17 d’octubre de 2013

Problemas cooperativos


En aquesta entrada volem recollir alguns problemes que conviden a repartir la tasca entre els alumnes de la classe per arriba a una resolució "cooperativa". 

A l'entrada Convertir la pràctica reproductiva en productiva ja apareixia un exemple d'aquests problemes: "Quin és el nombre de dues xifres que té més divisors?" Un problema que creiem que invita a repartir la subtasca "troba tots els divisors de x" entre els diferents alumnes de la classe.

  1. A l'entrada Materials per treballar la probabilitat: les monedes vam parlar de la importància de que els alumnes experimentin i conjecturin en relació a experiments aleatoris. Una activitat típica en aquest sentit podria ser: Si llancem 200 cops tres monedes (una de 0,10€, una de 0,20€ i una de 0,50€) quants cops sortiran els tres nombres cap a dalt? Aquí a més d'organitzar-se en grups per tal de repartir l’elevat nombre de llançaments que s’han de fer s'ha de decidir com faran l’enregistrament dels resultats de l’experiment. 
  2. Ens interessa conèixer quina és la vocal que més s’utilitza en català. Tenen els alumnes alguna conjectura al respecte? Invitem-los a investigar: com que no podran revisar tots els textos escrits en català, hauran de triar una mostra, organitzar-se per fer el comptatge (per exemple d’una línia del text cadascun) i enregistrar les dades. Haurien de comparar els seus resultats si trien textos diferents, escrits per ells mateixos, extrets d’Internet, d’una novel·la, d'un llibre de text. També poden fer servir les eines dels processadors de text per fer comptatges de textos llargs i comparar-los amb els comptatges fets "a mà". Per últim es pot suggerir agafar textos en castellà, en anglès, en francès i especialment en italià per fer comparacions.
  3. Ara ens interessa investigar el potencial de les potències de dos per generar nombres parells: es podran escriure tots els nombres parells fins al 120 a partir de sumes entre els nombres que apareixen a la imatge? Després d'haver repartit la feina i donat temps per portar-la a terme arriba el moment de la posada en comú: Heu trobat en algun cas més d’una solució possible? Heu fet servir alguna targeta més d'un cop? En quins nombres heu hagut de fer servir la targeta 26? En quins nombres no heu hagut de fer servir la targeta 21? Quina targeta heu fet servir més 23 o 24? Podríeu escriure nombres més grans que 120 amb aquestes targetes? Fins quin nombre parell podríeu arribar? Si us donessin l’oportunitat d’afegir una targeta, quin nombre hi escriuríeu per aconseguir ara tots els nombres, senars i parells, fins al 120?
  4. Com es comporten els resultats del següent mecanisme: “es tria un nombre de dues xifres i es divideix el nombre triat entre la suma dels seus dígits”. Aquí la posada en comú que segueix a la feina dels alumnes també pot ser molt rica: Quin és el resultat més petit que es pot obtenir? I el més gran? Quin és el resultat que més es repeteix? Què hi ha més: resultats enters o decimals? Entre els resultats decimals, que hi ha més: resultats que tenen infinites xifres decimals o decimals exactes? Entre els resultats que són decimals finits: quina és la major quantitat de xifres decimals que podeu trobar-hi? Si agafem un nombre a l’atzar què és més probable: obtenir un resultat més petit que 5 o més gran que 5?

En cadascun dels exemples val la pena reflexionar sobre quina és la millor manera de repartir les tasques entre els alumnes. En ocasions pot ser el mestre qui faci aquest repartiment atenent a les característiques dels alumnes involucrats o pot ser part de l'activitat que els alumnes facin un repartiment "equitatiu" del volum de feina involucrat.

14 d’octubre de 2013

Convertir la pràctica reproductiva en productiva

Durant les vacacances d'estiu vam veure a Numberplay (entrada de cada dilluns del blog d'entreteniments del NYTimes) la proposta d'un puzle anemenat "The angle maze" on es comentava com un grup d'assesors proposaven als mestres que els ensenyessin les activitats més "avorrides" que feien a classe i entre tots buscarien maneres de fer-les més interessants i productives.

Expliquen com van reconvertir una fitxa sobre classificació d'angles en el següent problema: "Sobre una circumferència marcar 10 punts equidistants i intentar unir-los tots amb una línia contínua tancada de manera que en tots els punts es formen angles obtusos"

Després de gaudir una estona buscant nosaltres mateixos les diferents solucions del problema hem pensat que pot ser aquest problema es posa massa difícil si demanem l'exhaustivitat de la que hem estat parlant en altres entrades, però no perd interès si demanem que trobi dos solucions "diferents".

Creiem que també es pot demanar als alumnes que intentin trobar maneres d'unir els 10 punts de manera que:
              • tots els angles siguin aguts
              • el nombre d'angles rectes sigui màxim
              • la suma d'angles sigui màxima o més difícil: que sigui mínima 
(Segons The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences hi ha 9468 maneres diferents d'unir els 10 punts!!)


Creiem també que és una activitat ideal per fer servir un geoplà circular però imaginem que és dificil que tinguem un amb exactament 10 claus i el geoplà virtual de mida adaptable del que vam parlar a Geoplans i pensament exhaustiu no permet dibuixar-hi polígons còncaus :-(

Per últim voldirem comentar que si preferiu fer aquesta activitat amb menys punts els casos possibles són moltíssims menys i es pot demanar exhaustivitat en les respostes. Per exemple, amb 6 punts només hi ha 12 maneres d'unir-los (tal com es veu en la següent imatge: una d'elles té tots els angles obtusos, cinc d'elles els tenen tots aguts, n'hi ha 4 que tenen dos angles rectes, la suma d'angles màxima és 720º i la mínima és 240º)
http://demonstrations.wolfram.com/PolygonsOnNVertices/ 
En el post Pràctica productiva i pràctica reproductiva ja vam veure un exemple de com reconvertir activitats destinades a practicar destreses bàsiques en activitats en que aquesta pràctica es fa com a part d'una tasca més propera a la resolució de problemes. Aquí  podem afegir dos exemples més:

Un exemple de divisibilitat
Quin és el nombre de dues xifres que té més divisors? Imagineu quants exercicis del tipus "troba tots els divisors de x" hi ha aquí involucrats... potser massa per fer aquesta tasca de manera individual, per la qual cosa proposem fer-la en grups, ampliant d'aquesta manera les possibilitats de discussions (per exemple: com es pot repartir la tasca entre els integrants del grup? que un nombre sigui més gran que un altre implica que té més divisors?, pot haver-hi més d'una solució?, etc, etc)

11 d’octubre de 2013

Wiris, Simpsons i Fermat

Wiris és una calculadora, que es pot fer servir online, d'enorme potencial per treballar a l'aula. En aquesta entrada analitzarem únicament la possibilitat de treballar amb nombres de moltes xifres (cosa que no permeten altres calculadores que per nombres de més de unes 10 xifres ja fan sevir notació científica).

Versió simplificada de la Wiris suggerida per a Primària http://www.wiris.net/demo/wiris/ca/elementary.html
Per comentar la potencialitat d'una calculadora que permeti expressar nombres de tantes xifres exposarem un exemple d'una activitat inspirada per un vídeo de Numberphile (Fermat's Last Theorem & Homer Simpson) i una entrada del blog Gaussianos (El último teorema de Fermat y los Simpson) i proposada a alumnes de 3r d'ESO.

L'activitat comença presentant als alumnes l'enunciat del teorema de Fermat amb una imatge que apareix al vídeo abans esmentat i s'els demana que expressin aquest enunciat amb paraules.
Còpia de pantalla durant el visionat del vídeo de Numberphile esmentat abans
Després s'els ensenya una segona imatge corresponent a una escena del capítol 6 de la setena temporada de The Simpsons i s'els demana que expliquin per què aquesta igualtat, si fos certa, contradiria el teorema de Fermat.
Imatge del post del blog Gaussianos esmentat abans
Havent arribat a la conclusió de que no pot ser certa, es proposa als alumnes esbrinar per què hi apareix aquesta igualtat. Es suggereix començar fent els càlculs que allí apareixen amb calculadora:
Resultats obtinguts amb la calculadora del Google però anàlegs
als que s'obtindrien amb qualsevol calcualdora científica de butxaca
Semblaria que els resultats són iguals. Com a mínim, ja veiem que els dos resultats tenen la mateixa quantitat de xifres i que les 8 primeres coincideixen (sobre la novena no sabem si efectivament és un 3 o podria ser un 2 "arrodonit") però com que hi ha moltes xifres que no es veuen es proposa  repetir els càlculs amb la Wiris:     

O sigui que per sort, per la consistència del coneixement matemàtic, la igualtat que apareix a la sèrie és falsa. A continuació es proposa als alumnes cercar algun argument per justificar aquesta falsetat  sense necessitar una calculadora tan específica. Per arribar a aquest argument els proposem classificar els tres nombres involucrats (1782^12, 1841^12 i 1922^12) segons siguin senars o parells i deduir d'aquesta classificació que la igualtat és falsa (no pot ser que un nombre senar i un de parell donin un resultat parell).

Per acabar s'els ensenya una segona imatge corresponent a una escena del capítol 2 de la desena temporada de The Simpsons on torna a aparèixer una d'aquestes igualtats que sembla refutar el teorema de Fermat i es torna a demanar als alumnes que verifiquin que és una igualtat falsa. 

La falsetat d'aquesta segona igualtat és una mica més difícil de justificar perquè no només coincideixen la quantitat de xifres dels dos resultats i els 10 primers dígits de les seves expressions decimals sinó que també tenen el mateix últim dígits. Per tant, aquí la classificació de les potències en senars i parells no serveix però es pot verificar fàcilment que els sumands són múltiples de 3 i el resultat no!!
Còpia de pantalla durant el visionat del vídeo de Numberphile esmentat abans
Entrada redactada amb la col·laboració de la Gemma Garcia

7 d’octubre de 2013

Poliòminos i pensament exhaustiu

El mes passat vaig participar del VII CIBEM (Congreso Iberoamericano de Educación Matemática) a Montevideo. De les moltes activitats interessants en les que hi vaig poder participar (aquí n'hi ha un resum), vull aquí relatar un taller sobre poliòminos presentat per la Patricia Peralta i el José Salvador Carrasco de Bahia Blanca com a part de la sèrie sobre pensament exhaustiu que hem començat aquest curs
Van començar explicant que el terme poliòmino van ser inventat per Salomon Golomb i popularitzat per Martin Gardner

Després van definir els poliòminos com la unió de quadrats de la mateixa mida de manera que cada quadrat de la figura resultant ha de tenir un costat en comú amb un altre quadrat i a continuació van proposar als assistents que dibuixessin tots els tetròminos (poliòminos formats per 4 quadrats) possibles.

En aquest cas l'exhaustivitat requereix prendre decisions. Quina de les dues llistes és completa: la blava o la vermella?
Anomenaré a les peces blaves I, L, T, O i Z i a les peces vermelles I, L, L', T, O, Z i Z'
És interessant aquí fer notar el paper que hi juguen les experiències prèvies i l'ús de materials manipulatius: per persones que hagin jugat al Tetris com a videojoc (per exemple: aquí) la resposta és clarament la llista vermella, però per persones que hagin jugat a la versió de taula d'aquest joc, com que les peces materials permeten manipular-les, veuen innecessari duplicar les peces L, L', Z i Z'.

Observar que en les cares del dau apareixen els cinc tetròminos i una cara "comodí"

A continuació van proposar el problema de formar un rectangle amb totes les peces de la llista (ja sigui la vermella o la blava) i encara que va ser força ràpid que els assistents van decidir que era un problema impossible quedava per trobar una demostració d'aquesta impossibilitat. Van suggerir la demostració amb una imatge:


Si vull construir un rectangle amb les 5 peces, tindrà 20 quadrets d'àrea i si pinto aquest 20 quadrets com si fos un tauler d'escacs, 10 serien foscos i 10 serien clars. Tal com es veu a la imatge anterior les peces que he anomenat I, L, O i Z cobririen la mateixa quantitat de quadrets foscos i clars però la peça T no pot fer-ho i per tant amb les 5 peces és impossible construir un rectangle. L'argumentació per concloure que tampoc és possible fer-ho si afegim les peces L' i Z' és anàloga.

També vam treballar amb els llistats de tots els pentòminos i hexòminos. En els dos casos vam acordar treballar amb les listes curtes, o sigui, considerant iguals peces simètriques. 

En el cas dels 12 pentòminos vam veure que no només es podia construir un rectangle amb elles sinó que aquest rectangle no era únic.
commons.wikimedia.org
En el cas del 35 hexòminos van esmentar un altre problema que requereix exhaustivitat: trobar entre ells tots aquells que corresponen al desenvolupament del cub. Allí van esmentar les dificultats que troben els alumnes en aquesta tasca degut a la presència gaire bé exclusiva de desenvolupaments prototípicos en els llibres de text, en especial, el que apareix en el primer lloc de la segona fila en la següent imatge. 
Els 11 hexòminos que són desenvolupament d'un cub
commons.wikimedia.org
Comentaris posteriors:
Val la pena mirar aquest video del @eversalazar


Són molt interessant els problemetes de suma de poliòminos proposats per Erich Friedman:
http://www2.stetson.edu/~efriedma/polyadd/
També hem publicat una sèrie d'applets sobre aquest tema a Poliòminos

4 d’octubre de 2013

Wolfram Demonstrations Project

Ja vam esmentar aquest projecte en un post anterior: Visualització amb cubets (II) però ultimament hem vist que hi ha moltes més de les seves animacions que estan relacionades amb entrades d'aquest blog.

La primera vegada que volem mirar una animació d'aquest projecte s'ha de baixar el Wolfram CDF Player que, sens dubte, és un pas que incomoda una mica però es fa només un cop a cada ordinador, és gratuït, no triga i creiem que paga la pena... A continuació us donem alguns exemples:
http://demonstrations.wolfram.com/TheGameOfBoxes/
http://demonstrations.wolfram.com/TheFourNumbersGame/
(encara que no és estèticament tan atractiva hi ha una altra animació relacionada
amb aquest problema http://demonstrations.wolfram.com/TheFourNumberGame/ 

1 d’octubre de 2013

Triangles aritmètics (2). Multiplicació i divisió

En una entrada anterior havíem parlat dels triangles additius. En aquest post ens referirem als triangles multiplicatius. La idea és la mateixa: entendre una multiplicació no solament com una operació sinó com una càpsula que organitza tres nombres d'una manera determinada.

Quan construïm els triangles la relació és que els dos nombres de sota multiplicats donen el de dalt. En el cas de la imatge no només veiem que: 5x6=30 sinò també 6x5=30, 30:5=6 i 30:6=5

Si davant d'un triangle, amaguem el nombre que està al vèrtex de dalt (l'artefacte de la fotografia ens ajuda a amagar un dels vèrtex deixant els altres dos visibles) estem repassant les taules. Si en canvi amaguem un dels nombres que estan en els vèrtexs inferiors, la dificultat no canvia massa: podríem dir que a la vegada que aprenen les taules de multiplicar també aprenen les de dividir i es resalta la visió de la divisió com a inversa de la multiplicació.

Model de fitxa de pràctica
Tret de 3x6.mat Barba i Calvo (2005) Ed. Barcanova 
Triangles i problemes
Per altra banda, no s'ha de pensar solament com un material descontextualitzat, al contrari ens pot brindar una primera representació simbòlica d'un problema en context:
Aquí tenim un exemple de problemes que es poden considerar "de dividir".

Tret de 3x6.mat Barba i Calvo (2005) Ed. Barcanova 



Descomposicions factorials
Trobar la descomposició d'un nombre en producte de factors primers ve lligat directament amb aquesta idea

Es dedueix fàcilment que 60= 2x3x2x5, escrit ordenadament:  60= 2x2x3x5

L'activitat en el 3x6.Mat Ed.. Barcanova
Aquesta manera de descompondre ens acosta a un model de descomposició en arbre, que al nostre entendre dóna moltes més possibilitats, diferent del típic de la ratlleta. Podeu veure més informació al post més sobre l'arbre de factors.

Els triangles de l'1 al 100: una activitat "rica"
Quants triangles haurem de fer si volem obtenir tots el possibles entre 1 i 100? la resposta és: molts! Per tant el podem convertir en un treball col·laboratiu on cada grup d'alumnes, n'ha de realitzar uns quants, on es fan un fart de buscar divisors.

Un cop fets es col·loquen sobre la taula de manera que els triangles que tinguin el mateix nombre a la seva part superior es posen junts fent "escaleta" i de manera ordenada com es veu a la imatge

Després començarem a parlar-ne; què hi veieu? 


Veiem que hi ha nombres que, solament estan a un triangle: per exemple el 47, altres que en generen dos: el 46 i el 49, mentre que el 48 apareix a 5

Algunes preguntes a debatre o que sortiran en el debat
  • Quins nombres són els que tenen un sol triangle?
  • Per quina raó hi ha nombres que generen  un nombre de triangles parell, per exemple el 15 que en genera 2 (1/15 i 3/5) el 30 que en genera 4 (1/30, 2/15, 3/10 i 5/6) mentre que d'altres com el 68 en generen un nombre imparell (1/68, 2/34 i 4/17). Pot ser una investigació a proposar
  • Quins nombres són els que generen més triangles? perquè?
Una observació final: si posem els triangles ordenats tal i com es veu a la figura, en el cas del 48, si ens fixem en els nombres assenyalats trobem:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 i 48 que són precisament els divisors de 48.

Aquesta troballa ens pot conduir a utilitzar el "mètode del mirall" quan vulguem buscar tots els divisors d'un nombre. Per exemple en el cas del 48, primer els escriurien
D(48) = (1,48, 2,24, 3,16, 4,12, 6,8) per després presentar-los de manera ordenada.

Segurament seria el  moment per trobar adonar-se'n  que els nombres que els nombres que tenen un nombre imparell de divisors són els nombres quadrats. Solament falta saber expressar amb certa correcció l'argumentació.


Materials
Podeu baixar-vos la col·lecció de triangles multiplicatius del 0 al 99. La hem deixat en ppt per si voleu manipular-los, fer-los més petits, crear una col·lecció per repassar les taules, per arreglar alguna errada o per si ens n'hem deixat algun (aviseu-nos)