24 de febrer de 2013

Jocs i pràctica del càlcul: golf

Una de les tasques que cal realitzar quan fem matemàtiques és l'exercitació o pràctica de certes habilitats. Per exemple: si estem fent operacions molt elementals tipus 34:8, acostumem a proposar un seguit de divisions del mateix tipus fins que els alumnes assoleixin el mecanisme per obtenir la resposta. És el que en podríem dir pràctica reproductiva en la que l'objectiu és dir el resultat correcte (en el cas de l'exemple: 34:8=4r2, o sigui, quocient 4 i residu 2).
Però també podem optar per proposar una situació, un joc o un repte que impliqui mobilitzar d'una manera diferent les habilitats que volem practicar. Per exemple, es podria utilitzar l'applet "remainders count", on donats tres nombres cal triar una divisió, entre totes les possibles, de manera que el residu obtingut sigui el més gran possible. En aquest cas estaríem parlant de pràctica productiva, ja que l'objectiu es buscar el residu més alt i no únicament reproduir un procediment. En l'exemple de la figura l'alumne ha de triar entre totes les divisions possibles a realitzar amb un 3, un 4 i un 5, 34:5, 54:3, 45:3 etc., quina serà la que li donarà el residu més alt (el que es traduirà en més punts).


Versió casolana de l'activitat proposada a l'applet


En aquest sentit presentem una activitat d'un autor "històric", Brian Bolt, un gran creador d'activitats matemàtiques, reptes, miniprojectes, etc. que responen a aquest segon tipus de pràctica. Una de les més famoses d'aquestes activitats ha estat el "Golf amb calculadora".

Apareix en el llibre "Más actividades Matemàticas" (la primera edició en anglès d'aquest llibre és de 1985) i consisteix en reproduir una competició de golf, on cada forat porta associat resoldre una situació de càlcul fent estimacions successives i que ve plantejada en una targeta com la que apareix a sota, on es pot veure quin forat s'està jugant, el repte plantejat i la dificultat ("par 4" vol dir que 4 és el nombre d'intents que es considera adequat per posar la bola al forat).


Reproducció d'una de les targetes 
del llibre de Bolt
Descrivim el procés que podria seguir un alumne que hi juga:
  1. Fa una primera aproximació: 7,5. Amb l'ajuda de la calculadora calcula el seu quadrat: 56,25. No hi arriba.
  2. Prova amb 7,7. Nou resultat: 59,29. Passa de llarg
  3. Després: 7,6. Resultat: 57,76. Passa de llarg
  4. Finalment, tria: 7,55. Resultat 57,002. Forat! 
Ha aconseguit fer el repte en 4 cops i per tant a fet el par. El nombre de punts obtinguts per l'alumne serà doncs 4, i passa al forat següent. Si ho hagués fet en tres intents, hagués aconseguit 3 punts i si haguessin estat 5 els intents, obtindria 5 punts. Guanya qui acumula menys punts al final de 9 forats (es pot dissenyar el camp amb la quantitat de forats que creieu adequats)
Entreneu una mica i busqueu estratègies guanyadores
Us deixem alguns exemples extrets del llibre perquè us divertiu una estona. Aneu per sobre o per sota dels "pars"

Algunes consideracions relacionades amb el joc a classe
Es proposa que la calculadora la porti un "jutge", un alumne que és qui fa amb ajuda de la calculadora l'operació indicada a la targeta amb el nombre triat pel concursant.

A més de pràctica, aquest joc afavoreix la creació i discussió d’estratègies. Per exemple, l’autor en comenta una que podríem definir com “estratègia raonable”: anar fent mitjanes de les estimacions anteriors i la compara amb una altra estratègia que podría seguir una altra alumna.

 “L’estratègia de Pedro de fer la mitjana de les seves estimacions anteriors, sempre li garantirà una puntuació raonable, però sens dubte el joc més imaginatiu de Susana li farà guanyar més forats"

Les targetes
  1. Disposar d'una bona col·lecció de targetes per aplicar a classe ens pot generar una dinàmica molt interessant.
  2. Podem deixar als alumnes que fixin el par de cada targeta a partir de fer un recull de diferents partides. Un cop establerta ja ho podem apuntar a la targeta.
  3. Els exemples plantejats són per al cicle superior de Primària o per a l'ESO, però es poden generar targetes al nivell que es vulgui.
El joc a la xarxa
Si us animeu a portar-ho a classe no us podeu oblidar de consultar la pàgina d'en Joan Jareño. Ens presenta no solament el Golf sinó també una informació molt completa sobre les diferents maneres de puntuar. Per trobar-li un defecte podríem dir que no queden apuntats en pantalla els resultats parcials, dada necessària per poder afinar el següent cop, però els alumnes ho solucionen portant un paper i apuntant.
Per accedir al joc prem aquí
Una divertida anècdota històrica
Fa una pila d'anys, Brian Bolt en una de les seves visites al nostre país, va fer una sèrie de xerrades a diferents llocs de Catalunya. El "Golf amb calculadora" era una de les seves activitats estrella. Per presentar-lo ensenyava la targeta que apareix en la següent imatge i preguntava als assistents pel valor de "x". La primera resposta obtinguda mai responia a la condició, anotava a la pissarra el resultat, i  tornava a preguntar pel valor de "x", ara ja amb un referent que donava una fita del nombre buscat.  Continuava així fins que al cap de 4 o 5 intents s'aconseguia trobar un valor adequat.


Quan va anar a Reus a fer la mateixa xerrada va tenir la poca vista (ningú l'havia avisat) de demanar-li a en Ton Vila, professor d'institut i un dels pilars de l'associació de professors de matemàtiques de la zona, que fes el primer intent... i va el "tiu" i ho clava: 22,37.
En demanar-li com ho havia pensat en Ton va contestar:
  • 500 és 100 x 5 
  • l'arrel quadrada de 500 és l'arrel de 100 (que és 10) per l'arrel de 5 (que em sé de memòria: 2,237)
  • per tant 22,37 podrà estar a l'interval demanat.
Val a dir que el ponent va tardar uns segons a reaccionar: li havia xafat l'activitat, però pensem que per altra banda va quedar content veient la potencialitat que podia tenir el joc si saps triar bé els nombres.

11 de febrer de 2013

"Simplificaciones extrañas"


Aquest és el títol d'una de les activitats que proposa Fernando Corbalán en "Matemáticas cercanas", un CD editat al 2012 per a "Cuadernos de Pedagogia" per Wolters Kluwer (ISSN: 0210-0630). Al veure-la en aquest CD ens vam recordar que també apareixia a la columna del Corbalán al diari "Heraldo de Aragón" (proposta i solució) i en aquella ocasió la vam trobar tan interessant com ara.

L'activitat de la que parlem tracta de cancel·lacions anòmales, o sigui, simplificacions correctes obtingudes per l'incorrecte procediment de cancel·lar dígits.

En aquest vídeo s'explica la qüestió:


A l'article "Errores correctos en la simplificación de fracciones: reflexión sobre algunas prácticas docentes en matemáticas" de Jesús Beato Sirvent publicat al 2010 a la revista SUMA (nº 63, pàg 35-41) es fa una interessant anàlisi d'aquesta qüestió i la relaciona amb el ja conegut acudit gràfic:
Segons Wolfram Mathworld les fraccions amb denominador menor que 1000) que admeten aquestes simplificacions són (en ordre creixent de numerador): 13/325, 16/64, 19/95, 26/65, 124/217, 127/762, 138/184, 139/973, 145/435, 148/185, 154/253, 161/644, 163/326, 166/664, 176/275, 182/819, 187/286, 187/385, 187/748, 199/995, 218/981, 266/665, 273/728, 275/374, 286/385, 316/632, 327/872, 364/637, 412/721 i 436/763

Aquí no s'inclouen casos trivials com 30/50 o 77/77 però n'hi ha d'altres que tampoc hi apareixen
www.futilitycloset.com/2009/02/15/cancel-that/
www.futilitycloset.com/2011/06/15/canceling-zeros/
www.futilitycloset.com/2011/04/12/cancel-that-2/
www.futilitycloset.com/2013/02/07/anomalous-cancellation/
http://www.futilitycloset.com/2008/06/01/math-notes-46/

El motiu pel qual no estan moltes d'aquestes fraccions en la llista de Wolfram és la mateixa per la qual no hi apareix 49/98 (esmentada tant al vídeo de James Tanton com a l'article de Beato): 49/98=4/8 és correcte però 4/8 no és irreductible.

A l'article que a aquest tema dedica Thomas Osler "Lucky fractions: Where bad Arithmetic gives correct results" es presenten altres exemples que no apareixen a llista de Wolfram (en aquella llista l'únic exemple on el numerador té 2 xifres i el denominador en té 3 és 13/325 però Olsen esmenta tres exemples més 83/332=8/32, 27/756=2/56 i 39/975=3/75, tres casos en que la fracció obtinguda no és irreductible).

9 de febrer de 2013

Manipulació algebraica

Durant els primers cursos d'ESO presentem als alumnes el llenguatge algebraic l'ús del qual no es restringeix al tema "equacions". Un ús que podem proposar és l'expressió de generalitzacions i l'applet del Freudenthal Institute "Problemas con puntos" és una excel·lent manera de portar aquest ús a l'aula.
http://www.fisme.science.uu.nl/toepassingen/00698/ 
Aquest applet ja el vam esmentar en dues entrades anteriors: Nombres amb forma (I) i Applets del Freudenthal Institute però en aquesta ocasió volem comentar un altre aspecte: creiem que la discussió sobre les diverses solucions que proposen els alumnes als diferents reptes representen una fantàstica oportunitat per donar sentit a la manipulació algebraica.

A continuació exposem alguns exemples que ens han permès portar a discussió equivalències algebraiques:
La respostes que han donat aquests dos alumnes ens han permès concluoure que n+n+n+n=n·4
La respostes que han donat aquests alumnes ens han permès concluoure que 4·n = 4n
La respostes que han donat aquests alumnes ens han permès concluoure que (n+1)·2=n·2+2
La respostes que han donat aquests alumnes ens han permès concluoure que n·(n+1)=n·n+n
La respostes que han donat aquests alumnes ens han permès concluoure que n²·n=n·n·n

6 de febrer de 2013

Mateclicks 02. Problemes de suma 01

En un post anterior: els costa molt fer 3+?=10, fèiem referència als PAE (Problemes Aritmètics Escolars) i a la classificació de tipus de problemes de sumar i restar en tres classes diferents
  • Transformació (o canvi)
  • Combinació
  • Comparació
Vídeos de problemes de transformació
Comencem una sèrie dels 6 vídeos de transformació que es generen segons el lloc que ocupi la incógnita:
  • Suma: a+b = ?,   a + ? = c,   ? + b = c
  • Resta: a - b = ?   a - ? = c,    ? -  b = c
Un dels contextos més adequats per treballar-ho són els autobusos i passatgers que hi pugen (suma) o que baixen (resta).

Esperem que us agradi el vídeo que hem preparat amb l'equip "Ma+eclicks" per al problema "a+b=?"

Figures:© PLAYMOBIL/ geobra Brandstätter GmbH & Co. KG
Les parades estan construïdes amb KAPLA 

Comentaris
  • Quan el fem servir amb alumnes cal aturar el vídeo quan apareix la pregunta: quants n'han baixat? i demanar-los que anticipin el nombre final de passatgers abans l'autobús no arrenqui de nou. Engegar el vídeo i comprovar la resposta.
  • L'expressió final: 6 + 4 = ? simbolitza el tipus de problema segons el lloc que ocupa "la incògnita". Podríem dir que es la forma simbòlica d'expressar: què ha passat? (veure post citat anteriorment)
  • Un cop passat el vídeo podem proposar nous problemes canviant els nombres.

3 de febrer de 2013

Jocs del "3 de 7" (I): l'autobús

"Tres de Set" va ser una col·lecció de llibres de text per Primària, publicats per l'Editorial Barcanova a principis dels 90, coordinats per David Barba, que també va ser-ne autor, conjuntament (segons el cicle) amb Rosa Marzo i Josep Maria Esteve, Raquel Cirera o Lluïsa Puigardeu i Tana Serra. Una de les seves característiques en els nivells inicials era la incorporació d'una carpeta de jocs per exercitar els continguts. Anirem presentant en aquest bloc els que ens semblin més interessants.

El joc de l'autobús
Publicat en el llibre de primer de primària al 1992, el joc està inspirat en una proposta de Constance Kamii (el joc de les torres) i éstà enfocat a treballar les descomposicions del número 4. Pot fer-se competitiu (dos o més jugadors) o com a tasca de grup.

El tauler
Cada jugador disposa d'un autobús com aquest. L'objectiu del joc és omplir l'autobús. Per fer-ho disposen de diferents "fitxes" que representen els passatgers i que han d'anar posant-se sobre les finestres començant per la de l'esquerra. O traient-les, sempre de dreta a esquerra, segons els nombres que indiquin les ruletes inferiors.



A la part de sota del tauler del autobús apareixen dues ruletes: la que indica quants passatgers entren o surten cada cop i la segona que indica si pugen o baixen. Aquestes ruletes impreses poden ser utilitzades directament utilitzat un llapis i un clip. Els colors de cada nombre de la ruleta corresponen amb les fitxes que presentem més endavant.

Es poden substituir per dos daus, l'un en que en les cares hi farem sortir 1,2,2,3,3,4 (per exemple) i l'altre E,E,E,E,S,S.

Les fitxes
Que cal tenir-les retalles, per anar omplint l'autobús. Representen un passatger, dos, tres o quatre.
Un moment de la partida
L'autobús d'en Mateo, en cert moment de la partida, té aquest aspecte:

Fa girar les dues ruletes i li surt "baixen 2". Com que el passatgers han de baixar ordenadament, el que fa en Mateo és treure la fitxa de tres passatgers (la rosa) i canviar-la per una de verda (un passatger) quedant ara l'autobús d'aquesta manera:

Si ara sortís "baixen 4", el canvi a fer és treure les tres: verda, carbassa i lila, i posar-ne una de 3 (rosa). Evidentment a l'hora de fer-ho les estratègies dels alumnes poden ser sorprenents i donaran joc a discutir-ne: "que parlin ells". Segons el transcurs de la partida, de vegades hi ha canvis realment complexos.

Es pot ampliar el camp dels nombres per així poder anar treballant les descomposicions dels diferents dígits.

Podeu baixar-vos el tauler i les fitxes si cliqueu aquí hi trobareu l'autobús i les fitxes originals del "3 de 7". A més hem incorporat un joc de fitxes, en les que estan dibuixades les finestres, destinats a alumnes que puguin tenir dificultats o a nivells més baixos.