Als cursos d'ESO molts cops veiem extensos exercicis de traducció entre fraccions i expressions decimals, però creiem que amb les eines que disposen els alumnes d'aquests mateixos cursos es poden fer coses molt interessants. Com a mínim poden proposar-los activitats més interessants que fer servir fórmules com aquestes:
 |
| photo credit: xurde via photopin cc |
- Si el decimal és periòdic pur, la fracció té com a numerador el nombre inicial sense la coma menys la parte entera i per denominador un nombre format per tants nous com xifres tingui el període.
- Si el decimal és periòdic mixt, la fracció té com a numerador el nombre inicial sense la coma menys la parte entera seguida de l'avantperíode i per denominador un nombre format per tants nous com xifres tingui el període seguit per tants zeros com xifres tingui l'avantperíode.
A l'aula:
Podem descobrir que els decimals periòdics s'obtenen a partir de fraccions que en la seva forma irreductible tenen denominadors amb algun divisor primer diferent de 2 i 5. Encara més, podem descobrir que únicament quan tots els divisors primers del denominador són diferents de 2 i 5 obtindrem decimals periòdics purs, d'altra banda seran peròdics mixtos. I fins i tot es podria relacionar la longitud de l'avantperíode amb els exponents de 2 i 5 en la descomposició factorial del denominador.
I també podem jugar cercant patrons i curiositats en les expressions decimals de:
- fraccions amb denominador 7
 |
| Treball d'una alumna de 2n d'ESO |
Una curiositat que també el compleixen fraccions de denominador 17, 19, 23, ...
Val a dir que 142857 té moltes més curiositats que podem analitzar a l'aula (hi ha alguns exemples a la pàgina 36 del llibre de David Wells: Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math)
- fraccions amb denominador 13
 | |
|
- les primeres fraccions amb denominador 19
 |
| http://www.futilitycloset.com/2010/12/31/bewitched/ |
 |
| http://gaussianos.com/una-fraccion-muy-progresiva/ |
- la primera fracció amb denominador 729
Una curiositat que es pot extendre a altres fraccions de numerador 1 i denominador una potència de base 9 (729=9·9·9).
- la primera fracció amb denominador 9801
Una curiositat que es pot extendre a altres fraccions de numerador 1 i denominador el quadrat d'un nombre en que totes les seves xifres són 9 (9801=99·99)
Comentari final: Fa un parell d'anys, el Gerard un alumne de segon després d'haver treballat a l'aula les particularitats de les fraccions de denominador 7, va trobar més propietats del nombre 142857 http://es.wikipedia.org/wiki/142.857, com que va sentir-se molt encuriosit al respecte li vam proposar que fes un estudi semblant per als períodes de les fraccions de denominador 13, el resultat del qual podeu trobar aquí.
A posteriori:
Una setmana després de la publicació d'aquesta entrada, en el bloc de Don Steward, apareixen alguns elements que poden ampliar la informació aquí presentada
- fraccions amb denominador 17
- respecte a les fraccions de denominador 19 ens dóna aquesta altra informació
Per acabar, en aquest fantàstic vídeo de @Lemnismath trobem esment al teorema de Midy que destaca una altra particularitat de diferents nombres que apareixen en els paràgrafs anteriors (períodes de longitud parell)
- fraccions amb denominador 7: 142+857 = 999
- fraccions amb denominador 13: 076+923 = 153+846 = 999
- fraccions amb denominador 17: 05882352+94117647 = 99999999
- fraccions amb denominador 19: 052631578+947368421 = 999999999
- ...
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada