27 de març de 2013

El residu sí importa (1a part)

Fa un mes, en l'entrada Jocs i pràctica del càlcul: golf, vam esmentar un applet (remainders count) que té el mateix títol que la nostra entrada d'avui en que parlarem de situacions en les que hi ha involucrada una divisió, però la resposta no està tan lligada al seu quocient sinó al seu residu. Creiem que són molt interessants aquestes situacions però potser no estan prou presents en les nostres aules.

Comencem per analitzar aquestes quatre situacions

  • Volem preparar poms de sis flors cadascun i tenim 25 flors per fer-ho. Quants poms podem preparar? 
  • La mestra vol formar sis amb els 25 alumnes de la seva classe per fer una activitat al laboratori de Ciències. De quants alumnes ha de formar cada grup? 
  • Sis amics surten a berenar i en el bar els cobren 25 €, quant ha de pagar cadascun? 
  • Per fer una passejada pel llac els 25 integrants d’una excursió han de llogar unes petites barques que admeten un màxim de 6 passatgers. Quantes barques han de llogar?

En totes elles la divisió involucrada és la mateixa però la resposta en tots els casos és diferent (4 poms, cinc grups de 4 alumnes i un de 5 alumnes, 4.17€ i 5 barques). Val a dir que en el cas que la divisió involucrada fos 25:5 (quan els poms siguin de cinc flors, els grups que vol formar la mestre són cinc, els amics que surten a berenar són cinc o el màxim que poden viatjar en una barca són cinc persones) la resposta no varia entre les quatre situacions: sempre és 5 (5 poms, 5 alumnes per grup, 5€ cada amic i barques). O sigui que tenim una primera evidència: si el residu no és zero, la resposta al problema no és necessàriament el quocient.

Altres exemples:

17 de març de 2013

Pràctica productiva i pràctica reproductiva

Les destreses aritmètiques bàsiques (comptatge, càlcul mental, etc) necessiten pràctica. Però no hi ha una única manera de portar a terme aquesta pràctica, es pot fer de manera reproductiva, quan només s’enfoca a l’automatització de les destreses bàsiques, o productiva, quan aquest objectiu s'assoleix de manera més indirecta ambientant-lo en la resolució d'un problema. N'hi ha moltíssims exemples d'activitats dirigides a la pràctica productiva, ja hem presentat algunes en aquest bloc. Per exemple: cucs per practicar triples i meitats: Conjectura de Collatz: una activitat de classe o quadrats màgics per practicar sumes entre nombres enters: Quadrat màgics i nombres enters o el joc del 24 per practicar les operacions combinades: Ús de parèntesis i prioritat d'operacions.

En aquest post volem presentar una altra activitat que creiem que pot servir per fer pràctica productiva: Diffy. Es tracta d'un joc per practicar diferències entre nombres naturals, decimals o fraccions (restant sempre "el petit del gran") que té una versió virtual (http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_326_g_2_t_1.html) en la Biblioteca de Materials Manipulatius NLVM (una biblioteca d'applets de la que ja hem parlat en altres ocasions, per exemple, en relació als geoplans o als arbres de factorització).

Don Steward en el seu bloc proposa un fantàstic treball relacionat amb aquest joc i la cerca de patrons i regularitats que va més enllà de l'ús de l'applet: http://donsteward.blogspot.com.es/2012/03/diffy.html

Aquí us presentem una altra activitat. Vam proposar als alumnes cercar exemples que representin les diferents possibilitats en el resultat final quan s'aplica Diffy en 4 etapes tal com ho fa l'applet: que al final siguin tots nombres iguals (zeros o un altre nombre) o que al final s'aconsegueixin nombres diferents (tots quatre, 2 i 2 o 3 i 1)
Només un nombre al centre: tots zeros
Només un nombre al centre: aaaa
Dos nombres al centre: aaab
Dos nombres al centre: aabb
Dos nombres al centre: abab
Tres nombres al centre: abac
Tres nombres al centre: aabc
Quatre nombres diferents al centre
(el que més va costar trobar als meus alumnes)

14 de març de 2013

El joc del lloro Waku-Waku

Aquesta és una altra activitat que va portar la Maria Roca fa uns anys amb els seus alumnes de primer de Primària de @escolasadako. La vam conèixer a través del llibre “Children Learn Mathematics” editat l'any 2001 per la Marja van den Heuvel-Panhuizen del Freudenthal Institute (Utrech University).

L’objectiu del joc és animar als alumnes a proposar operacions coneixent el resultat (produccions pròpies).  Per fer-ho, La Maria tenia tres lloros, un que suposadament només sabia dir “sis”, un altre que només sabia dir “deu” i un que només sabia dir “cinc”. Es va invitar als nens a fer preguntes als lloros per fer-los creure que sabien matemàtiques. Quan "actuava" el lloro que només sabia dir cinc els nens li proposaven sumes, restes (algunes de molts senzilles: 6-1 i altres de molt més elaborades: 105-100) i fins i tot alguna "multiplicació" (cinc vegades 1). Quan el resultat era cinc la Maria, imitant la veu del lloro, deia la resposta i quan per alguna errada de l'alumne el resultat de l'operació proposada no era cinc, la Maria, li tapava el bec al lloro perquè no se li escapés l'única paraula que sabia dir, la qual cosa demostraria que no sabia tantes matemàtiques com pretenia fer creure.

Uns mesos després, va tornar a proposar la mateixa activitat però ara els lloros que havía portat sabien dir “quaranta” i “vint-i-sis” i la producció de preguntes que feien els nens als lloros es va adaptar perfectament a aquests nombres més difícils.  Va portar un tercer lloro que només deia “vint” però ara la tasca era una mica diferent el lloro el tenien el nens i era la mestra qui feia les preguntes. Els nens ajudaven al lloro a donar la resposta quan aquesta era vint i “tapaven” el bec del lloro quan la pregunta que li feia la Maria no tenia vint per resposta.

Aquest mateix joc el podem trobar en forma d'applet a la biblioteca d'animacions del Freudenthal Institute: http://www.fisme.science.uu.nl/toepassingen/03289/

Si el lloro sap dir el nombre 20, l'alumne ha de proposar-li
càlculs que tinguin aquest nombre com a resultat

8 de març de 2013

El bou i la vaca sobre la línia numèrica buida

La primera vegada que es va proposar aquesta activitat en el curs de primer que portava la Maria Roca (en aquell moment treballant a @escolasadako) va ser cap al desembre. Es tractava d’endevinar un nombre entre 0 i 20 ajudant-se de preguntes del tipus: és menor que 8? és major que 4? 
El nen que pensa el nombre que els altres han d’endevinar respon sí o no a aquestes preguntes i acompanya les seves respostes amb el moviment d’una vaca i un bou de joguina que en un començament estan a banda i banda de la línia numèrica. Per exemple: si el nombre triat pel nen era el 13 quan els seus companys li preguntaven si era més gran que 10, responia que sí i portava el bou (indicador de la fita inferior) fins al 10 perquè els seus companys recordessin aquesta dada i per la propera pregunta sabessin que el nombre triat estava entre 10 i 20. Si li preguntaven si era més gran que 17 ell responia que no i posava la vaca (indicadora de la fita superior) al 17 indicant que el nombre triat estava entre 10 i 17. Així, anavn apropant-se al nombre triat fins que l’endevinaven.

Dos comentaris interessants sobre la feina dels nens en aquesta activitat:  
  • En una ocasió un nen va preguntar si el nombre era més gran que 10 i l’encarregat de triar el nombre en aquella oportunitat li va contestar que sí, el nen que tenia el següent torn de pregunta, li va preguntar si era més petit que 8 i li contesta “tu ja saps això”. Aquesta tipus de situació permet discutir sobre la pertinència d’algunes preguntes tenint en compte la informació prèvia. 
  • Després d’endevinar-lo, cada nombre, s’anotava sobre el paper. En les següents instàncies del joc els nens no sempre aprofitaven les etiquetes ja col·locades i de vegades si havien de posar el bou al lloc 9 encara que ja estigués anotat el 7 comptaven des del 0 per trobar-lo.

La segona vegada que es va realitzar aquesta activitat, la Maria va proposar alguns canvis: a la línia numèrica no apareixerien totes les marques dels nombres entre 0 i 20 sinó només tres marques que els nens van identificar com el 5, el 10 i el 15 (amb l’ajuda del collaret de 20 boles tal com es veu a la foto). La idea era que en properes instàncies ja no calgués marcar res entre el 0 i el 20.



La Maria els va preguntar on creien que estarien nombres com poden ser el 6, el 9, el 14 i no van mostrar cap inconvenient en identificar la ubicació a no ser alguna dificultat amb la conservació de l’escala, cosa que ja comentarem amb més detall després.  
Alguns comentaris: 
  • Caldria que el nen a més a més d’ubicar el bou o la vaca a una determinada posició etiquetés aquesta posició amb el nombre corresponent perquè el puguin recordar quan realitzen les següents preguntes (vam veure que s’oblidaven del nombre sobre el que estava posat l’animal). Això ajudaria al mateix temps per donar més importància al ordre dels nombres que a l’escala del dibuix (problema que comenten en el proper punt). De tota manera, també aquesta vegada vam constatar que molts nens no feien servir les etiquetes anteriors. 
  • Això es combina amb el problema de l’escala donant lloc a problemes com el que es va presentar: les nenes de la foto havien d’ubicar el 16, encara que ja hi era indicat des d’un joc anterior, elles van començar des del 20 a donar 4 salts cap enrere... però arribant a una altra posició.
  • En aquesta oportunitat es va repetir la discussió al voltant de les preguntes supèrflues. Després de saber que el nombre triat és més gran de 10 encara hi havia qui preguntava “és més petit que 8?”, (també tenim enregistrat en vídeo una situació d’aquest tipus)  
  • Aquest dia vam detectar que el joc tal com el veníem plantejant té un problema seriós. Suposem que el nombre triat és el 15, si la pregunta és: És més gran que 15?, la resposta ha de ser que no, però això portaria al nen a pensar que el nombre triat és més petit que 15. Degut a això vam decidir fer un canvi en les futures oportunitats en que es plantegés el joc: en lloc de preguntar si era més petit o més gran, per exemple, que 12, la pregunta seria “és el 12?” i el nen que havia pensat el  nombre a endevinar, contestaria una de les tres següents possibilitats 
    • “sí” 
    • “no, és més petit” (i il·lustraria la seva resposta col·locant el bou sobre el 12) 
    • “no, és més gran” (i col·locaria la vaca sobre el 12)   
Cap a l’abril, la Maria va tornar a proposar als nens jugar amb el bou i la vaca però ara amb la línia del 0 al 100. Al començament només havia la marca del 50 al mig. 
El primer nombre que havien d’endevinar era el 70 i la primera pregunta que van formular era si el nombre era el 49. Com la resposta va ser que no, que era més gran, els nens van col·locar el bou al 49 (una miqueta més endarrere que el 50). 
La següent pregunta que van formular era si el nombre era el 60. Quan els van contestar que no, que era més gran, els nens havien de col·locar el bou al 60 i aquí es va presentar una situació molt interessant. Un nen va fer donar al bou deu passets a partir del 50, sabia que havien de ser passos petits i per això s’esforçava perquè en cada pas les potes del darrere anessin fins on estaven abans las potes davanteres, aquest era el pas més petit que el podia imaginar, però fent-ho així el 60 quedava gaire bé tan a prop del 100 com del 50, això implicava la necessitat d’una discussió específica sobre aquest punt. La discussió els va portar a decidir que podien fer un salt de 10 cap endavant en lloc de 10 passets i la longitud d’aquest salt de deu s’havia de triar de manera que cabessin 5 entre el 50 i el 100.

Després d'un de parell de preguntes més, van endevinar que el nombre era el 70 i en aquell moment a més dels nombres que ja estaven marcats a l'inici: el 0, el 50 i el 100, a la línia apareixien més marques etiquetades: la del 60, la del 70, etc. i la Maria els va proposar ubicar els nombres 40, 80 i 90 reforçant la idea del salt de 10 com una unitat. Després van fer unes quantes endevinalles més però ara amb les marques de les desenes ja fetes la dificultat va ser més petita.


Un applet relacionat amb aquesta activitat:

http://www.fisme.science.uu.nl/toepassingen/00181/leerling.html 







Podeu trobar més applets sobre aquest joc al nostre blog d'applets a El bou la vaca i la línia numèrica

5 de març de 2013

Calendari nrich en català

En el post del 30 de novembre del 2012 presentàvem els calendaris d'advent de nrich. Ara, i gràcies a la feina feta per l'Ana Cerezo, volem oferir-vos la versió en català del calendari de Primària, així com fer un petit viatge per la seva fantàstica pàgina. Encara que advent ja ha passat podem recuperar la idea de cara a qualsevol altre època de l'any o incloure'l en la celebració de la "Setmana de les Matemàtiques" que molts centres ja celebren. El que el 14 de març sigui el dia de PI és una bona excusa per fer de tota aquesta setmana una setmana dedicada a les matemàtiques.

Cal tenir en compte un aspecte important: no és un calendari "de classe" en el sentit que entre els 24 problemes presentats en trobem uns quants propis de cicle inicial, altres de cicle mitjà i altre de cicle superior, aspecte que ve indicat en la fitxa del problema que presentem més endavant. Podríem dir que aquest calendari ens ofereix un problema per setmana per cada cicle aproximadament.

Un exemple a partir d'un "pòster" 
Comencem per el que ells anomenen "posters" que no són altra cosa que problemes preparats per ser projectats amb el canó a classe o si es vol, per ser penjats en "el suro". El calendari solament és una excusa per crear expectatives i dinàmiques que condueixin a resoldre problemes. En el cas del calendari que presentem la proposta és resoldre el problema del dia des del dia 1 fins al 24 de desembre com ja sabeu.

El problema del dia 1 és el següent
El problema és bonic al nostre entendre, però hi ha moltes més coses. L'adreça que apareix just sota el requadre, dóna accés a la fitxa de suport del problema (aquest cop en anglès: l'Ana també té dret a dormir) que és de gran ajuda. Veiem-ne l'exemple que fa referència a l'activitat anterior:
A l'encapçalament, sota el títol es marca el nivell: Stage 1 fa referència als nostres 1r, 2n i 3r de primària i  Stage 2 fa referència a 4t, 5è i 6è.
Si us fixeu en l'extrem superior esquerre, veureu un requadre on surt la paraula "problem" que és la que està activada a la imatge superior. Seguint la llista trobareu diferents opcions: solucions, materials per imprimir, etc. Però la part interessant de veritat és la corresponent a "Teachers Resorces" que presenta una fitxa guia amb un esquema senzill, però potent i fàcil a la vegada, dividit en 5 apartats que ens permet treballar amb molta més informació.
  • Per què aquest problema?
  • Possible aproximació
  • Preguntes clau
  • Possible ampliació
  • Possible ajuda.
Us convidem a fer-hi un cop d'ull, pensem que és un bon esquema pera facilitar l'intercanvi d'experiències entre docents.

Calendari en català  de la proposta de "nrich"
Els problemes presentats en diapositives. Si entreu a slideshare els podreu baixar



Accès a les col·leccions generals de pòsters  i altres recursos
Aquest calendari és una tria de la col·lecció de pòsters dels que disposa la pàgina. Si voleu accedir a la col·lecció completa (en anglès)  podeu clicar aquí. Accedireu a un petit llistat en el que trobareu entre altres, l'accés als pòsters de Primària i de Secundària, que poden ser descarregats en format power point (nota: aquest enllaç és el mateix que ja havíem publicat en el post del dia 2 de setembre del 2012).

2 de març de 2013

Poliedres amb cares triangulars

Aquesta setmana al taller amb materials manipulatius per treballar la Geometria que fem periòdicament amb els alumnes de l'assignatura AE1 del Màster per a la formació de professors de Secundària de la UPF ens hem platejat construir tots els poliedres convexos que és possible construir de tal manera que totes les seves cares siguin triangles equilàters iguals: els deltaedres

Aquestes fotografies en són el resultat:
Tetraedre (poliedre regular de 4 cares)
Piràmide triangular 
Hexaedre (poliedre no regular de 6 cares)
Bipiràmide de base triangular
Octaedre (poliedre regular de 8 cares)
Bipiràmide de base quadrada
Decaedre (poliedre no regular de 10 cares)
Bipiràmide de base pentagonal
Dodecaedre (poliedre no regular de 12 cares)
Es substitueixen les bases d’un antiprisma quadrat per dos triangles
Tetradecaedre (poliedre no regular de 14 cares)
Prisma triangular triaugmentat (o sigui que es substitueix cada
cara quadrada del prisma per una piràmide de base quadrada
Hexadecaedre (poliedre no regular de 16 cares)
Bipiràmide de base quadrada girolongada
Icosaedre (poliedre regular de 20 cares)
Bipiràmide de base pentagonal girolongada
Però també hem pogut anar més enllà centrant-nos en els angles que formen les cares del tetraedre i octaedre. 
  • les cares del tetraedre formen un angle d'aproximadament 70º
Si com ensenya la següent fotografia posem cinc tetraedres de manera que coincideixin en un vèrtex es veu que l'angle que formen les cares considerat cinc cops és proper a 360º, sense arribar-hi. Això ens permet estimar l'angle amb un valor lleugerament per sota dels 72º.

També podriem calcular l'angle que formen les cares del tetraedre mitjançant trigonometria. El cosinus de l'angle que forma un triangle amb un altre val un terç i, per tant, l'angle mesura aproximadament 70º. 
  • els angles que formen les cares del tetraedre i que formen les cares de l'octaedre sumen 180º
També podriem comprobar aquesta suplementarietat calculant l'angle que formen les cares de l'octaedre. Això ho podem fer, mitjançant trigonometria, calculant l'angle que forma la base amb les cares de la piràmide quadrada obtinguda en partir en dos l'octaedre. El cosinus de l'angle que forma el quadrat amb cada triangle val arrel de 3 sobre 3 i, per tant, l'angle mesura aproximadament 55º. Com a conseqüència d'això deduïm que l'angle que formen dues cares de l'octaedre mesuren aproximadament 110º. 

Un dels grups, fent aquesta comprovació, ha fet aquesta construcció
Això ens ha portat a relacionar els volums d'aquests poliedres: amb 4 tetraedres i un octaedre que comparteixen la mida de les seves arestes hem aconseguit formar un tetraedre que té una aresta el doble de gran. En duplicar l'aresta el volum del tetraedre gran (Vg) és vuit vegades més gran que el volum del tetraedre petit (Vp):
Vg=8Vp
Com a més Vg = 4Vp +Vo, sent Vo el volum del tetraedre, resulta que:
Vo=4Vp
O sigui, que el volum de cada tetraedre que podem fer amb peces triangulars del Polydron (o qualsevol altre material per construir poliedres a partir de les seves cares) és la quarta part del volum de cada octaedre que podem fer amb les mateixes peces!!!

Agraïment especial als alumnes abans esmentats per les fotografies, per les reflexions compartides i sobre tot, per l'entusiasme amb que  han realitzat les tasques proposades.