5 de juliol de 2015

Practica productiva: sumes

En el post anterior presentàvem un post de pràctica productiva de multiplicació: la persistència multiplicativa. L'activitat que presentem avui és molt semblant però treballant amb sumes.

Tria un nombre de dues xifres i suma-li el seu revers (el nombre que s’obté llegint-lo de dreta a esquerra) Si el resultat no és un nombre capicua, repeteix el procediment fins a obtenir un nombre capicua. Quin nombre necessita més repeticions? 

Pintant de color diferent els nombres segons la quantitat de passos que necesiti per aconseguir un nombre capicua, ens queda un quadre d'aquest tipus:

Codi de colors: GROC, el nombre ja és capicua; VERD, el nombre necessita que s’apliqui el procediment un cop per obtenir un capicua; VERMELL, necessita que s’apliqui el procediment 2 cops per obtenir un capicua; BLAU, necessita 3 cops;  TARONJA, necessita 4 cops; NEGRE, necessita 5 cops; LILA, necessita 6 cops i BLANC, necessita més de 6 cops.

Plantejament a classe
Cal plantejar-jo com un treball cooperatiu ja que hem d'analitzar 90 nombres, per tant repartim tots els nombres entre tota la classe.

Aquesta és la feina d'una alumna de 5è a la que havia tocat analitzar els nombres entre 66 i 71.
En el cas del 66, la Laia no havia entès que si el nombre era capicua no calia aplicar-li el porcediment.
Un cop acabat, omplim col·lectivament la graella amb els colors corresponents.

Encara que el 89 (i per suposat, també el 98) necessita 24 passos per aconseguir un nombre capicua no cal fer-los tots ni per pintar la seva cel·la ni per identificar-lo com el nombre que triga més en convertir-se en capicua (li segueix el 79 que solament necessita 6 passos per convertir-se en capicua: 79→176→847→1595→7546→14003→44044).

És més: 89 no és únicament el nombre de dos xifres que necessita més passos, sinó que cap nombre menor que 10000 necessita més passos que ell. Cal dir que hi ha alguns nombres menors que 10000 que no se sap si arriben mai a un nombre capicua, per exemple, 196, però gaire bé el 80% dels nombres menors que 10000 arriben a un nombre capicua en quatre passos o menys (encara més,gaire bé el 90% no necessiten més de set passos). 

En la següent taula veieu també que el "record del món" està en mans d'un nombre de 19 dígits!

http://www.jasondoucette.com/pal/89 
Ampliem el problema? fem preguntes
Tria un nombre de tres xifres i suma-li el seu revers. A la imatge es veu un exemple.
Quins altres nombres entre 700 i 800 es poden obtenir d’aquesta manera?
Font: https://nrich.maths.org/11111
Podem afegir una altra pregunta
  • Quin és el resultat més proper a 1000 que es pot obtenir? o Quins són els quatre resultats més propers a 1000 que es poden obtenir? 
Solució a la primera pregunta
  • 706 (per exemple, 155+551) 
  • 707 (per exemple, 304+403) 
  • 726 (per exemple, 165+561) 
  • 727 (per exemple, 314+413) 
  • 746 (per exemple, 175+571) 
  • 747 (per exemple, 324+423) 
  • 766 (per exemple, 185+581) 
  • 767 (per exemple, 334+433) 
  • 786 (per exemple, 195+591) 
  • 787 (per exemple, 344+443)
Justificació: Si sumem un nombre que té a en les centenes, b en les desenes i c en les unitats i el seu revers: (100a+10b+c) + (100c+10b+a) dóna 101(a+c)+20b
Si a+c=7 variant els valors de b des de 0 a 4 s’obtenen els resultats 707, 727, 747, 767 i 787
Si a+c=6 variant els valors de b des de 5 a 9 s’obtenen els resultats 706, 726, 746, 766 i 786

Solució a la segona pregunta
  • 1009 (per exemple, 158+851) 
  • 1010 (per exemple, 604+406), 
  • 989 (per exemple, 148+841)
  • 988 (per exemple, 197+791) 
Justificació: Si sumem un nombre que té a en les centenes, b en les desenes i c en les unitats i el seu revers: (100a+10b+c) + (100c+10b+a) dóna 101(a+c)+20b
Si a+c=9, 20b ha se ser proper a 1000-909=91, per tant,
      b pot ser 4 i quedarà 11 per sota (989)
      b pot ser 5 i quedarà 9 per sobre (1009)
Si a+c=8, 20b ha se ser proper a 1000-808=192, per tant,
      b ha de ser 9 i quedarà 12 per sota (988)
Si a+c=10, 20b ha se ser proper a 1000-1010=-10, per tant,
      b ha de ser 0 i quedarà 10 per sobre (1010)

Tal com es veu a la imatge anterior, NRICH va treure la idea de la primera pregunta del fantàstic blog de Don Steward (post: forwards add backwards) enfocada a professorat d'alumnes de 10 a 16 anys i també aquest blog és la font de la segona pregunta (post: close to 1000).