23 de setembre de 2015

Els primers nombres cúbics

Després dels posts sobre els primers nombres quadrats (1 i 2), presentem una sèrie d'activitats sobre els primers nombres cúbics. Malgrat que no considerem que memoritzar aquesta sèrie sigui tan important com l'altra, ens dóna una excel·lent oportunitat de proposar petites investigacions de cerca de patrons i regularitats.

1) Suma de senars consecutius
Omple els buits i fes una conjectura:
3 + 5 = ___³
7 + 9 + 11 = ___³
13 + 15 + 17 + 19 = ___³
21 + 23 + 25 + 27 + 29 = ___³

Solució: Els buits anteriors s'omplen amb els nombres 2, 3, 4 i 5 respectivament.

Les següents imatges suggereixen una justificació:
El cub d'aresta 4 es pot descompondre com a suma de quatre nombres senars (dos d'ells menors que 16 i dos d'ells majors que 16: 13+15+17+19) 
El cub d'aresta 5 es pot descomposar com a suma de cinc nombres senars (25, els dos anteriors i els dos següents: 21+23+25+27+29) 

2) Divisions entre 6
Tria un nombre natural i calcula el seu cub. Divideix els dos nombres entre 6. Què hi observes?

Solució: les dues divisions tenen el mateix residu.

La justificació d'aquest fet es basa en el fet que n³-n sempre és múltiple de 6 (una qüestió que es podria comprovar factoritzant n³-n =(n-1)n(n+1) i com que es tracta de tres nombres consecutius segur que un d'ells és múltiple de tres i al menys un d'ells és parell)

3) Suma de cubs dels dígits (I)
Hi ha quatre nombres de tres xifres que coicideixen amb la suma dels cubs de les seves xifres: un d'ells és el 153 (comprova-ho!) els altres tres nombres estan entre 370 i 410 (troba'ls)

Solució: els altres tres nombres són 370, 371 i 407

Font: Always Kidding!

4) Suma de cubs dels dígits (II)
Tria un nombre de tres xifres múltiple de 3. Suma els cubs dels seus dígits. Suma els cubs dels dígits del resultat obtingut en la suma anterior. Suma els cubs dels dígits del resultat obtingut en la suma anterior. Fes-ho uns quants cops més. Què observes?

Exemple: 258  645  405  189  1242  81  513  153  153  ...

Solució: Sempre acabem en el 153 (que com ja hem comentat a l'apartat anterior és un nombre que coincideix amb la suma dels cubs de les seves xifres)

La primera observació que cal fer és que partint d'un múltiple de 3 totes els resultats obtinguts ho continuaran sent (un fet que es relaciona amb que la suma dels dígits és múltiple de 3 i com que en elevar al cub no canvia el residu de les divisions entre 3 (ni entre 6 com ja hem vist) la suma dels dígits del resultat també serà múltiple de 3).

I també es pot observar que l'ordre de les xifres d'un nombre no afecta tota la sèrie de nombres que ve al darrere. Això fa que l'afirmació de que sempre s'arriba al 153 es sosté en un anàlisi exhaustiu de uns 75 nombres d'inici.

Es fer propostes alternatives:
  • començant triant un nombre de tres xifres que no sigui múltiple de 3 però que el seu anterior ho sigui. Aquí sortirà altre nombre de tres xifres que coicideix amb la suma dels cubs de les seves xifres: 370
  • començant triant un nombre de tres xifres que el seu següent sigui múltiple de 3. Aquí sortiran altres dos nombres de tres xifres que coicideixen amb la suma dels cubs de les seves xifres: 371 i 407
5) Suma de cubs dels dígits (III)
Ja sabem que hi ha nombre amb la particularitat de coincidir amb la suma dels cubs de les seves xifres... però podem portar aquesta curiositat més enllà relaxant una mica l'expressió "la suma dels cubs de les seves xifres"

a) Calcula 
16³ + 50³ + 33³ =   
22³ + 18³ + 59³ =   
34³ + 10³ + 67³ =   
44³ + 46³ + 64³ =   
48³ + 72³ + 15³ =   
98³ + 28³ + 27³ =   
98³ + 32³ + 21³ = 

166³ + 500³ + 333³ =  
296³ + 584³ + 415³ = 
710³ + 656³ + 413³ = 
828³ + 538³ + 472³ = 

Solució: Les operacions plantejades tenen per resultat la concatenació de les tres bases 165033, 221859, 341067, 444664, 487215, 982827 i 983221; el mateix passa amb els nombres de tres xifres: 166500333, 296584415, 710656413 i 828538472


b) Calcula i fes una conjectura:
1³+5³+3³ = 
16³+50³+33³ = 
166³+500³+333³ = 
1666³+5000³+3333³ = 

Solució: Les operacions plantejades tenen per resultat 153, 165033, 166500333 i 166650003333. A partir d'aquests resultats sembla natural conjecturar que 16...6 ³ + 50...0 ³ + 33...3 ³ 16…650…033…3.


Justificació: independentment de l'objectiu de treball amb els nombres cúbics i treballant amb alumnes que ja tinguin una relació fluïda amb la manipulació algebraica, podem justificar la conjectura.

Si n = 16…6 llavors 3n+2=50…0 i 2n+1 = 33…3, per tant, n ³+(3n+2) ³+(2n+1)³ = n(6n+4) ²+(3n+2)(6n+4)+2n+1 = n · 100…0 ²+(3n+2) · 100…0+2n+1 = 16…6 · 100…0 ² + 50…0 · 100…0 + 33…3 = 16…650…033…3

6) La xifra final dels nombres cúbics
Escriu els primers nombres cúbics en ordre creixent i analitza la xifra de les unitats de cadascun d'ells. Què observes?

Solució: El diagrama que apareix a continuació representa que qualsevol nombre acabat en 0, 1, 4, 5, 6 i 9 en elevar-lo al cub no modifica la seva última xifra, però els nombres acabats en 2 elevats al cub acaben en 8, els acabats en 8 acaben en 2, els acabats en 3 acaben en 7 i els acabats en 7 acaben en 3.
En conclusió, els nombres cúbics poden acabar en qualsevol dígit (una cosa que no passava amb els nombres quadrats).

17 de setembre de 2015

Celebrem els 200 posts parlant dels origens del PuntMat

Estem de celebració: el post anterior va ser el número 200, però també celebrem un aniversari: aquest curs fa 10 anys que vàrem publicar una col·lecció de quaderns d'Aritmètica seguint les idees dels holandesos de l'Institut Freudenthal en el seu llibre "Children Learn Mathematics".

El seu nom va ser 3x6.mat (sis cursos, tres quaderns per curs i el ".mat" que va donar origen al nostre nom "PuntMat"). Volia ser una proposta de llibre alternatiu d'Aritmètica des de primer a sisè. Actualment tot i que estan pràcticament descatalogats, (no és fàcil trobar-los) ens fa il·lusió pensar que ja fa 10 anys que estem parlant d'algorismes basats en nombres i no en xifres, flexibilitat al càlcul, models estructuradors (collarets, graella del 100, diners...), càlcul en columnes etc. i que poden ser un instrument útil, encara per gent que s'inicii en aquesta mentalitat.


Us convidem a una visita guiada en 18 "postals" (3 per curs) perquè tingueu una idea del seu contingut. 

PRIMER DE PRIMÀRIA

Tipologia de problemes additius
Quadern 1 pàgina 23
Segons Carpenter, una de les classes de problemes additius són els de canvi (o transformació). L'activitat anterior és un exemple paradigmàtic d'aquest tipus de problemes, recrea un viatge d'autobús "Hi ha 9 persones en l'autobús, en baixen tres. Quantes queden a l'autobús? La proposta demana fer el problema manipulativament i l'objectiu és fer la transcripció simbòlica: identificar  9 - 3 = 6 amb "si n'hi van 9 i en baixen tres al final en queden 6". Més informació aquí. Fins i tot hi ha vídeos que plategen problemes amb autobusos: aqui

Comptatge acústic
Quadern 2 pàgina 11
Els tallerets són unes mini-activitats que encapsulen aproximadament la meitat de les pàgines dels quaderns de primer, curs en el que cal fer moltes activitats curtes d'adquisició d'habilitats
 Dir l'anterior d'un nombre no és gens fàcil. Entre les primeres habilitats de comptatge hi ha el comptar endavant i endarrere d'un en un, i també la de dir l'anterior i el següent, habilitat que no és tan immediata com pot semblar a primera vista. 
D'entrada algú que no hagi treballat amb nens i nenes d'aquestes edats veient que saben comptar endavant i endarrere, i que diuen el següent d'un nombre amb tota facilitat, pot pensar que si demana  l'anterior passarà igual. 
Si els fem fer l'activitat contestant sobre un paper no ens adonarem, però si els ho preguntem és molt possible que alguns nens tardin molt en donar la resposta. Si els demanem que diguin com ho compten per dir l'anterior de 13, veurem que el que fan és començar per l´ú anar fins el 13 i aleshores tirar endarrere i dir "12". Saber dir l'anterior és important sobretot quan els toqui solucionar problemes de resta.

La graella del 100
Quadern 3 pàgina4
La graella del 100, un dels recursos molt utilitzats en aquests quaderns ja que es aacompanya a identificar unitats i desenes de manera estructurada, a CI,  a estudiar els múltiples a CS, passant per les multiplicacions a CM.
En aquesta activitat, es treballen dos aspectes: escriure l'anterior i el següent d'un nombre i trobar quin nombre va a cada color.
Les estratègies per solucionar la segona part de la tasca poden ser diverses: per exemple, per fer el requadre vermell, poden partir del 49 i fer 49 i 59, 69 i després dir l'anterior: 68 o poden sortir del 75 i fe 65,66 etc del 30 etc. L'objectiu de càlcul és treballar el comptatge acústic d'un en un i de deu en 10 endavant i endarrere. Més informació aquí i aquí.

SEGÒN DE PRIMÀRIA

Pràctica individual d'habilitats 

Quadern 4 pàgina2
L'objectiu d'aquest tipus d'activitat és Informar als alumnes i als seus pares sobre el què es treballarà de pràctica. Això permet que els alumnes s'assabentin  que els va bé i en que van més fluixos.
Aquest tipus d'activitats surten dos cops a cada quadern, de primer a tercer curs,  a la pàgina 2 i 14. Això implica que funciona com a avaluació inicial o presentació de continguts, en començar i quan s'està a la meitat del quadern.

La línia numèrica buida
Quadern 5 pàgina 4
L'ús de models estructurats com la recta numèrica ens permet, treballar habilitats bàsiques: comptar de 10 en 10 i de 5 en 5, estratègies de càlcul per exemple per arribar a 59 poden fer cinc salts de 10, un de 5 i quatre d'1, però també sis salts de 10 i tirar enrere un. Aquesta és l'anomenada estratègia de salts que permet "fer sumes" amb altres instruments que no siguin els algorismes. Més informació aquí.

Estimació
Quadern 6 pàgina 5
Tenim aquí un exemple d'activitat en la que el càlcul mental ve acompanyat de certa capacitat de decisió. Per exemple, per decidir si 59+41 és més gran, igual o més petit que 100 cal afinar, però amb 34+30 no cal fer la suma. Amb quines parelles de nombres passaria això? per què? i en les restes?. Més informació aquí.

TERCER DE PRIMÀRIA

Les taules de multiplicar
Quadern 7 pàgina 10
Si durant el procès d'aprenentatge de les taules de multiplicar, ens fixem en les tècniques de memorització que utilitzen de manera natural els alumnes que avancen més, veurem que molts cops apliquen una estratègia que anomenem "fets coneguts - fets derivats". Si partim que els alumnes ja saben la taula del 10 i han de calcular 7x9, per exemple, poden pensar si 10 grups de 7 són 70, nou grups seran 70-7. Raonaments com aquests els obra la porta a seva memorització. Més informació sobre taules aquí, aquí, aquí i aquí.


Estratègies alternatives
Quadern 8 pàgina 6
A partir de dos personatges es discuteix  la confrontació entre les seves  (als que podríem anomenar l’algorísmic i el "gandul"), o sigui el que busca la manera més eficaç de fer-ho per promoure l'ús d'estratègies alternatives eficients. Per poder fer el gandul, cal dominar les Mates.

Propostes als pares i mares
Quadern 9 pàgina 2
Convidar als pares i mares a fer activitats que no representin "ensenyar-los res" sinó plantejar reptes, que molts cops tenen la particularitat que impliquen a tota la família, des del punt de vista que d'entrada ningú té la solució.
En aquest cas es tracta de triar, entre les cartes de l'1 al 9 quatre nombres i utilitzant-los tots quatre, sumant restant multiplicant o dividint aconseguir el nombre 24.. Per exemple amb 1,2, 3 i 4 una solució podria ser 3x4x2x1, i amb 2,3,5 i 7,  7x3+5-2. Ideal per a un viatge avorrit en cotxe: apuntar la matricula del cotxe del davant i mirar d'aconseguir el 24 amb els seus 4 nombres, a veure qui dels viatgers ho troba.


QUART DE PRIMÀRIA

Construcció dels algorismes
Quadern 10 pàgina 24
Ens els últims quatre anys s'ha parlat molt del fet de portar a les classes els algorismes basats en nombres, com a un contingut més a treballar, endarrerint la presentació dels algorismes estàndard. En relació a això, en el plantejament del 3x6.mat optem per el "càlcul en columnes". La proposta és  que tots els alumnes dominin aquest tipus d'algorisme i endarrerir la presentació dels estàndard. Aquest full és la introducció a la divisió en columnes.
La il·lustració que acompanya  a l'explicació no és gratuïta: la construcció grupal ajuda a la transparència, es a dir a entendre a fons cada pas que realitzen. Podeu trobar més informació sobre el tema de la construcció aquí


Pràctica productiva
Quadern 11 pàgina 25
A l'hora de exercitar algorismes, normalment s'acostumen a proporcionar fulls d'operacions, activitats que tenen una dinàmica passiva. En plantejar un treball en grup en el que cal resoldre un "problema" com l'anterior, fer divisions forma part del procès: Però no és l'objectiu. L'objectiu és resoldre el repte.
Si demanem al final si han fet servir alguna estratègia, poden sortir respostes com, en el cas del 723, per exemple, "provo primer amb el 7 al divisor  ja que amb el 2 solament pot ser l'1 o el 2.  
Més  informació sobre aquesta activitat en concret aquí

 Minilliçons
Quadern 12 pàgina 30
Minilliçons són  aquelles activitats que promouen l'ús de fets derivats: deduir el resultat d'una operació a partir d'una ja resolta.  Implica entrar a manejar  propietats de les operacions, sentit numèric, etc. i així aprofundir en el coneixement dels nombres, les seves propietats i les estratègies implicades.
S'avisa amb un llamp quan l'exercici és complicat. Activitats així potencíen "que parlin ells" quan han d'explicitar  el raonament que els ha portat a solucionar la tasca.
Més informació aquí i aquí.

CINQUÈ DE PRIMÀRIA
Acotar i estimar
Quadern 13 pàgina 30
En aquesta activitat, un altre cop, el "que parlin ells" es potencia. Per exemple: en el cas del 439x3: 
  • "Arrodonint per baix 400x3= 1200 per tant serà més gran que 1200"   
  • "arrodonint a per dalt 132 x 5 farem 200x5 = 1000. 
  • Per tant 132x5 serà la més petita. Ho comprovem amb la calculadora

Calculadora trencada
Quadern 14 pàgina 12
Sota aquest nom hi entra un tipus d'activitats en la que l'argument principal és que disposem d'una calculadora que té algunes tecles que no funcionen. Això genera el problema que per calcular una operació, necessito trobar un camí alternatiu. Com resoldre el problema?
 Per exemple en el cas de 36 x 374 una sortida seria multiplicar per 18 i per 2, o per 72 i dividir per dos, o multiplicar per 35 y sumar 374.
Trobareu informació aquí. Val a dir que en aquest cas els applets ens fan un gran servei i hi ha un bon recull d'aquest tipus de calculadores al nostre blog d'applets.

Ús del context 
divisió amb decimals
Quadern 15 pàgina 31
 La presentació de continguts o procediments nous en cursos elevat, es continua plantejant sota la filosofia del "càlcul en context",  és a dir plantejar una activitat que els alumnes puguin resoldre, aplicant  els seus coneixement, dona una base sòlida per posteriorment passar al món del símbols.
En aquest cas el contingut a treballar és "treure decimals en una divisió" on enlloc de explicar quan i com posar la coma, es comença per resoldre una situació en context: repartir 10€ entre 4 moneders manipulativament veure que dóna 2€ i 50 cèntims: 10:4=2,50, i a partir d'aquí s'anirá  avançat  progressivament  cap el camp simbòlic, a psrtir de converses a classe.

 SISÈ DE PRIMÀRIA

Càlcul ràpid
Quadern 16 pàgina 30
Les sèries de càlcul ràpid, com per exemple les del Quinzet, presenten l'avantatge que es realitzen una quantitat important d'operacions en un període de temps curt: Es centren en càlculs bàsics i taules de multiplicar o "de dividir". 
En el 3x6.mat,  es presenten en dos fulls per quadern, a l'apartat d'avaluació, amb un canvi important:  augmenta la mida dels nombres, proposant operacions com, per exemple, 341+104 o divisions tipus 12:5, en les que cal donar quocient i residu. 
A sisè els dos fulls es diferencien. El primer, que segueix la idea de cinquè es titula "Rapidesa d'operacions: les de sempre"  i l'altre, "Rapidesa d'operacions: coses noves" on  s'amplia el camp i es fan: sèries de fraccions d'una quantitat, divisibilitat, tants per cent, sumes i restes de fraccions senzilles, trobar fraccions equivalents, divisibilitat, ordenar fraccions, ordenar decimals etc


Algorismes històrics
Quadern 17 pàgina 24
Hi ha una idea generalitzada sobre el caràcter únic de l'algorisme amb el que es resolen els càlculs aritmètics. Però es tracta d'una idea equivocada, els algorismes varien segons el lloc i l'època. Pel que fa al lloc, un exemple molt proper el tenim en la resta portant-ne, en el que molta gent afegeix les que es porten en el subtrahend, mentre que a la majoria de països la treuen del minuend. L'algorisme de la multiplicació  a Cuba o Alemanya és diferent al que utilitzem en el nostre país, un exemple el trobareu aquí.
Pel que fa a l'època, en els quaderns hem recollit algun exemple d'algorismes antics per posar de manifest aquest fet
Per més informació podeu consultar "Barba, D. Calvo,C: Algoritmos antiguos de càlculo. Cuadermos de pedagogia 421, març 2012


Explicitar processos
La figura del robot és utilitzada per a promoure activitats de comunicació: el robot és molt útil, però no pren decisions.  necessita que li escriguin  les instruccions precises perquè faci de manera correcta el que se li demana. Per tant cal "afinar molt" les instruccions. Creiem que és un bon aliat per que parlin ell@s, i va apareixent de volta en quan en algunes pàgines.

Comiat
Esperem que aquestes 18 postals us hagin acostat a aquest país nostre anomenat 3x6.mat. Qualsevol comentari o aportació ens ajudarà a tancar aquest desé l'aniversari



14 de setembre de 2015

Els primers nombres quadrats (II)

Seguint la proposta del post Els primers nombres quadrats (I) aquí continuarem comentant alguns exemples d'activitats que al nostre entendre permeten als alumnes familiaritzar-se amb els primers nombres quadrats en un ambient de resolució de problemes.

1) Quadrat més proper
Quin és el nombre quadrat més proper als següents nombres? 

  • 1x2x3x4 
  • 2x3x4x5
  • 3x4x5x6 
  • 4x5x6x7 
  • ...

Font: Product of four consecutive integers
Solució: Si els alumnes coneixen els primers nombres quadrats podran observar que els resultats d'aquestes multiplicacions són sempre el nombre anterior a un nombre quadrat i alguns podran anar més enllà: el resultat de a·b·c·d és el nombre anterior al quadrat de a·d+1 o c·d-1

2) Quadrats consecutius
Escriu, en ordre, quatre nombres quadrats consecutius. Suma els dos dels extrems. Suma els dos del mig. Què hi observes?

Solució: La suma dels extrems és sempre 4 unitats major que la suma del mitjos. Aquesta regularitat a l'igual que l'anterior són fàcilment justificables algebraicament però no és aquest l'objectiu principal de l'activitat, que recordem que és familiaritzar-se amb els nombres naturals i establir conjectures en relació als patrons que hi puguin detectar.

3) La xifra final dels nombres quadrats
Escriu els primers nombres quadrats en ordre creixent i analitza la xifra de les unitats de cadascun d'ells. Què observes?

Solució: A partir d'aquests primers casos els alumnes poden conjecturar que cap nombre quadrat acaba en 2, 3, 7 o 8 o poden detectar que la xifra de les unitats segueix un cicle: 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0 i torna a començar. Aquest cicle no es trenca degut a la propietat que exposa el següent diagrama en relació a què passa en elevar un nombre al quadrat: si acaba en 0, 1, 5 o 6 el resultat acaba en la mateixa xifra, si acaba en 2 o 8 el resultat acaba en 4, si acaba en 3 o 7 el resultat acaba en 9, si acaba en 4 el resultat acaba en 6 i si acaba en 9 el resultat acaba en 1. 
Ampliació: Quines poden ser les dues últimes xifres d'un nombre quadrat?

Solució: Mentre que l'última xifra dels nombres quadrats poden ser 6 valors entre els 10 possibles, les últimes dues xifres poden ser 22 entre les 100 possibles (apareixen ressaltades en la següent tabla):

4) La xifra inicial dels nombres quadrats
Quin és el primer nombre quadrat que comença en 5?

Solució: El primer nombre és 529 (el quadrat de 23) però no és el dígit que més triga en aparèixer a la xifra inicial dels nombres quadrats (el 7 no apareix fins al quadrat de 27, 729). Val a destacar que les primeres xifres dels nombres quadrats no segueixen un patró com els que hem observat en les últimes xifres.  

7 de setembre de 2015

Els primers nombres quadrats (I)

Des del moment en  que a un alumne li podem proposar la tasca de dibuixar tots els rectangles possibles que cobreixin 23, 24 o 25 quadrets d'un paper quadriculat, ja podem introduir els conceptes de nombres primers, compostos i quadrats. Al post Nombres primers, compostos i quadrats vam veure que després d'haver introduït aquests noms, podem visualitzar-los de molt variades maneres.
Però a més de saber identificar els nombres quadrats creiem en la importància de que els alumnes memoritzin alguns d'ells per poder avançar en tasques posteriors sense haver d'aturar-se a verificar si són quadrats o no. A més creiem que aquesta memorització pot desenvolupar-se en un ambient de resolució de problemes. 

En aquest post, a l'igual que vam fer a Els primers nombres primers, volem comentar alguns exemples d'activitats que al nostre entendre permeten als alumnes familiaritzar-se amb els primers nombres quadrats i que poden resoldre simplement coneixent els 20 nombres quadrats més petits que 400.

1) Suma de quatre quadrats
El matemàtic Joseph Louis Lagrange en 1770 va demostrar que “Tots els nombres enters es poden descompondre com a suma d'un màxim de quatre nombres quadrats”. Habitualment aquesta descomposició no és única
a) 90 és el nombre de dues xifres que admet més descomposicions diferents: quantes en té?
b) quins són els dos únics nombres entre 50 i 100 que admeten una única descomposició?

SolucióLes nou descomposicions del 90 són 9+81, 1+25+64, 16+25+49, 1+4+4+81, 1+4+36+49, 1+9+16+64, 4+25+25+36, 9+9+36+36 i 9+16+16+49. Podem proposar als alumnes que trobin aquestes descomposicions de manera cooperativa i, als alumnes que presentin més dificultats amb la tasca, els podem donar 90 cubets encaixables i demanar-los que els agrupin en 4 o menys quadrats. També es pot simplificar la tasca canviant el 90 per un 50 que té cinc descomposicions possibles.

Els dos nombres entre 50 i 100 que admeten una única descomposició són 56=4+16+36 i 96=16+16+64 (novament creiem que es tracta d'una tasca adient per ser resolta de manera cooperativa, donem a cada alumne dos nombres entre 50 i 100 i els demanem que els descomponguin, en el moment que surtin dues possibilitats, de dos alumnes diferents, descartem el nombre com a resposta a la pregunta formulada).

2) Suma de dos quadrats
Quins nombres menors que 100 es poden escriure com a suma de dos quadrats?

Solució: Observa la imatge que hi ha a a continuació: a la taula de l'esquerra es poden veure els 43 nombres menors que 100 que poden ser descomposts com a suma de dos quadrats.

A partir d'una taula com aquesta taula els alumnes poden conjecturar que cap nombre anterior a un múltiple de 4 es pot escriure com a suma de dos quadrats. Els alumnes més grans, poden investigar les descomposicions factorials dels altres nombres que no es poden descompondre com a suma de dos quadrats (mirar la taula de la dreta) i i poden fer altres conjectures que s'apropin al teorema dels dos quadrats de Fermat que afirma que un nombre és suma de dos quadrats si i només si cadascun dels seus factors primers de la forma 4 k + 3 intervé amb una potència parell.

Tria dos nombres quadrats i suma’ls. Troba dos quadrats que sumin el doble que els primers.  

SolucióPer exemple, si els alumnes han triat 16 i 25 que sumen 41, ara han de buscar dos quadrats que sumin 82 (1+81). Trobar aquesta segona parella sempre és possible.

La justificació visual d'aquest fet es pot veure a la següent imatge: el quadrat vermell i el quadrat blau representen la primera parella triada i el doble d'aquesta suma està representat en la part superior de la imatge, a la part inferior de la imatge es veu com les peces es poden reorganitzar (retallant el rectangle groc de la dreta i posant-lo en el lloc marcat en groc fosc) com si fossin peces d'un puzle per obtenir una parella de quadrats que apareixen en gris (els destinataris d'aquesta justificació són els mestres i els alumnes més inquiets però de cap manera la seva presentació és la fita de l'activitat, la qual continua sent la familiarització amb els nombres quadrats):
Encara més, en la imatge hi ha amagada una estratègia per resoldre la tasca: si els primers quadrats triats són ai b2, els que s'han de trobar poden ser (a+b)i (a-b)2.

L'activitat aquí proposada és un cas particular d'aquesta altra: "Tria dos nombres quadrats i suma’ls. Tria altres dos nombres quadrats i suma'ls (poden ser els mateixos que abans). Multiplica els dos resultats anteriors i troba dos quadrats que sumin el resultat de la multiplicació".

3) Diferència de dos quadrats
Quins nombres es poden expressar com a diferència de dos nombres quadrats?

SolucióSi proposem la tasca de manera cooperativa (cada grupet d'alumnes s'encarrega d'analitzar una desena de nombres) i demanem als alumnes que vagin acolorint els resultats obtinguts en una  graella del 100 que posem a la pissarra, es pot conjecturar que els nombres que es poden expressar restant dos nombres quadrats són tots els senars i dels parells la meitat (graella de l'esquerra a la següent imatge).

Si la graella que posem a la pissarra és una graella multiplicativa es pot conjecturar que els nombres que es poden expressar restant dos nombres quadrats són els resultats de parell x parell, senar x senar o múltiples de 4 per qualsevol nombre (graella de la dreta a la següent imatge).
En lila apareixen els nombres 1 i 4 perquè necessiten del 0 per poder obtenir-los com a diferència de nombres quadrats
4) Divisions de nombres quadrats I
Tria un nombre i suma-li 3, divideix el quadrat del nombre triat entre el resultat de la suma. Fes-ho amb diferents nombres de sortida, què hi observes?

SolucióEncara que en un inici no sembla que hi hagi cap patró a partir de la setena divisió aquest patró es fa evident
Per suposat que la validesa de la conjectura sobre la invariabilitat del residu i la relació entre el nombre triat i el quocient es pot justificar algebraicament (n2=(n+3)(n-3)+9) però segurament els alumnes als que hem proposat la tasca encara no han treballat amb tanta àlgebra com per ser convençuts per aquesta igualtat. Per tant, creiem més oportú presentar-los una justificació visual: en dividir un quadrat de costat n en grups de n-3 elements, resultat n+3 grups i ens sobren 9 quadrets.

Variants del problema: si proposem als alumnes triar un nombre i sumar-li 1 en lloc de sumar-li 3, el patró en els residus i els quocients es fa evident des de la primera divisió. També es pot sumar 2 o qualsevol altre nombre: el residu a partir d'una certa divisió sempre serà el nombre sumat al quadrat.

5) Divisions de nombres quadrats II
Divideix els primers nombres quadrats entre 4, què hi observes?

Solució
Els alumnes que trien fer divisions decimals veuen que per als quadrats parells el quocient és un nombre enter i per als quadrats senars el quocient sempre té la forma x,25. Els alumnes que trien fer divisions enteres veuen que per als quadrats parells el residu sempre és 0 i per als quadrats senars el residu sempre és 1. El que té més gràcia és quan s'adonen que els quocients compleixen un interessant patró de creixement tal com es veu a la imatge (recull de resultats de les divisions de 1:4 a 100:4 fetes per un alumnes de 1r d'ESO)



En la següent imatge es veu una justificació visual d'aquest comportament: