26 de març de 2014

Pràctica productiva: equacions de segon grau

Al post Pràctica productiva i Pràctica reproductiva ja vam comentar com es pot fer l'imprescindible treball relacionat amb destreses bàsiques ambientant-lo en la resolució d'un problema. En aquella ocasió ens centràvem en destresses aritmètiques i en Primària (encara que el problema que allí es presenta "Diffy" l'hem proposat també al primer cicle de l'ESO amb molt bon resultat), avui la proposta és centrar-nos en destresses algebraiques i en el segon cicle de l'ESO (sí! aquí també hi ha lloc per convertir la pràctica reproductiva en productiva)

Ensenyem als nostres alumnes a resoldre equacions de segon grau i després cal que practiquin aquesta destressa. Per què no substituir per preguntes en que la cerca de patrons i regularitats i l'establiment de conjectures juguen un paper fonamental les llargues llistes d'equacions que han de resoldre simplement aplicant una fórmula?

Un exemple de fitxa de treball
  1. Tria tres nombres a, b i c de tal manera que b=a+c. Resol l’equació ax2+bx+c=0. Fes-ho amb altres ternes de nombres. Què observes? 
  2. Tria tres nombres a, b i c de tal manera que a+b+c=0. Resol l’equació ax2+bx+c=0. Fes-ho amb altres ternes de nombres. Què observes? 
  3. Quina relació hi ha entre les solucions de les següents parelles d’equacions de 2n grau? 
      • x+ 7x + 12 = 0 i 12x+ 7x + 1 = 0
      • x– 5x + 6 = 0 i 6x– 5x + 1 = 0 
      • 2x– 7x + 3 = 0 i 3x– 7x + 2 = 0
      • x– 13x + 42 = 0 i 42x– 13x + 1 = 0 
  4. Resol aquestes equacions i conjectura alguna conclusió 
        • 7x– 50x + 7 = 0 
        • 6x– 15x + 6 = 0 
        • 4x– 17x + 4 = 0 
        • 9x– 30x + 9 = 0
  5. Una equació de la forma ax2+bx+c=0 té coeficients 1, 2 i 5. Què és més probable: que tingui solucions reals o no? 
  6. Omple la taula:


Els nostres alumnes podran arribar a diferents conclusions: 
  • a la proposta 1: ax2+bx+c=0 si b=a+c sempre té una solució igual a -1
  • a la proposta 2: ax2+bx+c=0 si a+b+c=0 sempre té una solució igual a 1
  • a la proposta 3: quan són reals, les solucions de ax2+bx+c=0 són els inversos de les solucions de cx2+bx+a=0
  • a la proposta 4: quan són reals, les solucions de ax2+bx+a=0 són dos nombres inversos ente si
  • a la proposta 5: per analitzar si les solucions són reals o no, les sis equacions que tenen aquests coeficients es poden classificar en tres grups segons qui ocupi el lloc del coeficient b 
  • a la proposta 6: la suma de les solucions de ax2+bx+c=0 coincideix amb l'oposat de b/a i el producte de les solucions coincideix amb c/a
I alguns dels nostres alumnes podran, fins i tot, justificar que aquestes conclusions són vàlides sempre.

Afegitò: una setena proposta passa per relacionar les solucions de ax2+bx+c=0 amb les de ax2bx+c=0
Quina relació hi ha entre les solucions de les següents parelles d’equacions de 2n grau? 
    • x+ 7x + 12 = 0 i x 7x + 12 = 0
    • x– 5x + 6 = 0 x+ 5x + 6 = 0 
    • 2x– 7x + 3 = 0 i 2x+ 7x + 3 = 0
    • x– 13x + 42 = 0 i x+ 13x + 42 = 0 
Una vuitena proposta: Si en cada requadre posem un 1, un 2 i un 3 ¿quines solucions racionals es poden obtenir?
Solució:

  • 1x2 + 2x - 3 = 0 solucions: 1 i -3 
  • 2x2 + 1x - 3 = 0 solucions: 1 i -1/2 
  • 3x2 + 2x - 1 = 0 solucions: -1 i 1/3 
  • 3x2 + 1x - 2 = 0 solucions: -1 i 2/3
La pràctica productiva també cap en un examen:
Resol x2–11x+24=0, 2x2–11x+12=0 i 4x2–11x+6=0.
Podries dir quines són les solucions de 8x2–11x+3=0 i 16x2–11x+1.5=0 sense resoldre-les?





5 de març de 2014

Més sobre minilliçons

Fa més de dos anys vam publicar una entrada sobre Minilliçons i estratègies. En aquest temps hem continuat pensant en aquesta manera de practicar destresses bàsiques que posa el focus en la relació entre fets coneguts i fets derivats com estratègia per millorar el càlcul mental (o simplement: eficient).

Hem portat a l'aula activitats presentades en aquest format i hem ampliat les temàtiques abordades. Avui us volem ensenyar algunes noves minilliçons:

Una sobre operacions amb decimals


Vam fer l'activitat oralment amb tota la classe (5è de Primària @escolasadako amb la col·laboració de les mestres Marta i la Cristina), però de tant en tant, alguna de les explicacions les demanàvem per escrit




També podem presentar activitats d'aquesta mena relacionades amb el càlcul de percentatges:


La Marta P. de l'escola La Sínia de Vic va portar a l'aula activitats amb aquest format. En les següents fotografies es pot veure un exemple:





La mateixa idea la podem trobar a l'applet "Calcula porcentajes pensando" del Juan Garcia Moreno

https://dl.dropboxusercontent.com/u/44162055/manipulables/numeracion/fporcentajes1.swf
Minilliçons i estadística
Les minilliçons no estan restringides al treball al bloc de Numeració i càlcul. A continuació proposem un exemple de minilliçó que podem proposar en treballar el concepte de mitjana:


Creiem que és una bona oportunitat per discutir sobre: Què passa amb el valor de la mitjana quan a tots els valors els sumem o restem un mateix valor? I si els multipliquem per un mateix valor? Què passa amb la mijtana si un valor augmenta i un altre disminueix en la mateixa mida? Què passa si afegim al conjunt de dades el valor de la seva mitjana? Una bona oportunitat per apropar-nos a la noció de mitjana més enllà del procediment que coneixem per calcular-la. 

3 de març de 2014

Primavera i el nombre π

En el nostre país, el 14 de març l'escrivim així 14/3, però els anglosaxons ho fan al revés i escriuen 3/14, i per aquest motiu es celebra aquest dia "el dia de π". Per si us animeu a celebrar aquest dia (aquest any amb doble motivació perquè estem al mes 3 de l'any 14) us comentarem algunes iniciatives per omplir les nostres classes d'activitats matemàtiques al voltant d'aquest famós nombre:
  • si ja voleu encarar la primavera, us presentem un πema primaveral recollit per la gent de l'Associació de Professors de Matemàtiques de les illes Balears (Xeix) en la secció "Mirada Matemàtica" que recomanem del tot.
Font: Pilar Oliva (via @SBMXEIX)
  • en Joan Jareño que edita una de les pàgines més útils, de més qualitat i més properes a la realitat dels docents que coneixem, ens presenta un seguit d'activitats sobre el nombre π que poden ser treballades tant utilitzant els ordinadors personals i el canó, com també baixar-vos una versió impresa en pdf per poder treballar en els quaderns.
  • el Creamat ha publicitat més propostes d'activitats relacionades amb aquest nombre. Per exemple: un blog dedicat exclusivament al dia de π o una activitat de l'Arc anomenada Descobrim PI
També:
  • podeu decorar una pared de la vostra escola amb algunes de les infinites xifres decimals de pi
  • @escolasadako 2013
  • podeu experimentar amb pastissets per deduir el perímetre de la circumferència
  • podeu experimentar amb taronges per deduir l'àrea de l'esfera
    @escolasadako 2013

  • podeu deduir el volum de l'esfera a partir de la seva àrea o a partir de la relació entre esferes, cons i cilindres
    Imatge: Visualizing Maths
    Més informació a: Relacionant volums

    • podeu riure amb les conseqüències de no conèixer a aquest nombre

    • fins i tot, podeu decidir que vosaltres no celebreu el dia de pi perquè celebrareu el dia de tau