30 d’abril de 2014

El puzle de la graella del 100

Us presentem una activitat d'aquelles que surten "per casualitat" (si es que aquestes coses surten per casualitat) feta a primer curs de l'Escola Ponent de Terrassa per la mestra Ana Cerezo. A partir de les peces del "dictat de graella" que apareix en el post graella del 100 ens vàrem plantejar ampliar-les i crear un puzle de mida gegant per a treballar-lo col·lectivament. Mai ens hauríem pensat que l'activitat sortís tant rodona!
Les peces estàven enganxades a la pissarra i els alumnes les havien de demanar dient els noms dels nombres que la composaven. 
Quina peça triem per començar?uns moments de conversa i la primera peça ja estava col·locada al terra, lògicament va ser triada la que comença per 1.
Després en Pablo ha triat una peça que "lligui" amb la primera i la col·loca al lloc adequat
 Un cop completada la primera fila i algunes peces més que hi connecten ens trobem en un primer problema: la peça triada no te connexió amb les anteriors
  • Nota: la peça de color negre té una explicació, el problema va estar en que la fotocopiadores fan males passades amb segons quins colors, en aquest cas el lila.De totes maneres els nombres s'dentificàven fàcilment
La Laura pensa on col·locar la peça "del 87" La posa just a sota dels "trentes" però no ho té clar.

Discutint sobre com col·locar les següents, canviant la de la Laura,  fins arribar a posar-les aproximadament on toquen

Ara ja la rotllana s'acosta al problema i treballen junts, la mestra modera, pregunta, ordena ...

Cal mirar-s'ho de lluny
Arribem al final... i ens trobem amb un problema: ens falta una peça!
Imprevistos i bons mestres
Al final va sorgir un problema. En fer les fotocòpies ens vàrem descuidar de fotocopiar una peça!. Aquí va sortir la fusta de mestra de l'Anna. Ràpidament va atacar amb una nova pregunta: encara que no tinguem la peça em podríeu dir quin nombres van aquí?

Breu conversa i arreglem el desastre anotant els nombres que hi falte. Fi del puzle
La cosa no es va acabar aquí, ja que aquesta anècdota va donar pas a una proposta nova que explicarem en un proper post que completarà aquest "La graella del 100 (2) fabriquem la peça"

Reflexió final
Analitzant la feina amb l'Anna la valoració és positiva, l'objectiu principal de la situació és construir la taula en un "ambient de resolució de problemes"  on els alumnes prenent  decisions triant una peça que els fos més fàcil de col·locar.Estimant on va col·locada més o aproximadament una peça que no lliga amb les anteriors. Reconeixent i aplicant patrons etc.
Però per l'altra banda i de manera amagada no podem passar per alt el fantàstic treball paral·lel de exercitació d'habilitats present cada cop que han de col·locar una peça
  • Comptar endavant i endarrere d'un en un
  • Comptar endavant i endarrere de deu  en deu. 
  • Següent i anterior. 
  • Desena anterior i següent
Han fet molta més exercitació d'aquestes habilitats en una classe que en uns quants fulls de llibre o quadern de càlcul. Potser no és ben bé "pràctica productiva" però s'hi acosta molt.

Al blog d'applets del PuntMat, al post sobre la Graella del 100, fem esment d'un applet que recrea aquest puzle.

Suggeriment: si proposeu el puzle com a tasca individual per fer amb peces de paper i teniu un parell d'alumnes per als quals la tasca resulta massa fàcil, us recomanem lliurar-los les peces de dos puzles diferents barrejades en un mateix sobre. A les següents imatges es veuen dues situacions quan ho vam proposar en un taller per a mestres (òbviament per a nens les peces han de ser més grans)



Els alumnes de 1r de @Montagutescola també van fer servir aquest puzle i els seus mestres han compartit amb nosaltres unes precioses fotografies:
MontagutEscola
1r Muntant puzzle del quadre numèric ;) @PuntMat pic.twitter.com/K8fWJsUFJX
27/1/17 13:14

28 d’abril de 2014

Els primers nombres primers

Des del moment en  que a un alumne li podem proposar la tasca de dibuixar tots els rectangles possibles que cobreixin 23, 24 o 25 quadrets d'un paper quadriculat, ja podem introduir els conceptes de nombres primers, compostos i quadrats. Al post Nombres primers, compostos i quadrats vam veure que després d'haver introduït aquests noms, podem visualitzar-los de molt variades maneres.

Però a més de saber identificar els nombres primers creiem en la importància de que els alumnes memoritzin alguns d'ells per poder avançar en tasques posteriors sense haver d'aturar-se a verificar si tenen o no més de dos divisors. Però creiem que aquesta memorització pot desenvolupar-se en un ambient de resolució de problemes. 

En aquest post volem comentar alguns exemples d'activitats que al nostre entendre permeten als alumnes familiaritzar-se amb els primers nombres primers. Es tracta d'activitats que els alumnes poden resoldre simplement coneguent els 30 nombres primers més petits que 120, però a les que hem afegit alguns comentaris d'aprofundiment, prescindibles, per si algun mestre vol treure més suc d'aquests problemes que en alguns casos tenen un rerefons matemàticament rellevant.
1) Primers i parells
Escriu cada nombre parell entre 2 i 100 com a suma de dos nombres primers. Hi ha algun nombre senar que es pugui escriure com a suma de dos nombres primers? 
Solució: Aquí trobareu una calculadora que dóna totes les descomposcions possibles d'un nombre parell (fins a 10000) com a suma de dos primers. Hi ha alguns nombres senars que es poden escriure com a suma de dos nombres primers (ex: 21=19+2).

Comentari d'aprofundiment:  La conjectura de Goldbach diu que tots els nombres parells són suma de dos primers, encara que això no ha estat demostrat encara sí que ha estat verificat per a valors molt més grans que 100, per tant, la primera part de la tasca no hauria d'oferir cap inconvenient a qui conegui els primers nombres primers. Aquest applet permet realitzar la tasca amb correcció simultània. 

La segona part de la tasca reclama considerar que l'única manera d'obtenir un resultat senar en sumar dos nombres és quan un d'aquests dos nombre és parell i l'altre senar però atenent a que aquests dos nombres han de ser primers, el parell només pot ser el 2. Per tant, sí que hi ha nombres senars que es poden escriure com a suma de dos nombres primers però no tots els nombres senars ho permeten, únicament els de la forma p+2, sent p primer (5, 7, 9, 13, 15, ...).
2) Primers i quadrats:
Quin és el primer nombre quadrat que no es pot expressar com a suma de dos primers? Quins nombres primers de dues xifres no es poden expressar com a suma de dos quadrats? Font: Two primes makes one square
Solució: 121 és el primer quadrat que no es pot descompondre com a suma de dos nombres primers. Els nombres primers de dues xifres que no es poden escriure com a suma de dos quadrats són 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79 i 83. 

Comentari d'aprofundiment:  Per la conjectura de Goldbach ja esmentada se sap que si hi ha algun nombre quadrat que no es pugui expressar com a suma de dos primers ha de ser un nombre senar. Efectivament, els nombres quadrats per sota de 400 que no es poden escriure d'aquesta manera són el 121 i el 289 però n'hi ha molts més per sobre del 400: 232, 252, 312, 392, 412, etc.

En la segona part de la tasca es demana la relació inversa: ara el resultat ha de ser primer i els sumands quadrats. Comencem experimentant amb els nombres primers fins al 71, pintem de verd els primers que podem descompondre com a suma de dos quadrats (per exemple, 41=16+25) i de vermell els que no ho permeten:

Sorprèn veure com es distribueixen les cel·les verds i vermelles, oi? En realitat això és el que afirma el Teorema de la suma de dos quadrats Però el Teorema de Legendre ens permet afirmar que alguns primers que no es poden descompondre com a suma de dos quadrats es podran descompondre com a suma de tres quadrats (per exemple: 3, 11, 19,  43, 59, 67... els que no tenen residu 7 en dividir-los entre 8).
3) Primers i múltiples de 6:
Quin és el primer múltiple de 6 que no té cap nombre primer com a veí?
Solució: El 6 té com a veí al 7, el 12 al 11 i al 13, el 18 al 17 i al 19.... i així podem continuar fins al 120 que és el primer múltiple de 6 que té com a veïns dos nombres compostos.

Comentari d'aprofundiment: Val a dir tots els nombres primers (exceptuant 2) són veïns d'un múltiple de 6. Atenent que tots els nombres primers (exceptuant 2) són senars, són de la forma 6n+1, 6n+3 o 6n-1 però com que els de la forma 6n+3 són múltiples de 3 està clar que tots els nombres primers (exceptuant 2) són veïns de la forma 6n+1 o 6n-1.
4) Primers i potències de base 2:
De Polignac creia que tots els nombres senars a partir del 3 es podien escriure com a la suma d’una potència de 2 i un nombre primer. Organitzeu-vos per confirmar que aquesta creença per a tots els senars més petits que 120 i per trobar un exemple que mostri que estava equivocat.

Solució: El 127 és el primer d'infinits contraexemples (podeu trobar altres aquí): 127=1+126 i 126 és parell, 127=2+125 i 125 és múltiple de 5, 127=4+123 i 123 és múltiple de 3, 127=8+119 i 119 és múltiple de 7, 127=16+111 i 111 és múltiple de 3, 127=32+95 i 95 és múltiple de 5 i 127=64+63 i 63 és múltiiple de 3.

Quina és la primera potència de 2 per a la qual la seva distància al nombre 45 deixa de ser un nombre primer?
    Solució: La primera és 1024, totes les distàncies anteriors són nombres primers: diferència entre 2 i 45 és 43, entre 4 i 45 és 41, entre 8 i 45 és 37, entre 16 i 45 és 29, entre 32 i 45 és 13, entre 64 i 45 és 19, entre 128 i 45 és 83, entre 256 i 45 és 211 i entre 512 i 45 és 467. Però la distància entre 1024 i 45 és 979 que és divisible entre 11 i 89. 

    5) Primers en espiral:
    Continua l'espiral numèrica que apareix a la imatge i pinta les cel·les on apareixen nombres primers. Què hi observes?
    Solució: És molt interessant observar que a mesura que anem escrivint més i més nombres les cel·les alineades amb la diagonal que passa pels nombres 17, 11 i 13 se va completant amb altres nombres que són primers. En realitat el 121 és el primer nombre que cau en aquesta diagonal que no és primer.
    Comentari d'aprofundiment: Començant amb altres nombres primers passa el mateix. A la següent imatge es veu el cas de l'espiral que comença amb el nombre 17 i que no és fins al nombre 289 que no es troba un nombre compost a la diagonal
    És totalment desaconsellable proposar-lo als nostres alumnes començant des del 41 ja que no és fins al 1681 que no apareix el primer nombre compost a la diagonal. En aquest sentit val la pena veure el següent vídeo de Numberphile:


    Comentari final:
    Al blog d'applets tenim una entrada amb applets per treballar la identificació dels primers nombres primers.

    21 d’abril de 2014

    Perímetre i àrea

    Que amb el mateix perímetre es poden aconseguir àrees diferents i que de totes les figures possibles, el cercle és la d'àrea màxima, és una idea interessant per discutir amb els alumnes. A més, la llegenda sobre la fundació de Cartago  ens ofereix un exemple fantàstic per treballar-ho. 
    Sobre aquesta llegenda la Wikipèdia diu: Segons la llegenda, que ha estat adulterada per alguns escriptors clàssics llatins, Cartago va ser fundada l'any 810 aC per la princesa Dido, germana de Pigmalió, rei de Tir. Aquest, que ambicionava el tresor de Siqueu, espòs de Dido, la va obligar a que li revelés la ubicació d'aquestes riqueses. Dido va enganyar a Pigmalió indicant-li un fals lloc i aquest primer va assassinar a Siqueu i després va buscar la fortuna, mentre Dido el desenterrava i fugia amb el tresor i els seus seguidors. Va embarcar i va navegar fins a arribar a la regió habitada pels libis, on va sol·licitar al rei local terres per fundar una ciutat però, poc inclinat a la intrusió, només li va concedir el terreny ocupat per una pell de brau. Dido, dona enginyosa, va tallar la pell en finíssimes tires i així va delimitar una gran extensió i va fer construir una fortalesa anomenada Birsa, que més tard es va convertir en la ciutat de Cartago.

    Font: Wiquipèdia

    Primera activitat

    La idea es repartir trossos de cordill (llargs i iguals) per a cada grup d'alumnes i la proposta que en el pati de l'escola facin el paper de la princesa Dido: amb el cordill com a model de la pell de brau ja tallada, hauran de definir les fronteres del "seu" país, per després calcular-ne l'àrea. Finalment, s'han de comparar les àrees de cada país per veure quina és la màxima.

    Un cop arribats a que el cercle és la figura d'àrea màxima, podem plantejar una segona qüestió. Cartago està davant el mar, per tant Dido tenia dues opcions: delimitar un terreny circular al costat del mar, o aprofitar la costa i ocupar un terreny de forma semicircular. Són solucions equivalents? Depèn de l'edat dels alumnes la tasca serà diferent pel que fa a les eines emprades: des del dibuix fins al càlcul o a l'ús de l'àlgebra.


    Es podría completar amb una activitat d'ampliació: que passaria si el terreny hagués de tenir forma rectangular? (quadrat inclòs)

    Segona activitat
    La feina de proposar als alumnes com tallar una figura en talls finíssims per ampliar l'àrea tal com ho va fer Dido, ens la va explicar en Joan Jareño quan ho feia amb els seus alumnes d'ESO. Són dues tasques molt engrescadores i sorprenents:
    • Cap un nen dins d'un DINA4? Depèn, ja que si el talles de la manera en que es veu a la imatge no només pot cabre un nen dins d'un DINA4 sinó que en poden cabre més (com més propers es facin els talls més gran serà l'àrea de la regió que pot delimitar). Quants diríeu que hi caben?
    • I amb un cercle?

    Aquest post està relacionat amb
    http://puntmat.blogspot.com.es/2014/05/perimetre-i-area-2.html 

    Nota:
    Després de publicar aquesta entrada ha sortit publicat un post del bon amic, fins avui,  Joan Jareño sobre el mateix tema del que en podem aprendre un pou: Les tires dels tiris: tancant àrees màximes
    Joan: el proper cop que estiguis preparant un super post com aquest AVISA! esperarem que surti el teu i ens dedicarem a un altre tema. Ets un "brutu"! et felicitem. 

    12 d’abril de 2014

    Sigues un matemàtic

    BEAM (Be a mathematician) és el nom d'una sèrie de recursos per treballar les matemàtiques a Primària a partir de reptes que facin sentir als nostres alumnes que treballen com a veritables matemàtics. Entre els recursos gratuïts d'aquest projecte editorial que es poden trobar a la xarxa en destaquem alguns:
    • Making 12  es tracta d'un joc per practicar les descomposiciones del 12, la idea és que cada jugador llença 4 daus i tria entre ells alguns daus que sumin 12, si ho aconsegueix encercla un 12 de la imatge amb el color que l'identifica, guanya el jugador que aconsegueixi encerclar més nombres. L'atzar intervé en el joc ja que aproximadament la meitat de llençament de 4 daus no dóna possibilitats d'obtenir el 12 (per exemple, si surten 3, 3, 4 i 4 o 1, 2, 3 i 5)
      Captura d'imatge de Making 12
    • Total 100 es tracta d'un joc per a dues persones per practicar les descomposiciones del 100, un  jugador col·loca dues fitxes vermelles sobre dos nombres del tauler de la imatge que sumin 100, l'altre jugador treu una de les fitxes vermelles que hi ha sobre el tauler i col·loca dues fitxes blaves sobre dos nombres del tauler que sumin 100, el primer jugador treu una de les fitxes blaves que hi ha sobre el tauler i torna a jugar. Continua així fins que ja no queden jugades possibles.  Guanya el jugador qui hagi aconseguit la línia vertical més llarga amb fitxes del seu color. 
    Captura d'imatge de Total 100

    I moltes altres propostes que sense ser molt innovadores tenen un punt que dóna ganes de portar a l'aula en tornar de vacances.