25 de maig de 2013

Autocorrecció (I). Manipulatius

Partim de la idea que desprès de treballar junts, discutir col·lectivament, i entendre les coses des del context, els alumnes assoleixen de diferent manera el tema tractat. Per tancar el procés cal realitzar un treball que indiqui als alumnes i els seus mestres el grau d'assoliment individual del tema tractat. Vist des del punt de mira actual això ha de servir per reflexionar i ser conscients de la millora personal de cadascú. Com diu Neus Sanmartí "no hi ha res més engrescador que tenir la sensació que aprens". L'autocorrecció pot ajudar als alumnes a controlar aquest procés de millora.

Posats en aquest context plantegem la pregunta eterna: els alumnes han de disposar dels resultats dels exercicis? Per què als llibres de text no hi apareixen? A aquesta última pregunta s'hauria d'afegir  "al nostre país" ja que, per exemple, el llibre (de text) "La Geometria" de Emma Castelnuovo, a la seva edició de 1970, presenta molts dels exercicis proposats, amb el resultat incorporat.

Con es veu a la imatge tots els problemes menys el 22 i el 23 donen el resultat
Autocorrectius manipulatius
Hi ha una llarga tradició de propostes de materials autocorrectius, des de fa molts anys. I també de nova creació. En presentem un quants:

Capses Heinevetter
Podríem dir que la idea d'autocorrecció ha estat present des de fa molt, en poden ser exemples: el treball de Freinet o materials específics que van sortir al mercat a la dècada del 70. "Heinevetter" és un d'aquests materials: unes capses amb taules en que en cada cel·la es proposa una "pregunta", sobre cada cel·la s'ha de posar una peça de puzle que contingui la resposta numèrica corresponent. L'autocorrecció està basada en que les peces encaixen quan les respostes són correctes.

L'exemple de la imatge és de comptatge i identificació de numerals però hi ha una extensa varietat de capses que treballen diferents nivells i aspectes. Més informació: EJE

Capses ARCO
Material força conegut al nostre país, també treballa amb peces que cal col·locar en una base. La diferència està en la dinàmica: els alumnes posen les "peces resposta" sobre la pregunta. Es tanca la capça, se li dona la volta i en obrir per l'altre costat, si les respostes són correctes ha de sortir una sanefa. Si no surt queda clar on estan les equivocacions. Més informació: EJE.
Les dues peces de color mostren la part del darrera que crea la sanefa
Claus d'aprenentatge ARCO
Enfocades bàsicament  a aprenentatges d'habilitats, com per exemple sumes de dígits o taules de multiplicar tal i com s'ensenya en aquest vídeo. En acabar de passar el fil per les solucions correctes, en donar la volta el fil ha de seguir un camí marcat a la part del darrere. Més informació: EJE

 
Materialització de "Claus d'aprenentatge" realitzada pels
mestres de la Skogsbackeskolan (Karlstad, Suècia)
Autocorrectius actuals
Tot i que fins ara això de l'autocorrecció sembla més aviat un relat històric, no és així. Actualment hi ha propostes noves que continuen sortint al mercat, com per exemple les propostes de "K2 publishers" malauradament, per nosaltres, escrites en holandès. Els tipus d'activitats proposades, són molt interessants en general i responen a la manera de fer actual. Podria ser un bon material per a un racó d'aprenentatge. Us presentem una activitat de "vistes". 

Tal com es veu al primer exemple els nombres de les
graelles indiquen l'altura de cadascuna de les torres. 
L'autocorrecció funciona posant un plàstic transparent vermell als requadres de la dreta i així es visualitza el resultat. Per facilitar la visió d'aquests resultats el material disposa d'un artefacte com el següent. Mireu-ne el funcionament a la imatge.


Autocorrecció com a ambient de classe
Independentment dels materials involucrats l'autocorrecció, el tema està en la decisió de si la integrem o no al funcionament normal de les nostres classes. Imaginem un full d'operacions on l'exercici final fos:
  1. comprova els resultats (amb la calculadora o amb un llistat de solucions adjunt);
  2. marca les errades que has fet;
  3. en un parell d'aquests casos, explica en què t'has equivocat.
Un dels aspectes positius que pot aportar l'autocorrecció és el canvi de dinàmiques: ja no es tractaria de que la mestra reculli la feina i marqui si cada apartat està ben fet o malament, sinó que és el propi alumne qui ho fa i no es queda simplement en trobar els apartats on el resultat no és el correcte sino que ha d'identificar el tipus d'errades que ha comès i decidir si farà de nou aquests apartats o si necessita plantejar algun dubte a la seva mestra. Una feina d'aquest estil podria portar a la substitució de les sessions de classe dedicades a corregir col·lectivament la feina dels alumnes per sessions dedicades a discutir el tipus d'errades més comuns i estratègies per evitar-les.

El post "autocorrectius" no s'acaba aquí us convidem a seguir llegint el paper de les noves tecnologies en l'autocorrecció en el post "Autocorrectius 2" que penjarem en un parell de dies.

20 de maig de 2013

Referències personals per a les unitats del sistema mètric

Creiem en la importància de donar als alumnes oportunitats d'experimentar amb diferents unitats de mesura perquè puguin establir referències personals de les principals unitats del sistema mètric: que pensin en l'amplada d'un dit si parlen de 1cm, en el gruix d'una ungla si pensen en 1mm, en una passa llarga si parlen en 1m...

Aquesta setmana casualment hem tingut coneixement de dos mestres que coincideixen en aquesta creença i proposen als seus alumnes activitats que els permetin generar aquestes referències personals en relació al metre quadrat i al metre cúbic:

La primera és una activitat feta pels alumnes de 6è del Col·legi Llor que hem conegut a travès d'un dels mestres que la va portar a terme: Ramon Martí


L'altra activitat ens l'ha ensenyat la Marta Presegué, la ha fet amb els seus alumnes de 6è amb la finalitat d'entendre que un metre quadrat no es sempre un quadrat d'un metre de costat. Un metre quadrat també potser, per exemple, qualsevol rectangle construït a partir de 16 fulls DINA4
Alumnes de 6è de l'escola La Sínia de Vic
Mestra: Marta Presegué 
Sabem també d'altres mestres que fan treballs similars en relació al metre cubic:

Alumnes de 1r d'ESO de INS Lluís Domènech i Montaner (Canet de Mar)
Quants nens de 4t caben en un metre cúbic?
Escola Sadako (@torralbacarme)

17 de maig de 2013

Un material que "ensenya"

Aquest àbac de dues files és un material molt utilitzat a Holanda per treballar tant les descomposicions de nombres com les primeres operacions. El color de les boles està repartit en dos és per marcar el 5 com a punt de força per efectuar els càlculs. El més interessant d'aquest material és que ajuda a la construcció d'estratègies, com veurem seguidament.

Un exemple: sumar 7+8
L'àbac està posat a zero. Per sumar 7+8 primer cal passar el 7 a l'altre banda. La primera pregunta a fer-se és: on està el 7? Un cop localitzat es passa a l'esquerra
Ara cal afegir el 8. El primer que fem és començar per desplaçar les tres boles que queden a la fila de dalt

Un cop passades les 3 primeres, quantes n'hem d'agafar de la fila de sota per a completar el 8?. Passem doncs les cinc que falten



I ara "llegim" el resultat final: 15.
Si reflexionem sobre el procés del càlcul ens trobem amb que aquest àbac "convida" als alumnes a:
  • Veure el 7 com a 5 +2 a l'hora de localitzar-lo. Segons el domini de l'interval 0-10 que tingui l'alumne o comptarà d'un en un fins arribar a 7 o bé hi anirà directe ja que identifica el 7 com dos més enllà del 5. 
  • Descompondre el 8 en 3+5. Es tria el 3 perquè és el que falta al 7 per arribar al 100 i un cop passades les tres boles de dalt ha de saber que n'hi falten 5 per arribar al 8. 
  • Saber "llegir el resultat". Aquí ens podem trobar des d'alumnes que comptaran boles des del començament, fins els que identificaran la part de dalt amb una desena i a cop d'ull diran directament 15.
De les reflexions anteriors sobre aquest material, destaquem com suggereix una de les estratègies de càlcul més importants del cicle inicial: el "pas del 10". És a dir, a l'hora de fer sumes de dígits amb resultat més gran que 10, descompondre el segon nombre en dos per facilitar la feina del càlcul "parant-se en el 10" (7+8= 7+3+5).
El pas del 10 és segurament la clau de volta perquè deixin d'utilitzar els dits a l'hora de sumar dígits. De totes maneres per poder utilitzar-la còmodament cal un domini a fons de les descomposicions de dígits, i de les descomposicions del 10. Cal dir que el pas del 10 s'aplica també amb posterioritat a les sumes de dos dígits i un (per exemple, per sumar 25+8).
També és possible que alguns alumnes utilitzin estratègies diferents a l'hora "d'escriure" els dos nombres a l'àbac.

En el cas de la imatge anterior, un alumne ha posat els dos sumands, un en cada línia. En aquest cas, per calcular el resultat una de les estratègies més comunes és fer 5+5 (totes les boles vermelles) i després afegir l'altre 5 (2+3 boles blanques). Tot i que és interessant de cara a les decomposicions de nombres, com a estratègia té poca potencialitat i seria un aspecte a discutir amb els alumnes arribat el moment.
Per més informació sobre el treball de localització i descomposició sobre collarets (és a dir la mateixa idea que el àbac doble però fet de manera lineal de l'1 al 20, podeu veure el post que vàrem dedicar als collarets clicant aquí.

Aquest àbac és una eina molt útil si l'acompanyem de bones preguntes. Per exemple:
  • Dictar nombres, que els alumnes el localitzin a l'àbac i discutir maneres diferents d'arribar a la resposta.
  • Descompondre un nombre de diferents maneres (per exemple, el 16 com a 10+6, 9+7 o 8+8), prendre nota de les desscomposicions obtingudes i discutir si les hem trobat totes
  • Obtenir nombres de manera que la quantitat de boles en les dues barres sigui el mateix o difereixi només en una unitat. Aquesta pregunta porta amagada la idea de "doble" o "quasi doble". 
Treballant amb PDI (o senzillament amb canó)
Si es desitja o es creu necessari fer discussions col·lectives els applets ens seran de gran ajuda. Us en presentem uns quants.

No es pot dir que el disseny de l'applet sigui d'allò més atractiu però ens permet treballar col·lectivament amb el canó. A més de poder-se manipular lliurement presenta una proposta d'exercicis (els nombres de la part inferior) per a que els alumnes treballin individualment. L'applet acoloreix de verd el nombre de l'exercici, si és resol de manera corrrecte, de carbassa si ho fa en un intent posterior i de vermell si no ho fa de manera correcta.
Accedir a l'applet
El següent applet és bàsicament de pissarra per anar manipulant i discutint amb els alumnes. Permet treballar amb el de 10 o el de 20, i també amagar boles per a que els alumnes diguin quantes en falten
Accedir a l'applet
Si voleu treballar utilitzant el "subitising" ho podeu fer amb aquests dos applets segons vulgueu treballar l'interval 0-10 o 0-20. Permeten controlar manualment el temps de visualització i un d'ells, a més, permet programar el temps de canvi.
Accedir a l'applet

13 de maig de 2013

Altres materials per treballar la probabilitat

Amb aquesta entrada donem per acabada una sèrie que hem estat desenvolupant en les últimes setmanes sobre materials manipulatius per treballar la probabilitat. Fins ara hem comentat tres materials:
Avui comentarem altres materials:

Cartes
Els simuladors virtuals donen l'oportunitat de repetir un experiment moltíssims cops i també permeten projectar un experiment perquè sigui visualitzat simultàniament per tots els alumnes d'una classe. Entre els molts simuladors que ofereix el Manuel Sada en la seva pàgina web destaquem un sobre les cartes: Sacando cartas de una baraja 
Les baldufes de la Caixa de Varga

Baldufes
Tenim diversos simuladors del funcionament d'aquest material (per exemple, aquest) però volem destacar la importància de construir versions casolanes dels materials quan no els tenim disponibles, com les que tenim a l'Espai Jordi Esteve.

Quan afegim nombres a les regions de les baldufes podem ampliar el repertori d'experiments per fer amb elles. Un exemple d'aquests experiments el trobem a la proposta Which Spinners? del projecte Nrich

Exemple de l'applet que inclou la proposta Which Spinners? on es registra la suma de tres baldufes una de 3 zones, una de 4 i una de 9
Al blog de @Simon_Gregg trobareu una activitat preciosa que va fer a Primària: La millor i la pitjor baldufa
http://y4atist.blogspot.fr/2015/11/best-and-worst-spinners.html

Xinxetes
Encara que no sigui un material estàndard per treballar conceptes de probabilitat, a l'ARC ens proposen una interessant activitat sobre aquest tema amb aquest material: Com cau una xinxeta?  
Edu3.cat
Vídeo de l'activitat
Peces de dòmino
Un altre material no estàndard però que dóna molt de joc per treballar la probabilitat són les peces del dòmino. Un material per al qual les taules de doble entrada no determinen l'espai mostral tal com ho feien en el cas del llançament de dos daus. 
No  només hi ha dòminos de 28 peces, el de les peces que apareixen en aquesta foto té fins a 9 punts en cada quadre i el nombre de peces augmenta a 55. Font: http://commons.wikimedia.org
Què és més probable extreure una peça amb dos nombres iguals o una peça on hagi algun 6? Quina és la probabilitat de que la diferència de punts entre els dos quadres d'una peça sigui 3? Quina és la probabilitat que la suma de punts d'una peça sigui múltiple de 3?

Com a cloenda només podem dir que creiem que el treball amb probabilitat ha de passar per tres etapes fonamentals: 
  • predicció del resultat d'un experiment
  • experimentació amb materials manipulatius (complementada en els casos en que sigui possible amb la simulació virtual)
  • confrontació de la predicció amb els resultats de l'experimentació i redacció de les conclusions extretes d'aquesta confrontació  

10 de maig de 2013

Materials per treballar la probabilitat: daus

Un dau
Per començar el tema recomanem llegir la introducció que fa el Joan Jareño a la seva proposta "Tirem els daus" on comenta la història i diferents tipus de daus. Destaquem altres dos apartats d'aquesta proposta:
En la sessió "Ell@s tienen la palabra" que des de fa un any escriu el PuntMat a la revista SUMA (Nº 73, pp 89-98) vam presentar una activitat per fer amb un dau. Es tracta d'una adaptació del joc "La ciutat fantasma" de la Caixa de Varga que es juga sobre aquest tauler

Se coloca una ficha en la casilla indicada como "salida" y se lanza un dado dos veces. en cada ocasión, si sale 1, 2 o 3, se avanza una casilla y se sube otra. Pero si sale 4, 5 o 6, se avanza una casilla y se baja otra. Después de introducir el juego es momento de que conjeturen, experimenten y tomen la palabra para discutir: ¿en qué casillas puede acabar el recorrido?, ¿en cuál de ellas es más probable que acabe? Si hacemos el experimento unas 900 veces, ¿cuántas veces cabe esperar que acabe en cada una de las casillas? Es interesante analizar cómo afecta a las respuestas anteriores el hecho de realizar pequeños cambios en las reglas del juego. Para ello planteemos una segunda versión de éste: sólo cambia que avanzo una casilla y subo una casilla cuando en el dado sale 1, pero si sale cualquier otro número después de avanzar una casilla, bajo una. en esta nueva versión del juego, las casillas en las que puede acabar el recorrido son las mismas (F, H y J) pero ahora la más probable ya no es la H, sino la J.
Una tercera versió d'aquest joc passa per avançar una casella i pujar-ne una altra quan al dau surt un 1 o un 2 i avançar una casella i baixar-ne una altra quan surt  un 3, un 4, un 5 o un 6. En aquest cas és igualment probable acabar el recorregut en la casella H o en la J (4 entre 9 en cada cas). Encara que hi ha una certa probabilitat d'acabar el recorregut en la casella F (1 entre 9) però no es lògic apostar per acabar allí a menys que el premi compensi el risc. Podem proposar als alumnes que reflexionin sobre les raons per les que continuaria sent poc raonable apostar per la casella F encara que el premi per encertar quan s'aposta per la casella F és el doble (o, fins i tot, el triple) que quan s'aposta per les caselles H o J. 
Aquesta idea de canviar els premis per equilibrar jocs en els quals els resultats no són igualment probables també ha estat explorada en algunes de les activitats del Proyecto Gauss. Un exemple molt interessant en aquest sentit és el de la "Ruleta de Frutas" que estudia a quin preu s'ha de cobrar el dret a jugar els organitzadors si no volen perdre diners.

Dos daus
A l'article de SUMA esmentat abans vam desenvolupar un joc que ben podria formar part del post anterior: Parells i senars
Tenemos muchas situaciones en la que dos niños deben repartirse dos tareas una de las cuales es la preferida por ambos, en esos casos se les puede proponer que lo echen a suertes con los dados. El juego podría ser el siguiente: uno de ellos elige par o impar, se tiran dos dados, se multiplican los dos números y se mira si el resultado tiene la paridad elegida, si acertó elige la tarea que prefiere sino la elige el otro niño. Podemos preguntar a la clase si conviene elegir par o impar [...] Y ¿qué sucedería si en lugar de multiplicar los resultados de los dos dados los sumáramos? 
Van aprofitar aquest exemple per destacar la importància de les taules de doble entrada per analitzar-los i ara podem afegir un altre exemple en que aquestes taules demostren la seva utilitat: els daus de Sicherman, que apareixen a la imatge següent, tenen la propietat de generar la mateixa probabilitat que dos daus convencionals d'obtenir resultats entre 2 i 12 quan es sumen els dos valors obtinguts en llançar-los (més informació aquí).
Volem recordar aquí l'activitat dissenyada per fer en grups a la prova de Competències bàsiques a l'ESO proposada a l'any 2006 (la podeu trobar aquí: el quadern individual i el quadern del grup). Es tracta d'una activitat en que es proposa a cadascun dels integrants del grup tasques específiques per realitzar amb dos daus (han de llançar-los i enregistrar el resultat de la suma, la resta, la multiplicació i el màxim dels dos valors obtinguts) i que al nostre entendre permet explorar molt bé les idees que tenen els nostres alumnes sobre la probabilitat abans de fer servir les taules de doble entrada.

Tres daus i més
En relació a activitats on s'involucra l'ús de tres daus us recomanem aquesta simulació del joc "pedra, paper i tisores
Els daus utilitzats a
http://www.teachmaths-inthinking.co.uk/activities/grime-dice.htm 
Aquests tipus de daus s'anomenen "no transitius" perquè llançant dos d'ells la probabilitat d'obtenir un nombre més gran és major al vermell que al blau, és major al blau que al verd i és major al verd que al vermell. N'hi ha altres ternes de daus amb aquesta propietat, a la propera imatge en trobem un exemple.
Les cares que no es veuen tenen el mateix valor que les oposades visibles
a la imatge. Font: http://es.wikipedia.org/wiki/Dados_no_transitivos
També hi ha quaternes de daus no transitius. Un exemple (coneguts com a daus d'Efron) el trobem en un article del Miguel Barreras al número d'octubre de 2012 de la revista Uno (pàg 53) i també al capítol 28 del llibre del mateix autor "¿Y los ciruelos chinos?" (podeu trobar informació sobre aquest problema aquí ).
Imatge extreta de l'article del James Grime (del grup @Numberphile)
sobre daus no transitius  http://singingbanana.com/dice/articleold.htm
Per acabar, alguns comentaris més
  • a continuació podeu veure un fantàstic vídeo del James Grime on, fins i tot, es pot trobar un joc amb cinc daus d'aquest tipus
 
  • De daus no transitus també es parla a Un extraño juego de dados. A més de gràfics molt guapos s'afegeix una altra característica que diferencia el joc amb daus del joc pedra, paper i tissores (la primera diferencia és que amb els daus no hi ha empat). Si tres persones juguen simultàniament ni pedra, ni paper, ni tissora té major probabilitat de guanyar però si tres daus juguen simultaniament hi haurà un que té més probabilitat que els altres de guanyar. 
    • Dels 10 esdeveniment possibles en pedra, paper, tissores jugats entre tres persones (r=pedra, p=paper,t=tissores) rrr, ppp, ttt i rpt: generen empats rtt, tpp, prr: hi ha un guanyador, el que tria una cosa diferent trr, ptt, rpp: hi ha un perdedor, el que tria una cosa diferent, però no hi ha guanyador 
    • Dels 216 esdeveniments possibles en el llançament dels tres daus utilitzats a http://www.teachmaths-inthinking.co.uk/activities/grime-dice.htm El vermell guanya amb 9xy i 420 (1x6x6+5x3x1=51 del 216 casos possibles) El blau guanya amb 47 y (5x3x6=90 del 216 casos possibles) El verd guanya amb 425 (5x3x5=75 del 216 casos possibles) O sigui que el blau té un 41% de probabilitat de guanyar als altres dos, mentre que la probabilitat del verd és del 35% i del vermell només un 24
  • Cut the knot presenta el treball de Bráulio de O. Silveira en relació a l'existència de set conjunts de cinc daus no transitius
http://www.cut-the-knot.org/Probability/Nontransitive-Dice-5.pdf
Encara que no té a veure amb probabilitat, al mmaca ens presenten una altra situació d'ordre "no transitiu"

7 de maig de 2013

Parells i senars

Comencem per explicar una sèrie d'activitats que sobre aquest tema es van realitzar fa dos anys a un grup de primer de Primària i després presentarem dues activitats més que es poden proposar a alumnes una mica més grans.

Imatge treta de "El bloc de Mates" (Barcanova)
Aparellar
La idea de parell i senar s'associa ràpidament a la idea d'aparellar coses, en la que es demana que es localitzi quin és el mitjó desaparellat com és el cas de l'activitat de la imatge.

Per altra banda, una altra activitat podria ser veure que solament comptant el nombre de mitjons podem saber en principi, si és possible aparellar-los tots o en sobrarà un. En el cas de la figura hi ha 17 mitjons i a l'aparellar-los segur que en sobrarà un. 









Localitzar-los a la graella del 100: regularitats.
Un cop treballada la idea inicial, és el moment de saber identificar parells i senars a nivell simbòlic, és a dir, solament veient el nombre escrit. En un primer moment la discussió es va centrar sobre els 30 primers nombres.
En preguntar si el 16 és parell, alguns alumnes van agafar 16 fitxes i van analitzar si es poden aparellar i d'altres van dir-ho directament (perquè 8 i 8 fan 16, per exemple). En haver treballat molt sobre la graella del 100 la vàrem utilitzar per anar ombrejant els nombres que eren parells.
No va ser complicat veure què passava i anticipar si un nombre era parell o no amb el suport del model estructurador que és la graella. Finalment allargant la graella fins al 100 es van identificar els parells de l'1 al 100 aprofitant-nos de la regularitat observada en la seva col·locació a la graella.

Explicar com ho fas: el robot
Per últim es va proposar una tasca de generalització: havíem d'explicar al "robot", que sempre està present a classe, com s'ho havia de fer per a decidir si un nombre era parell o no. La proposta va ser: Heu de donar instruccions al robot perquè en donar-li un nombre parell el posi en el cistell que hi ha sobre la taula i en donar-li un de senar el deixi al costat del cistell".
Les instruccions es poden demanar per escrit, però aquí en ser alumnes de primer ho deien en veu alta i  la mestra ho escrivia a la pissarra un cop consensuada la proposta. Després, un alumne agafava una targeta (triada a l'atzar entre un conjunt de targetes amb nombres entre 1 i 100) i la donava al robot que actuava segons les instruccions abans consensuades.

Un alumne de Pràctiques que estava aquell dia a l'aula feia de robot, les primeres instruccions que va rebre el deixaven "bloquejat". Per exemple, quan la instrucció era "Com que el 2 és parell el 42 també ho serà", el robot rebia una targeta i no sabia què fer amb ella. Els alumnes, per tant, havien de cercar una manera més adequada de donar-li les instruccions perquè pogués fer bé la tasca. Poc a poc van anar ajustant més les seves propostes fins que al final va sortir:
"Si acaba en 0, 2, 4, 6 o 8, tira'l al cistell" 
Deu n'hi do, com arriben a sorprendre'ns quan parlen ells!

Parells, senars i anar pel carrer
Per conèixer com estan numerats els carrers, una activitat interessant pot ser sortir al carrer on es troba l'escola i demanar als alumnes que anotin tots els números de les cases que trobin mentre hi passegen. Pot ser una bona idea que un grup d'alumnes ho faci per una vorera i l'altre per la contrària i quan tornen a l'aula es pot demanar als alumnes que classifiquin els nombres que han anotat en senars i parells. Alguns alumnes se sorprenen en adonar-se que un grup només ha anotat nombres parells i l'altre només de senars! Val a dir que això no passarà si l'escola està al costat d'una plaça...

Paritat: un espai per a la discussió
Què passa si sumo dos nombres parells? i dos de senars? i si els multiplico? i si en sumo tres, què pot passar? Aquestes són preguntes que, als últims cursos de Primària, creen un veritable ambient de resolució de problemes i porten a plantejar discussions interessants.
Un exemple d'això el tenim en el "pòster" del calendari d'advent de la pàgina "nrich" que podeu trobar en aquest bloc en anglès o en català. Els autors el cataloguen per a cicle superior o ESO i com de dificultat mitjana.

Què passaria si poséssim aquest problema als nostres alumnes? Segurament molts d'ells es posaran a fer proves fins que es desmoralitzin i busquin alguna explicació al seu fracàs inicial. Però la potencialitat d'aquest problema és que, en el fons no demana un resultat sinó una explicació que haurà de passar pel fet que en sumar deu nombres senars no es pot obtenir un nombre senar. Us recomanem veure la part de solucions presentades per alumnes (en anglès) que ofereix la pàgina.

Per acabar, us presentem un altre problema també tret de la pàgina "nrich" en el que cal col·locar els nombres de l'1 al 9 en els requadres de manera que la diferència entre dos quadres consecutius units per una línia sigui senar.
El podem proposar a cicle mitjà ni que sigui per fer pràctica de restes bàsiques. Segurament els alumnes el trauran per tempteig, però hi ha d'haver un moment, a cicle superior o a ESO, en el que alguns alumnes quan expliquen com ho han pensat donin una resposta més o menys com aquesta:
  • El parells i els senars han d'anar capiculats perquè la seva diferència sigui senar.
  • Hi ha nou requadres i nou nombres de l'1 al 9 (cinc 5 senars i quatre parells).
  • Per tant, s'han de col·locar els nombres senars als requadres dels extrems i del mig i els nombres parells entremig en el centre dels costats del quadrat.

3 de maig de 2013

Relacionant volums

A l'assignatura d'Aprenentatge i Ensenyament de les Matemàtiques I del Màster per a professors de Secundària de la UPF, cada classe dediquem una mitja hora a fer un taller amb materials manipulatius (en l'entrada Poliedres amb cares triangulars ja havíem fet esment d'un d'aquests tallers).

En la sessió d'aquest divendres vam estar analitzant el potencial de la caixa de poliedres transparents en relació als càlculs de volums. Aquí relatem alguns dels experiments portats a terme.

El volum d'un prisma de base triangular és el triple del volum de la piràmide que té la mateixa base i alçada que el prisma


A la imatge es veuen les tres etapes de l'experiment, vam omplir un cop la piràmide amb un líquid verd (aigua amb colorant) i el vam vessar al prisma, vam omplir un cop la piràmide amb un líquid groc (oli) i el vam vessar al prisma i vam omplir un cop la piràmide amb líquid vermell (alcohol amb colorant) i el vam vessar al prisma 
També ho vam comprovar quan el prisma i la piràmide tenien una base hexagonal


Per al cas del prisma i la piràmide de base hexagonal també vam fer una altra comprobació: 
En les imatges a-b-c es veu com vam omplir dos cops la piràmide i vam vessar el líquid dintre del prisma. Però abans de vessar-hi per tercer cop el contingut de la piràmide dintre del prisma (imatge e), vam ficar la piràmide dintre del prisma i vam comprovar com el líquid es va desplaçar fins arribar just al extrem del recipient (imatge d)
El volum d'una esfera de radi r és el doble del volum del con del mateix radi i alçada 2r

En les imatges es veuen a dos futurs professors omplint l'esfera amb el contingut del con en dos oportunitats
Ara que ja hem relacionat el volum entre esfera i con és el moment de comprovar que aquests dos sumats coincideixen amb el volum del cilindre que té la mateixa base i alçada que el con



O sigui que el volum de l'esfera és el doble que el del con i el del cilindre el mateix que la suma de tots dos, de la qual cosa es dedueix que el volum del cilindre és el triple que el del con i una vegada i mitja el de l'esfera (sorprenent és que aquesta relació 3:2 entre el cilindre i l'esfera no només val per al volum sinó que també val per a les seves àrees)

La relació entre aquests volums va impactar tant a Arquímedes que va demanar a la seva família que a la seva tomba gravessin un cilindre al voltant d’una esfera amb una inscripció de la proporció entre els seus volums i així apareix reflectit en una de les cares de la medalla Fields

Font: Stefan Zachow
Released into the public domain by the author.
Un nou agraïment especial als alumnes del curs abans esmentat per les fotografies, per les reflexions compartides i sobre tot, per l'entusiasme amb que realitzen les tasques proposades.

A més de ressaltar la necessitat de la utilització de materials manipulatius a classes de Secundària, valorem que sigui un dels grups d'alumnes qui l'exposi a la resta de la classe. La intenció és que en el futur ells facin el mateix amb els seus alumnes, que els facin manipular i en diferents sessions els alumnes expliquin i justifiquin l'experiència viscuda: que parlin ells. A més té el valor afegit de meravellar-nos amb la creativitat dels alumnes. En aquest cas la utilització de tres líquids de densitats diferents per il·lustrar la fórmula del volum de la piràmide.