16 de desembre de 2012

Feliç 2013. Ens acomiadem fins a gener

Els nostres bons desitjos de cara a aquestes festes: descanseu, passeu-ho bé i gaudiu-ho amb la vostra gent propera. I com que no pot faltar la postal pertinent per acompanyar aquests desitjos: aquí la teniu


La imatge està treta del magnífic llibret de Concepció Vandellòs i Maria Esteve-Llach: "Lliçons d'aritmètica. Grau I" publicat a l'any 1934 per l'Associació protectora de la llengua catalana.

La segona postal és pel dia que torneu a treballar: una classe de l'època (en la que volem destacar la presència d'un globus terraqui, material més aviat desaparegut i que particularment trobem a faltar).


Una curiositat: encara que fa molts anys que aquests llibres estan publicats, es nota una sensibilitat vers la igualtat entre els humans. Fixeu-vos que el rei blanc, el ros, i el negre valen el mateix. Tot i així no anaven tan avançats pel que fa a igualtat entre dones i homes (els nens són més cars que les nenes!). Si hi trobeu alguna explicació: comentaris.

Comentari sobre el llibret
Les il·lustracions corresponen als "jocs de vendre" que formen part dels 56 "exercicis" (que més aviat responen a la idea de lliçó tal i com el títol indica) que conté el llibret on hi ha problemes de càlcul mental, presentació d'estratègies, treball de conceptes, exercitacions, etc. N'hi ha set d'aquests "jocs de vendre" que podrien ser una primera idea del "racó de la botiga" actual (salvant les distàncies metodològiques).

Aquest és el primer "joc de vendre". Volem destacar la bona tria de les preguntes que es formulen.



Per acabar-se d'imaginar l'estil del llibre fixeu-vos quin exercici de resta proposava al 1934 pel que era un cicle inicial!

Per acabar volem dir que aquesta publicació forma part d'una col·lecció de quatre llibrets (del grau I al IV) i que és una adaptació de la "Fundamental Arithmetic" de P. B. Ballard, M.A.D. Litt.



13 de desembre de 2012

Mateclicks: presentació

 

A partir de la utilització dels clicks en el post "L'àbac de cadires" ens va quedar "el cuquet" d'utilitzar aquestes figuretes per protagonitzar algunes propostes. També han sortit a les activitats de comptatge (penjades en SlideShare) dels posts "Primers passos en multiplicació" i "Avaluar el comptatge, Competències?" i al post "Els costa molt fer 3+?= 10".

Finalment ens hem decidit, hem fet un petit equip de gent incorporant a en Lluís Pèrez, Jordi Losantos i Blanca Pujol per  preparar activitats d'aquesta mena i és així que de volta en quan trobareu vídeos o documents en SlideShare on els protagonistes són ells: els Mateclicks.


La presència del pirata no té res a veure amb les aficions dels autors del bloc, sinó a que és el representant canònic d'aquests, entranyables per a molts, ninotets de plàstic. Pel que fa als decorats de fons utilitzem el material anomenat KAPLA que en mans de nens és d'una gran potencialitat.

El primer vídeo: el problema de les abraçades



El vídeo permet o bé proposar-lo als alumnes com a "enunciat del problema" i a partir d'aquí gestionar l'activitat i fins i tot: estirar-la: plantejar què passaria amb "n" ninots o fer que siguin els mateixos alumnes els que escenifiquin el problema per comptar si les seves conjectures són encertades o no.

Comentari sobre el problema
El camí per trobar la solució del problema de la quantitat d'abraçades quan hi ha 6 ninots passa per analitzar primer que en el cas de 5 ninots les abraçades són 1+2+3+4 (quan arriba el segon ninot es fa la primera abraçada, en arribar el segon en fa dues, en arribar el terce en fa 3,...) i si al grup arribés un sisè ninot haurà d'abraçar als 5 que ja hi són produint-se un total de 5+4+3+2+1 abraçades.

Podem dir que ja hem solucionat el problema, però n'apareixen d'altres: 
  • Com fer, de manera fàcil, aquesta suma? 
  • Es pot trobar una fórmula general que resolgui aquest tipus de sumes de nombres consecutius?
Una manera d'encarar la recerca d'una fórmula és a partir de representacions geomètriques: si representem els ninots per punts i les abraçades per línies ens trobarem que el nombre total d'abraçades coincideix amb la quantitat de segments que es poden dibuixar entre aquests punts (els costats i les diagonals de l'hexàgon). Aquesta representació ens acosta a pensar en una solució que passa per la multiplicació: 6 vèrtexs dels que surten 5 segments són 30, però cal tenir en compte que d'aquesta manera estem comptant dos cops cada segment per la qual cosa hem de dividir 30 entre 2.

Una guia de treball: el plantejament de la pàgina "nrich"

Darrera del problema de les abraçades se'n poden trobar d'altres que tenen la mateixa estructura: el de comptar costats i diagonals (com ja hem vist) i a més el descobriment de la regularitat dels nombres triangulars. Clicant als enllaços accedireu al tractament que en fan a la pàgina "nrich" on trobareu indicacions, recursos i algun applet per a poder fer les activitats






Al maig de 2015 els alumnes de 5è de l'Escola Sadako van fer una activitat al voltant d'aquest problema, podeu veure la proposta seguint l'enllaça que trobareu al peu de la següent imatge:
https://5prmpromosadako2004.wordpress.com/2015/05/11/abracades-matematiques/ 
A l'octubre de 2016 quan els alumnes de 6è de l'Escola Sadako feien aquesta activitat, el programa DEUWATTS de BTV va entrar a la seva aula.



Per acabar de tancar el tema us recomanem l'excel·lent recull de fotografies sobre nombres triangulars que ha fet la gent de Xeix en el seu concurs amb motiu de la cel·lebració de les properes JAEM a Mallorca

11 de desembre de 2012

Estimació (II) Existeixen els problemes d'estimació?

De l'arrodoniment informal al formal: decisions a l'hora de arrodonir

El món de l'estimació està allunyat de les nostres classes. Podríem dir que gairebé solament ens dediquem a la tècnica instrumental: arrodonir. A més, en general, els alumnes aprenen a arrodonir, gràcies, a que els dictem una "fórmula màgica": si és més gran de 5 arrodoneix cap a dalt, i si és més petit arrodoneix cap a baix. Fins i tot de vegades ni comentem que cal fer quan és un 5. Cap a on tirem? No podem perdre l'oportunitat per pensar matemàticament que ens brinda l'estimació. Parlem-ne una mica.
http://es.classora.com/units/a52778440/images/hipopotamo
Un tipus activitats, força conegudes i de gran potencial, són les que parteixen d'una pregunta com la següent: "Entre tots els alumnes de la classe, en tindríem prou per equilibrar una balança en la que a l'altre plat hi hagués un hipopòtam?" (veure taula).
Resoldre aquest problema implicaa treballar amb nombres com 31,400 - 28,700, etc.
Però abans de resoldre aquesta situació  s'hauria de prendre una primera decisió: aquesta situació necessita un càlcul exacte o aproximat? Aquest aspecte descriu una de les capacitats més importants que demanen els currículums desde fa molt.

És clar que aquesta situació, no precisa d'un càlcul exacte. Podem fer una estimació i per això necessitarem arrodonir els nombres (solament ens fixarem en els quilos deixant de banda els grams). Apareix el debat:
  • Hem de tenir en compte els decimals o no ?
  • Com es fa per treure la part decimal de manera que no ens desviem massa del resultat?
  • Què fem amb el 31,400? triem el 30? el 31? el 32? el 31,4? I amb el 28,700?
  • Ens quedem amb la part entera? és a dir, arrodonim al nombre inferior?





No perdem de vista que la línia numèrica ens ofereix un model molt útil per aquests tipus de tasca, i que a més ens brinda connexions amb l'aprenentatge de la representació de decimals sobre la recta.





Per contrastar les decisions obtenim el càlcul exacte amb una calculadora per poder així contrastar les diferents propostes dels alumnes amb el resultat exacte i provocar la discussió: quina de les estratègies és la que s'acosta més al resultat real? Per què?
Un cop els alumnes hagin formulat la seva proposta cal solucionar l'últim dubte: què passa quan la primera xifra decimal és un 5? què fem?
I si en una la classe hi ha molts alumnes que pesen una certa quantitat de quilos i 500 grams? Totes aquestes dades les arrodonim cap a dalt? Com ho podríem fer per a acostar-nos al màxim al resultat exacte?
Així els alumnes poden arribar a "la fórmula" de la que parlavem al primer paràgraf a partir de la discussió de classe.

En els libres de text gairebé tots els problemes són de càlcul exacte: ho arreglem?

En el post Estimació (I) dèiem que a la majoria de situacions de la vida quotidiana, el càlcul exacte no és necessari. Però si ens mirem un llibre de text, gairebé tots els problemes ho són de càlcul. Hauríem d'intervenir per a equilibrar la balança. Per exemple hi podem trobar aquest exercici:
  • La Maria vol posar a la porta de la seva habitació el seu nom amb lletres de fusta. Cada lletra val 2,98. Quant li costarà posar el seu nom?

 Imatge treta de http://www.lalluna.com/
El podríem reconventir en un problema d'estimació. Una de les maneres és "tunnejar-lo  Per exemple canviant la pregunta quant costarà? per en tindré prou? el convertim en un problema d'estimació:
  •  La Maria vol posar a la porta de la seva habitació el seu nom amb lletres de fusta. Cada lletra val 2,98€. En tindrà prou amb 15€? Per què? 
El més important aquí són els criteris d'avaluació de la resposta, tenint en compte que lliguin amb la idea d'estimació. Si un alumne contesta
  •  2,98x5 = 14,90€. Sí que en tindrem prou ja que no arriba a 15
vol dir que la seva resolució continua utilitzant el  càlcul exacte i no ha entès la idea d'estimar. Les  respostes haurien d'anar  més en aquesta línia:
  • Si les lletres costessin 3€ cadascuna aleshores el rétol valdria 15€. Com que valen 2,98€ que és menor que 3, aleshores en tindré prou ja que el resultat serà menor de 15.
En aquest sentit hi ha raonaments que sorprenen al mateix professorat, per la seva senzillesa i rigorositat. Davant el problema: Vull comprar dos pastissos un val 48 € i un altre val 46 €. En tindré prou amb 100€? una de les respostes dels alumnes va ser:
  • Sí que en tindré prou: si tinc 100 € en dos bitllets de 50 €, amb un dels bitllets pago el de 46 i amb l'altre el de 48, i encara em sobren diners en els dos
Animem-nos a canviar enunciats d'alguns problemes del llibre de text per fer problemes d'estimació i a demanar justificacions del seu raonament.
NOTA. Aquest problema està inspirat (és a dir, copiat directament) del llibre de lnstitut Freudenthal "Children's Learn Mathematics". Les indicacions sobre gestió de classe, respostes d'alumnes, i preguntes a formular si que són reflexions o experiències nostres. A més de "en tindré prou", el capítol del llibre esmentat proposa dues preguntes més que ajuden a generar activitats d'estimació: aproximadament quant dóna? i el resultat és correcte? segurament tractarem activitats relacionades amb aquestes dues preguntes en propers posts dedicats a l'estimació.

7 de desembre de 2012

Fraccions: què vol dir "parts iguals"?

Una activitat de mesura
Vàrem posar-nos en una sala petita de l'escola Baloo, corria l'any 99, una càmera de vídeo filmaria el que ens proposàvem fer aquell matí amb alumnes de 6è. Sobre havia la taula una "caixa d'eines" (una caixa en la que hi ha de tot: cordills, paper quadriculat, regle graduat, escaire, cartabó, semicercle graduat, paper vegetal, calculadores, etc.) amb l'objectiu que siguin els alumnes qui triïn l'eina a l'hora de solucionar un problema.

Els alumnes entren en grups de quatre i a cada grup els plantegem la mateixa activitat: agafem quatre fulls iguals i doblegant de diferents maneres obtenim aquestes línies.

De cadascun del fulls separem, retallant, una de les seves parts
Posem les quatre figures sobre la taula i preguntem: d'aquestes quatre figures que hi ha sobre de la taula, quina és la que té l'àrea més gran?

Què van contestar els alumnes?
La primera resposta va ser francament desencoratjadora. Una mica més i pleguem!
  • Manuel: L'àrea és com... allò del fútbol, oi?
El que buscàvem nosaltres en aquesta activitat és veure si els alumnes tenen clara la idea de fracció, i realment, apart de la desmoralització de la mestra veient el que "els ha quedat" de quan van fer àrees, es va produir una discussió molt interessant que no reproduïrem aquí, però de la que en fem un resum. Podeu llegir-ho complet a l'article "Del cuarto escondido a la idea de área: el material como modelo o contexto generador de problemas". (Carme Barba & David Barba. Aula 83/84. Juliol 1999, pg 46-49).

Finalment després de molt discutir i arribant a una mena de definició d'àrea com a "l'àrea és l'espai que ocupa una figura" van fer la seva primera conjectura 
  • Marta: Doncs jo crec que és el triangle!
  • Mestra: Podeu demostrar d'alguna manera que el triangle és el que té l'àrea més gran
  • Tots: Podem "TOCAR-LOS" ?
La caixa d'eines i el camí cap a la solució
La majoria de grups van optar en primer lloc per la corda, posant-la sobre els costats fins a arribar a adonar-se'n que no els servia. Posteriorment van passar al paper quadriculat per a poder calcular làrea de cadascuna de les figures.

Cal destacar que cap del grups va utilitzar el regle graduat per mesurar costat i altura i aplicar la fórmula per ells ja coneguda. Sembla que si no és en un exercici de llibre de text, no té aplicació. Aixó ens porta a pensar que  l'aprenentatge de les fórmules de les àrees no ha esdevingut competencial.

A mesura que, gràcies al paper quadriculat,  anaven obtenint resultats, i veient que cada nova figura mesurada donava el mateix resultat que les anteriors, van arribar a enfurismar-se, fins a dir-li a la mestra.
  • Ondia! si són iguals! TU (mestra) ens ho has fet retallar de una manera determinada per a enganyar-nos. No ens havies dit que era la quarta part!!!
Reflexionant sobre aquesta experiència veiem que aquí no solament es treballa el concepte d'àrea, sinó que, paral·lelament, implica també  el concepte de fracció que, de fet, esdevé la millor "eina" per a resoldre el problema. Solament un grup, va solucionar el problema utilitzant aquesta idea, sense necessitat de prendre cap mesura.
  • Grup: Són iguals (sense mesurar res, a la primera)
  • Mestra: Per què?
  • Grup: Perquè cada part és 1/4
Una bona pregunta per discutir sobre fraccions
La pregunta clau seria: "què vol dir dividir en parts iguals quan parlem de fraccions". Veient les explicacions, propostes i exemples i discussions dels alumnes veurem realment que han entés. "Què parlin ells", però com començar?
photo credit: Edgar Barany via photopin cc
Per iniciar  la idea de fracció de manera coherent amb el concepte una activitat interessant por ser la següent. Els alumnes disposen d'una fulla o reproducció d'una fulla i preguntem: "Un cuc es menja una quarta  part d'aquesta fulla cada dia. Dibuixa quant s'haurà menjat aproximadament el primer dia". Posteriorment i utilitzant paper quadriculat cada grup valida qui s'acosta més a la quarta part. D'aquesta manera el concepte de fracció es lliga al de superfície el que ens permet atacar problemes molt més interessants.
Fraccions i textos escolars
La figura següent presenta l'activitat comentada anteriorment, ara en format text, amb la diferència que s'esmenta la quarta part. cosa que en l'activitat de retallar no es va fer.
 3x6-mat, Quandern 17, p18. Ed. Barcanova (2005)
Activitats d'aquest tipus ens obren les porten a una comprensió més completa de la idea de fracció. El problema està en que en la majoria de textos escolars els models gràfics utilitzats gairebé sempre són rectangles, quadrats o cercles dividits en parts d'igual forma, i no proposant divisions de mateixa superfície com per exemple els triangles de groc i vermell de la imatge anterior. Això implica que molts alumnes, i adults associïn que parts iguals vol dir necessàriament "mateixa forma" reducció malèvola del concepte de fracció com a part d'un objecte.

2 de desembre de 2012

Estimació (I)

Si analitzem la vida quotidiana, en la majoria de situacions ens movem utilitzant l'estimació:
  • planifiquem les vacances pensant més o menys quant ens volem gastar (gairebé sempre ens equivoquem a la baixa, gastem més però això no és culpa del càlcul estimatiu fet).
  • en passar un carrer mirant la seva amplada i la velocitat del cotxe que s'acosta decidim si tenin prou temps per creuar-lo o no.
  • en fer una operació amb la calculadora, ens adonem que aquell resultat no es correspon amb l'operació que suposadament hem introduït, tot pensant "no pot ser". 
  • si anem al super sense targeta de crèdit (opció molt recomanable tal com van les coses) mirem quant podem gastar i triem els articles necessaris controlant la despesa total per no fer el ridícul a l'hora de pagar a la caixa.
  • tenim certa mesura del món: com obtenir aproximadament un litre d'aigua per fer la sopa de sobre el dia de camping, quant són aproximadament 100 metres, l'altura aproximada d'una casa, etc.
Però a l'escola la presència de l'estimació és gairebé nul·la

Estimar no és arrodonir
A l'escola, i en els llibres de text l'estimació, en el camp aritmètic, queda molts cop reduïda a arrodonir, confonent l'eina utilitzada, arrodonir, amb el coneixement general: l'estimació. Fins i tot convertim l'arrodoniment en una altra fórmula màgica tipus "si es més gran de 5 arrodoneixes cap amunt i si és més petit arrodoneixes cap avall". El marc és més ampli ja que implica d'entrada la capacitat de decidir davant una situació determinada si el càlcul necessari ha de ser exacte o aproximat. Per altra banda, cal pensar en activitats que vegin més enllà de l'arrodiment com a contingut i que entrin de ple a l'estimació.

Estimació i operacions
Una de les preguntes clau a fer en estimació del resultat d'una operació és "aproximadament, quant dóna?". Us presentem dos exemples trets dels quadern d'estratègies "3x6.mat" de l'Editorial Barcanova
La idea bàsica aquí és la d'afitar el resultat. En el cas del primer exercici el resultat estarà entre 6 (1+5) i  8 (2+6). El fet de posar sumes sense tapar, és per aplicar allò aprés en el primer exercici al segon. També estariem afitant si diem que 8,32+5,8 està entre 0 i 100 però el que cerquem és, a partir de la discussió grupal, trobar fites el més ajustades possibles.
Aquesta activitat implica ja una investigació que es podria acabar reflexionant qué implica arrodonir per dalt o per baix par anar classificant les operacions entre aquelles en les que el resultat té dues o tres xifres. Activitats com aquesta poden ajudar perquè a la resolució d'un problema es facin una idea prèvia de la magnitud que ha de tenir el resultat final. 

Estimació i calculadores
clicar imatge
Des de la seva inclusió en els telèfons mòbils, la calculadora forma part de l'instrumental bàsic que es porta posat quan es surt de casa. Semblaria lògic dir que estimar no té sentit si podem fer un càlcul exacte, però no podem oblidar que treballar l'estimació ens ofereix grans oportunitats de discutir sobre Matemàtiques, com hem vist abans. Val la pena aprofitar-ho.
 
De totes maneres últimament ho inventen tot. Acabem de conèixer la calculadora ideal per a evitar que els alumnes la utilitzin per a qualsevol càlcul fàcil. Us presentem la versió on-line d'una "calculadora estimativa"

Aquesta calculadora té la particularitat que en entrar una operació (735x56 en l'exemple) quan es prem la tecla "≈" (que en aquesta calculadora és l'alternativa al signe igual) no dóna directament el resultat sinó que demana una estimació. Si l'estimació és prou acurada, aleshores dóna el resultat i representa sobre el requadre vermell del centre la distància entre l'estimació realitzada i el resultat correcte.
La tecla "Tolerance" permet fixar el màxim d'error admès, que per defecte està posat en un 15%. Això és important per impedir que la utilitzin per fer operacions bàsiques (caldrà posar la tolerància al mínim: 5% per a evitar-ho). En la pàgina web (a la que s'accedeix clicant a la imatge anterior també trobareu informació) sobre una app gratuïta per a iPhone: iestimation. 

La calculadora QAMA
clicar imatge
Aquest tipus de calculadora existeix també en "3D", amb prestacions més elevades que la on-line que coneixem, ja que és científica. Us imagineu estimar sinus, cosinus o tangents?
Es pot comprar per Internet i en menys d'una setmana rebre-la a casa. El seu preu és raonable si es té la prudència de posar-se d'acord amb altra gent i comprar-ne unes quantes ja que les despeses d'enviament es comparteixen.
El seu funcionament és gairebé el mateix que la on-line amb una diferència molt divertida (o represora). Es pot utilitzar també com a calculadora normal però en prémer aquesta opció s'encenen un parell de llums vermells intermitents que alerten al professorat de la possible infracció. A més, encara que l'alumne transgressor torni a prémer la tecla amb rapidesa per no ser vist, els llums no s'apaguen fins al cap d'una bona estona, fins i tot encara que es premi l'off!

Penseu que és una bona eina per a treballar a classe? què ens aportaria? quines discussions noves podríem generar?