitiu" no és tant al voltant dels valors 4 i 5 com dels valors 0 i 1. Això es pot apreciar millor en analitzar la representació anterior per a altres quantitats de boles (n variant de 2 a 10)
Representació de la variació de la probabilitat de tenir k coincidències en els casos n=1 a n=10
Es així que ens hem preguntat quina relació hi ha entre P(k=0) i P(k=1) per a diferents valors de n i hem vist que:

  • P(k=0) < P(k=1) quan n és senar i P(k=0) > P(k=1) 
  • la diferència entre les dues probabilitats és 1/n!

Aquestes conclusions deriven de les dades següents:

  • A000166 llista de valors donada per l'OEIS per als desarranjaments, o sigui, permutacions en les quals cap dels elements del conjunt no apareix en la seva posició original
  • A000240 llista de valors donada per l'OEIS per a les permutacions que tenen un únic element del conjunt que apareix en la seva posició original
  • R(n,k) és el nombre de permutacions de n elements en què exactament k elements estan en les seves posicions originals (desarranjaments parcials).
En el joc "Cursa de probabilitat" de la Caixa de Varga apareixen quatre targetes relacionades amb aquest artefacte (n=6):
Font: Perímetre

L'artefacte ofereix la possibilitat d'afegir uns trossets de plàstic que limiten la llibertat de moviment de les boles lliures i que amplien la possibilitat de proposar preguntes de probabilitat

10 de gener de 2018

Pràctica de divisions decimals

Després d'haver introduït la divisió decimal fent repartiments de diners i d'anar, poc a poc, independizant-se del context arriba el moment de practicar el procediment. Aquesta pràctica es pot en un fer en un ambient de resolució de problemes a partir de la proposta de petites investigacions. A continuació relatem un exemple portat a l'aula.

Primer de tot es van proposar unes quantes divisions de nombres enters de dues xifres entre 9 (23:9, 32:9, 45:9, 56:9, 65:9, 71:9 i 17:9) i a partir dels resultats obtinguts es va veure que és molt habitual que el resultat sigui un decimal periòdic i que el període no canvia quan s’invertien les xifres del dividend. Com a ampliació a aquesta primera tasca es va suggerir una pregunta: passarà el mateix amb nombres de tres xifres?

En la discusió de tancament de la tasca es va concluoure que en dividir un nombre natural entre 9 havia dos possibilitats: el resultat era un nombre enter o el resultat era un nombre decimal periòdic i que aquest periode coincidia amb el residu de la divisió entera


Després del treball fet amb el divisor 9 es va proposar investigar que passava amb altres divisors Què passa en dividir un nombre enter entre 3? Quines possibilitats hi ha? 
 


Què passa en dividir un nombre enter entre 2? Quines possibilitats hi ha?


Què passa en dividir un nombre enter entre 4? Quines possibilitats hi ha?


Què passa en dividir un nombre enter entre 5? Quines possibilitats hi ha?


Què passa en dividir un nombre enter entre 6? Quines possibilitats hi ha?


Què passa en dividir un nombre enter entre 8? Quines possibilitats hi ha?


Què passa en dividir un nombre enter entre 7? Quines possibilitats hi ha?


Com sempre que fem investigacions hem de tenir clar que les conclusions a les que arribem són conjectures que poden ser molt febles si els experiments que fem són pocs o poc representatius.


Cometre errades en aquest tipus de context no ha desanimar a cap alumne per dos motius: l’objectiu de practicar divisions decimals ha estat plenament assolit i cometent aquest tipus d’errades ens apropem a entendre com es validen les afirmacions matemàtiques.

Una altra qüestió que ens vam plantejar era analitzar com es feien aquestes divisions amb calculadora. Vam començar plantejant quatre divisions:


I vam preguntar què tenien en comú els resultats obtinguts:


A continuació vam proposar que fessin les mateixes divisions amb calculadora i van trobar un resultat que els va sorprendre molt:



Inspirats en la tasca Noodle Whack, per acabar la classe vam proposar que els alumnes, amb l’ajuda de la calculadora i el que havien après sobre com s’han de llegir els resultats que dóna aquesta eina, trobessin noves divisions entre nombres enters que tinguessin un quocient decimal format per una mateixa xifra repetida: