30 de gener de 2013

Decimals periòdics

Als cursos d'ESO molts cops veiem extensos exercicis de traducció entre fraccions i expressions decimals, però creiem que amb les eines que disposen els alumnes d'aquests mateixos cursos es poden fer coses molt interessants. Com a mínim poden proposar-los activitats més interessants que fer servir fórmules com aquestes:
photo credit: xurde via photopin cc

    • Si el decimal és periòdic pur, la fracció té com a numerador el nombre inicial sense la coma menys la parte entera i per denominador un nombre format per tants nous com xifres tingui el període.
    • Si el decimal és periòdic mixt, la fracció té com a numerador el nombre inicial sense la coma menys la parte entera seguida de l'avantperíode i per denominador un nombre format per tants nous com xifres tingui el període seguit per tants zeros com xifres tingui l'avantperíode.


    A l'aula:

    Podem descobrir que els decimals periòdics s'obtenen a partir de fraccions que en la seva forma irreductible tenen denominadors amb algun divisor primer diferent de 2 i 5. Encara més, podem descobrir que únicament quan tots els divisors primers del denominador són diferents de 2 i 5 obtindrem decimals periòdics purs, d'altra banda seran peròdics mixtos. I fins i tot es podria relacionar la longitud de l'avantperíode amb els exponents de 2 i 5 en la descomposició factorial del denominador.

    I també podem jugar cercant patrons i curiositats en les expressions decimals de:


    • fraccions amb denominador 7
    En aquestes fraccions es pot veure una interessant regularitat entre les 6 xifres del seu període.

          http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_cyclique 

    Una curiositat que també el compleixen fraccions de denominador 17, 19, 23, ...
    Val a dir que 142857 té moltes més curiositats que podem analitzar a l'aula (hi ha alguns exemples a la pàgina 36 del llibre de David Wells: Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math)
    • fraccions amb denominador 13
    En aquestes fraccions es poden veure dos cicles entre les 6 xifres del seu període.
    Val a dir que 076923 i 153846 tenen moltes més curiositats que podem analitzar a l'aula (hi ha alguns exemples a la mateixa pàgina dels llibre de Wells esmentat abans)
    • les primeres fraccions amb denominador 19
    Considerant les divuit primeres xifres decimals tal com es veu a la imatge s'obté un quadrat màgic!!
    http://www.futilitycloset.com/2010/12/31/bewitched/ 
      http://gaussianos.com/una-fraccion-muy-progresiva/
      • la primera fracció amb denominador 729
      La fracció 1/729 té un període de 81 xifres (les que apareixen en la imatge) que separades en nou grups de nou sense alterar l'ordre en el que apareixen formen nou nombres que difereixen en 11111111 (exceptuant en l'últim cas en que la diferència és de 11111112)


      Una curiositat que es pot extendre a altres fraccions de numerador 1 i denominador una potència de base 9 (729=9·9·9).
      • la primera fracció amb denominador 9801
      El període de l'expressió decimal de la fracció 1/9801 està format per la llista de tots els nombres de dues xifres exceptuant el 98: 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11...96 97 99

      Una curiositat que es pot extendre a altres fraccions de numerador 1 i denominador el quadrat d'un nombre en que totes les seves xifres són 9 (9801=99·99)



      Comentari final: Fa un parell d'anys, el Gerard un alumne de segon després d'haver treballat a l'aula les particularitats de les fraccions de denominador 7, va trobar més propietats del nombre 142857 http://es.wikipedia.org/wiki/142.857, com que va sentir-se molt encuriosit al respecte li vam proposar que fes un estudi semblant per als períodes de les fraccions de denominador 13, el resultat del qual podeu trobar aquí.

      A posteriori:
      Una setmana després de la publicació d'aquesta entrada, en el bloc de Don Steward, apareixen alguns elements que poden ampliar la informació aquí presentada

      • fraccions amb denominador 17


      • respecte a les fraccions de denominador 19 ens dóna aquesta altra informació

      28 de gener de 2013

      Un bloc interessant

      Dan Meyer (@ddmeyer) és el que podríem anomenar un "animador matemàtic". En el seu bloc hi trobem moltíssimes coses que criden l'atenció, comentem algunes d'elles:

      En la categoria "What can you do with this?" el que fa sovint és agafar problemes clàssics, d'aquells d'examen, que considera avorrits o poc interessants i els converteix en activitats que solament de llegir-les et venen ganes de pensar-hi.

      A la imatge de l'esquerra trobem un exemple "Si la Sally pinta una casa en 6 hores i en John en 4. Quant tardaran en pintar-la tos dos junts?", un problema que confessa que odia profundament.

      A continuació podem veure, a través d'un vídeo mut, en quina activitat proposa reconvertir aquest problema:


      Bean Counting from Dan Meyer on Vimeo.

      Podeu llegir més sobre aquesta activitat aquí (hi trobareu la video-solució del problema i una extensió del mateix). 

      En la categoria "3acts" presenta activitats en un format de tres actes: presentació del problema (d'una manera molt oberta tal com es pot veure a al vídeo mut que hi ha a continuació), cerca per part dels alumnes de les dades i les eines per resoldre el problema, solució del problema i plantejament de noves preguntes. Aquí podem veure un exemple del primer acte d'una d'aquestes activitats que amb altre format és molt probable que ja feu a classe: 

      Popcorn Picker from Dan Meyer on Vimeo.

      Podeu llegir més sobre aquesta activitat aquí (hi trobareu comentaris sobre els altres dos actes incloent la video-solució i una sèrie de preguntes que poden representar una extensió del problema).

      Un últim exemple que presentem aquí per il·lustrar la proposta del Dan Meyer és el següent:


      Podeu llegir més sobre aquesta activitat aquí.

      26 de gener de 2013

      Applets i diners

      En el post Resta portant-ne (III): construïm l'algorisme ja vam parlar de la utilització de monedes i bitllets com a un context estructurador d'estratègies emergents per sumar i restar amb els nostres alumnes. En aquest nou post volem compartir alguns applets que treballen amb aquest context i que poden donar idees d'activitats per fer amb els nostres alumnes a l'aula. 
      www.fisme.science.uu.nl/toepassingen/00411/spel.html  
      En aquest applet es demana pagar l'import exacte d'alguns objectes a partir d'unes monedes i bitlllets que hi ha a la pantalla, el problema es planteja quan per poder fer-ho s'ha de demanar a l'apllet que ens bescanviï alguns d'aquests bitllets o monedes per poder fer el pagament. 
      http://www.fisme.science.uu.nl/toepassingen/01041/
      La llista que es veu a la dreta de la imatge són enllaços a diferents activitats relacionades amb els diners que descriurem a continuació: 
      • Geld pakken: situacions d'experimentació lliure, arroseguem alguns diners i monedes a la finestra blanca i l'ordinador ens va comptant els diners que hi hem acumulat.
      • Welk bedrag ligt hier?: situacions en que s'ha de comptar els diners que apareixen a la pantalla (es poden arrossegar i agrupar per facilitar el comptatge) i escriure el total obtingut. Podem triar entre dues opcions: makkelijk (quantitats de diners en les que no apareixen monedes de cèntims) i  moeilijk (quantitats amb decimals).
      Welk bedrag ligt hier?
      • Bedrag neerleggen: situacions en que s'ha d'arrossegar a la finestra central la quantitat de diners indicada a la cantonada superior dreta. Podem triar entre 4 nivells: quantitats enteres més petites de 50 euros, quantitats superiors als 100€ però que no requereixen ús de cèntims, quantitats més petites de 50 euros per les que cal fer servir monedes de 50, 20 o 10 cèntims i quantitats per les quals entren totes les monedes i bitllets en joc.
      Bedrag neerleggen
      • Betaal voor de klant?: situacions similars a les de l'activitat anterior (nivell 1 i 2) en que ara no estan tots els bitllets i monedes disponibles. Per exemple, en la situació de la imatge es demana pagar 25€ quan només es disposen de bitllets de 10 i 50€ i monedes de 10 cèntims
      Betaal voor de klant?
      • Wisselgeld: situacions en que s'ha de donar el canvi a un personatge que paga una certa quantita amb un bitllet de més valor. 
      Wisselgeld 
      • Snel rijk worden: situacions en les quals es presenten dues quantitats de diners i en vuit segons s'ha de clicar la quantitat que estimem de més valor
      Snel rijk worden
      • Hoeveel kost dit artikel?: situacions en que s'ha d'endivinar el preu de diferents objectes, preus que estan molt ajustats als preus reals d'aquests objectes la qual cosa permet interessants discussions sobre els preus de les coses. Per poder endevinar-lo hi ha una barra vertical a la dreta de la imatge que informa si les aproximacions que es van fent queden curtes o es passen i permet estimar per quant s'ha fallat. 

      • Hoeveel kost dit artikel 2?: situacions idèntiques a les de l'activitat anterior però en les quals al final s'ha d'escriure el preu exacte que s'ha pagat per l'objecte.
      Segurament en aquest llistat heu trobat les mateixes activitats que venim fent els mestres des de molt abans que les TICs entressin a les aules però també n'hi ha algunes que són molt difícils d'implementar sense l'ajut d'un ordinador (per exemple, per poder portar a l'aula l'activitat "Snel rijk worden" sense aquest applet es podrien fer còpies de pantalla de les diferents situacions proposades, mostrar-les durant uns pocs segons i demanar als alumnes que triïn en quina de les dues bandes hi ha més diners, però realment perd bastant l'activitat feta així).

      Encara que hi ha altres materials per treballar el sistema decimal (blocs multibase, bossetes de 10 cigrons i caixetes de 10 bosses, àbacs de punxes, etc) els diners són un material imprescindible, amb molt més potencial que els altres materials mencionats, que no els substitueix sinó que els complementa. Aquest és el motiu pel qual els diners són un dels "Deu materials per a l'aprenentatge de les matemàtiques".