29 d’abril de 2013

Materials per treballar la probabilitat: les monedes

Quan els alumnes estudien per primer cop la situació: llenço dues monedes i miro les cares que han quedat cap a dalt, per quina opció apostaries: surten dos nombres, només un nombre o cap? acostumen a pensar que les tres opcions tenen la mateixes possibilitats. Quan experimenten fent alguns llançaments comencen a intuir que l'opció de que surti només un nombre cap a dalt és més freqüent, quan ho fan amb un simulador on poden realitzar moltíssims llançaments comencen a veure que no només és més freqüent sinó que és el doble de freqüent que les altres dues opcions:
En aquesta imatge resultat d'una simulació de 70 llançaments fets amb http://syzygy.virtualave.net/webwork/javascript/23coints.htm es veu que en
35 oportunitats en una de les monedes ha sortit un nombre (un tren aquí) i en
l'altre una cara (de les altres 17 han estat dos cares i 18 dos nombres)
Creiem que per ajudar al alumne a que vegi que en llançar les dues monedes els resultats possibles són quatre i no tres és bo que facin els llançaments amb dues monedes diferents 
Font: http://bilder-bibliothek.blogspot.com.es/  
Amb aquestes monedes, els possibles resultats dels llançaments són: que en les dues quedi el nombre cap a dalt, que en la d'euro quedi el nombre i en la de dolar no, que en la de dolar quedi el nombre i en la d'euro o que no quedi visible cap dels dos nombres. 

Si llanço tres monedes, per quina opció apostaries?
Font: https://commons.wikimedia.org 
El simulador utilitzat per a dues monedes també serveix per analitzar aquest experiment

I en aquest altre applet també es pot comparar els llançament de dues i tres monedes: en el cas de dues monedes "en les dues cares surt el mateix" és un esdeveniment de probabilitat un mig però en el cas de tres monedes "en les tres cares surt el mateix" és un esdeveniment de probabilitat un quart. 

En relació al llançament de 4 monedes us proposem l'activitat animada del projecte NRICH The Better Bet: convé apostar perquè surtin exactament dos nombres cap dalt quan llencem 4 monedes? Certament no ja que només tenim 6 possibilitat de guanyar entre 16 resultats possibles. Però si ens proposen que per llançar les monedes es paga 1 euro i cobren 3 euros quan obtenim dues cares, convé jugar-hi?


Ara que ja hem analitzat els llançaments amb 2, 3 i 4 monedes i després de reflexionar sobre el fet de que llançar n monedes és el mateix que llançar una moneda n cops, podem plantejarnos aquest altre problema del NRICH: Thank Your Lucky Stars (penseu que totes les activitats del NRICH porten enllaços cap a la solució del problema, cap a recursos per al professor i cap a problemes semblants)


En relació a l'anàlisi de ratxes en llançar una moneda també hi ha propoestes interessants al NRICH (Last One Standing o What Does Random Look Like? o el vídeo que apareix a la següent imatge)


En el pròxim post dedicat als materials per treballar la probabilitat parlarem de daus i allí comentarem extensament els jocs no transitius, encara que la majoria involucren daus n'hi ha un que involucra el llançament reiterat d'una moneda per la qual cosa pot interessar esmentar-lo en aquest post: El juego de Penney: tirando monedas con curioso resultado.

Per acabar volem parlar d'altres monedes unes de les que hi ha tres tipus: unes que són vermelles pels dos costats, altres que són blaves pels dos costats i altres que són vermelles per un costat i blaves per l'altre. Agafem-ne una de cada tipus, posem-les en una bossa, extraiem una, mirem una de les cares i intentem endevinar el color de la cara que no veiem. Quina és la millor estratègia?

Aquí tenim un simulador d'aquest joc fet pel Joan Jareño
http://www.xtec.es/~jjareno/activitats/atzar/tres_fitxes.htm
I aquí un estudi del problema.

Comentari a posteriori
Durant la X Jornada d'Educació Matemàtica organitzada a l'IEC vam poder escoltar la presentació del grup MatGi "Tema 13: Probabilitat i Estadística" i allí es van proposar materialitzar el problema de Buffon amb monedes. Us recomanem molt els documents que sobre aquest problema trobareu seguint l'enllaç anterio. Destaquem especialment el simulador de l'experiment que ofereixen i la contrastació  de les dades experimentals amb l'anàlisi geomètrica de la posició que han d'ocupar els centres de les monedes perquè no tinguin contacte amb les línies.
Còpia de pantalla obtinguda amb el simulador abans esmentat

20 d’abril de 2013

Materials per treballar la probabilitat: boles i urnes

Una manera natural de treballar amb fraccions
Imaginem que en una cursa d’obstacles, cada obstacle és una prova que no pots superar fins que no extreguis la bola adequada d'una urna. Però en cada obstacle pots triar si fas la versió A o B de la prova. Si en un cas tens les següents dues versions de la prova, quina triaries?


La relació amb l'ordenació de fraccions i amb el càlcul de probabilitats d'aquesta situació és innegable però podem proposar-la sense haver treballat abans cap dels dos temes de manera explícita a l'aula. Més aviat, podem considerar-la una molt bona situació inicial per introduir qualsevol dels dos temes.

A la Cursa de probabilitat de la Caixa de Varga es poden trobar dotze targetes que combinades entre si donen moltes oportunitats de fer comparacions de fraccions amb el mateix numerador, amb el mateix denominador, etc.

Boles indistingibles
Un problema interessant relacionat amb aquest material és el següent: Si saps que a l’urna hi ha tres boles blanques i una negra i extreus dues, per quina opció apostaries: treure dues boles del mateix color o dues de color diferent?

Aquest problema posa l'atenció sobre la dificultat de comptar bé totes les possibilitats quan tenim elements que no són fàcilment identificables com a diferents. Imaginem que a més de color aquestes boles tenen un nombre diferent cadascuna. Aquí no és difícil identificar l'espai mostral de l'experiment, o el que és el mateix, llistar tots els possibles resultats d'una extracció: 12, 13, 142324 34. Ara la resposta esdevé senzilla: les dues opcions "treure dues boles del mateix color" o "treure dues boles de color diferent" són igualment probables.

Aquest problema de la distinció entre boles és el mateix que es presenta quan llancem dues monedes i els alumnes pensen que els resultats possibles són 3 quan en realitat són  4 i el mateix que es presenta quan llancem dos daus i els alumnes afirmen que només hi ha una possibilitat de que en sumar els resultats resulti un 11: que en un dau surti un cinc i en l'altre un sis. Aquests dos problemes els discutirem amb més detall en futures entrades del blog dedicades, una a monedes i l'altra a daus.

En aquest sentit, recomanem molt aquest applet del Juan Garcia Moreno:
Esmentat a http://www.didactmaticprimaria.com/2014/06/intuicion-probabilistica.html
Més activitats per fer amb boles i urnes
Amb aquest material també podem fer el problema Quants peixos hi ha en un llac? del que ja vam parlar en aquest blog: com podem estimar el nombre de total de boles que hi ha en una urna molt plena sense haver de comptar-les una a una?

A l'octubre de 2015 El Joan Jareño va publicar un post en el seu blog amb un problema molt senzill i de resposta molt poc intuïtiva que val la pena analitzar: En quin lloc sortitrà?
Traiem boles d'aquesta urna una a una: En quin
lloc pensem que apareixerà la primera bola negra?
Una altra activitat relacionada amb aquest material de la que ja hem parlat en aquest blog és Què hi ha dintre de l'ampolla? i de la qual podem trobar una versió virtual al mòdul ¿El azar es cuestión de suerte? del Màster on-line eMeC elaborat per l'Antoni Gomà i una altra a l'entrada In the bag del projecte NRICH.

I per suposat també podem parlar de la loto 6/49:

14 d’abril de 2013

L'escultura com a ampliació d'una cosa petita

Fer maquetes a classe de Matemàtiques és una activitat bastant coneguda i que s'ha fet moltes vegades. Aquí us volem explicar la nostra experiència personal treballant aquest tema.

En el curs 2002-2003 vàrem proposar a dues alumnes a les que dirigíem les pràctiques portar a terme un miniprojecte de matemàtiques: realitzar "una escultura" consistent en ampliar un objecte de la vida quotidiana a mida gegantina. La idea no era nova, l'havíem aprés d'una mestra: la Lola Miró, que el curs anterior ho havia plantejat als seus alumnes. En aquell cas l'objecte triat, malgrat el disgust de la mestra sobretot a l'hora d'haver-lo d'anar a comprar, va ser un "Happy Meal" de Mc Donald's.


En la foto de l'esquerra es pot apreciar la mida original dels elements del Happy Meal: la bossa de paper, el got, les patates, etc. I en la de la dreta les reproduccions fetes pels alumnes.

Partint d'aquesta idea i aprofitant unes pràctiques que la Inés Cruces i la Lídia Garriga feien al CEIP Pau Casals de Gràcia (Barcelona) varem proposar-les "projecte matemàtic" semblant al de la Lola Miró. Elles van incorporar la idea de partir de les obres d'Oldembourg que treballa precisament sota aquesta idea per a fer les seves escultures, de les que n'hi ha una a Barcelona: "La capsa de llumins"
Fotografia de Barcelona Photo
Organització del projecte 
A partir d'una presentació d'imatges elaborada a partir de la pàgina web de Claes Oldemburg, es va demanar als alumnes que triessin un motiu per a fer una escultura. Les dues propostes que es van portar a terme van ser: a sisè "un estoig" i a cinqué "la bicicleta".

L'estoig de sisè
Cada grup d'alumnes va encarregar-se d'un dels elements d'un estoig: la goma, el llapis, el pinzell, etc. Van triar un factor d'escala comú i van començar a treballar:
Construcció de la goma. 
A destacar la filigrana del treball de reproducció i ampliació de les lletres
En el pinzell ens vàrem emmerdar de pega fins als colzes, però era necessari. 
A la foto la Inés donant un cop de mà als alumnes.
 
Pot de pega. 
Gairebé una obra d'art per la seva cosotsa el·laboració, l'elecció dels materials etc.
El llapis: no va ser fàcil trobar el desevolupament per fer la punta. 
I pel que fa a les lletres en Juanjo (mestre de sisè a la foto amb la serra) els va dirigir a buscar 
tipologies de lletra a l'ordinador fins que varen trobar-ne una que s'hi assemblés molt
La ploma
El resultat final, a la porta de l'escola

Una altra proposta sobre aquest mateix tema va ser feta poc després pels alumnes de quart de Primària de l'Escola Sadako aprofitant l'exposició que es va realitzar a la Fundació Miró sobre aquest autor.

Podeu trobar l'explicació detallada del procés i els seus resultats en aquest en aquest enllaç.

En aquest cas el treball de construcció de la maqueta prèvia va ser el motiu central.
 


La bicicleta
El projecte dels alumnes de cinquè va ser diferent dels de sisè. En aquest cas enlloc de triar objectes diferents que tinguessin alguna relació, van triar un sol objecte: una bicicleta de dos metres, i se la van repartir per parts. La Lidia Garriga i la mestra, Caro Mas, van engrescar als alumnes en aquesta feina

Planificar, dissenyar, construir
Les rodes i la Lidia
Construcció del seient
Parts diverses
El resultat final
L'estoig va ser demanat per a una exposició que va fer l'Ajuntament de Barcelona sobre l'Ensenyament a Catalunya des del 34 fins als nostres dies. La bicicleta els va encantar però no els hi cabia.

6 d’abril de 2013

Quadrats màgics amb retenció de líquids

Dels 880 diferents quadrats màgics diferents de 4x4 aquesta setmana hem sabut a través de Futility Closet que molts retenen líquids.

Què volen dir amb això de retenir líquids?

Pensem en un quadrat màgic com una representació d'alçades d'una construcció feta amb cubets. Aquest tipus de representació la podem treballar amb l'applet Building with blocks que ja havíem presentat en l'entrada Visualització amb cubets però en aquesta ocasió fent servir l'opció Making height numbers.

Diuen que la construcció reté líquids si trobem alguna casella en la que, si "plou", les caselles que té al voltant, per les seves alçades, provocarien embassaments. En el cas de la imatge de l'esquerra (que òbviament no està relacionada amb quadrats màgics) no hi ha cap zona de la construcció on es retenguin líquids però si traduím a una costrucció amb cubets el quadrat màgic de Melancholia I d'Albrecht Dürer podem veure que "reté  líquid". 

En aquesta última imatge es pot "veure" que la construcció reté líquid a sobre de les torres d'altura 6 i 7

Intentem quantificar el líquid que queda embassat sobre les torres d'altura 6 i 7 (o el que és el mateix, entre les torres d'altura 10, 11, 12, 14, 15 i 9). Si prenem com a unitat de mesura el líquid que cap en una torre d'altura 1, com que l'embassament arribaria fins una altura de 9 (l'altura més baixa de les torres que l'envolten, a la imatge indicada amb groc), a sobre de la torre d'altura 6 es retenen 3 unitats de líquid i a sobre de la torre d'altura 7 se'n retenen 2, donant un total de 5 unitats de líquid embassat.




Això de retenir líquids no és inusual, segons Craig Knecht, 743 dels 880 quadrats màgics de 4x4 en retenen. El màxim que en poden retenir els quadrats màgics de 4x4 són 15 unitats i n'hi ha 12 solucions al problema de trobar els quadrats màgics que retenen aquesta quantitat de líquid:
Aquesta és una solució presentada per Hugo Pfoertner en el concurs 
Magic Water dels Al Zimmermann's Programming Contests
Aquestes altres dues solucions les hem pogut trobar entre el 




Però a partir del llistat que apareix a l'informe final del concurs d'Al Zimmermann podem construir les altres 9 solucions.






Representem una solució fent servir Geogebra (en aquest cas la construcció
reté 6 unitats de líquid sobre la torre d'altura 3 i 9 unitats sobre la d'altura 2)
Representem una solució fent servir SketchUp (en aquest cas la construcció reté
5 unitats de líquid sobre la torre d'altura 4 i 10 unitats sobre la d'altura 1)
I aquí representem les restants set solucions

2 d’abril de 2013

Disseny de llaunes de refresc.

Presentem una activitat duta a terme amb estudiants tant de Magisteri de Primària com de la malauradament desapareguda especialitat de Magisteri Musical de la UAB. L’objectiu principal era fer-los conscients de la quantitat de contingut i de les connexions matemàtiques que pot generar la realització d’un "miniprojecte matemàtic".

Proposta

L'activitat, realitzada en grups de treball, consistia en dissenyar i construir una maqueta de "llauna de refresc", de forma diferent de les estàndards, amb la condició que tingués la mateixa capacitat. Calia presentar també un dossier que contingués: la foto de la maqueta, una representació, en dues dimensions: croquis, planell, etc. i una proposta que plantegés alguna utilitat un cop buida que justifiqués el disseny escollit.
Finalment, a més del lliurament del dossier, cada grup va haver de fer una presentació de 6 minuts de durada com a màxim del seu prototip, explicant la manera de calcular el volum i la utilitat que podia tenir un cop buida. Un cop acabada la sessió es va realitzar una exposició del treballs.

Galeria d'imatges

Us presentem una mostra de treballs, els tres primers inclouen la seva utilitat, atès que varen ser votats com les tres utilitats més enginyoses. Les frases són transcripció del treball dels alumnes.
Diable: Per jugar quan acabes de beure
Fuà: Quan vas pel carrer i veus una llauna al terra què fas? la xutes oi?, doncs així serà més fàcil
Per a la platja, un cop destapada la pots clavar a la sorra i així es manté dreta
Hexacola
Egiptcola
Refresca't
Llapiscola

Bitlla
Comentaris
Quan es treballa amb les errades es fan paleses de manera clara. Això fa que s'hagi de replantejar, ja a mig camí, on està l'errada, cosa que normalment no acostuma a passar amb problemes descontextualitzats. Un exemple d'això va ser l'aparició d'una dificultat no "pretesa" pel professor: un nombre important de grups, a l'hora de realitzar el càlcul de les mides que havia de tenir la maqueta, es van trobar en que els resultats obtinguts els donaven valors massa petits. Tant que a cop d'ull ja es veia que aquelles mides no podien ser correctes de cap manera. Es van repassar els càlculs, no es trobava el motiu. Finalment, i no va ser gens immediat, van descobrir l’errada: per a molts alumnes 33 cl era equivalent a 33 cc. Segurament no oblidaran mai més que això no és cert.

Un altre aspecte va ser la diversitat d’estratègies per calcular el volum, des de les més artesanals a la consulta bibliogràfica:
  • Desenvolupar estratègies "primitives": la Laia volia fer un envàs esfèric i per aconseguir-ho va agafar un globus per omplir-lo amb 33 cl d’aigua intentant estimar el radi de la quasi esfera obtinguda. 
  • Formular problemes nous: com s'ha de fer per, un cop sabudes l'altura i radi de la base d'un envàs en forma de con, dibuixar amb regle i compàs el desenvolupament per construir-lo en cartolina. 
  • Buscar informació: per trobar el costat del dodecaedre, els components del grup van trobar la fórmula buscant a Viquipèdia. Cal dir que per a força gent va ser un descobriment que el volum d'aquests poliedres també "tinguin fórmula".
Aquest miniprojecte es podia haver ampliat a altres aspectes molt interessants, com per exemple el paper de la comunicació:
  • com representar en 2D un objecte 3D
  • quines figures admeten ser explicades per "vistes" i quines no
  • quin paper juguen els "noms" de les figures per poder expressar-les verbalment
  • poden ser utilitzats els desenvolupaments per "explicar" una figura 3D 
En no haver-hi temps per realitzar-ho, en acabar el taller es va fer una reflexió sobre aquest aspecte, però sense ser treballat a fons.