30 de novembre de 2012

Fantàstics calendaris d'advent de "nrich"

Us presentem els dos calendaris on-line que acaben de penjar la gent de "nrich". Una bona proposta per treballar aquest desembre. Està dirigit a alumnes d'11 i 12 anys en el cas de Primària i a la segona etapa de la ESO el de Secundària.
El problemes plantejats estan en anglès, una bona excusa per a treballar conjuntament les dues matèries.

Calendari per a Primaria
Clicar aquí
Calendari per a Secundària
Clicar aquí
Si els utilitzeu i algú té ganes i temps d'enviar-nos respostes d'alumnes d'aquelles que val la pena compartir, els publicarem a comentaris, o els hi dedicarem un post. Si tenim molt èxit en farem un recull i publicarem un resum dels més característics. No oblideu posar el nom dels alumnes, el grau, l'escola i el vostre si voleu que ho citem.

Suggeriment
Si voleu tenir informació sobre el problema, indicacions, preguntes clau etc, entreu aquí, copieu el nom del problema en el buscador i la trobareu (en anglès, però sant Google ajuda). És básicament per aquesta raó que hem posat "fantàstic" en el títol.

Calendari Numberphile


Aquest desembre els de @Numberphile també ens proposen el seu calendari d'Advent. Difereix dels anteriors en que:
  • no es proposen problemes sinó vídeos relacionats amb el número indicat per la data 
  • no estan tots els enllaços ja disponibles sinó que els van penjant dia a dia
  • les matemàtiques involucrades, coneixent als autors, probablement es moguin des de les que podem compartir amb alumnes d'ESO cap amunt
Al dia d'avui (1/12/12) només està enllaçat el vídeo corresponent al dia 1, podrem trobar els següents seguint-los per Twitter o a la informació que apareix sota del vídeo que acabem de veure (quan aquest el visionem des d'aquí)


19 de novembre de 2012

Què passaria si? algorismes a CI



Gianni Rodari va ser l'autor d'un llibre mític. "Gramàtica de la fantasia", per treballar la creativitat amb els nens i les nenes a l'hora d'escriure històries. Un dels capítols del llibre porta per títol "Què passaria si..." i aquí explica com a partir d'una situació hipotética es pot proposar als alumnes escriure una història que respongui a la situació plantejada. Un exemple: "Què passaria si un cocodril truqués a la porta de casa vostre a demanar romaní"? Al recordar-lo hem decidit jugar al mateix joc per escriure aquest post.

Existeix un país en la que les autoritats han decidit endarrerir la presentació dels algorismes de sumar i restar fins a tercer (o quart) de primària. Què passaria amb les Matemàtiques de Cicle Inicial?

http://www.flickr.com/photos/ouyea/365161974/
Si els algorismes deixessin de ser  els organitzadors del currículum, les discussions no es centrarien en intentar entendre què vol dir "en porto una". El terme "resta portant-ne" desapareixeria del mapa. Els alumnes afrontarien el repte de resoldre els problemes utilitzant estratègies que impliquen un coneixement conceptual molt més a fons. El coneixement del sistema de numeració posicional  (unitats, desenes, centenes) deixaria de ser solament saber el valor  d'una xifra, per passar a ser l'eina principal del càlcul.





http://www.flickr.com/photos/nadiatwitch/6136128220/


En aquest país la feina dels mestres seria la d'encoratjar i acompanyar als alumnes. Crear un espai de confiança, que els permeti atrevir-se a resoldre situacions de les quals no n'estan completant segurs a partir de coses que coneixen.








Una reflexió
Si d'una vegada per totes ens convencem que "donar instruments" abans que els alumnes no hagin intentat resoldre el problema amb les seves eines, ho mata tot, obrirem un engrescador món matemàtic, no solament a cicle inicial sinó a tot l'ensenyament obligatori.

En aquesta mentalitat la fórmula de l'àrea del trapezi o del polígon regular, la cançoneta de "els factors primers comuns elevats a l'exponent més...", etc deixaran de tenir sentit. O apareixerien com a punt i final d'un procés en el que els problemes associats ja se saben resoldre des d'abans, i el que es millora és l'eficàcia en els procediments.

Somni o realitat?
El que ens il·lusiona és que s'està  marcant un nord cap el que anar caminant. Sortosament aquest país ja existeix, més ben dit, deu haver molta gent que ja hi viu. No parlem solament de mestres que ho portin a terme, sinó de pàgines web institucionals que van per aquest camí. No es queden solament en el discurs general, sinó que a més inclouen treballs d'alumnes amb exemples d'estratègies classificades, que conviden a la discussió sobre la eficàcia i al reconeixement dels conceptes implicats en el si de les classes en que es realitzen.

Un exemple


clicar sobre la pàgina per ampliar
D'entrada aquesta pàgina de problemes és com qualsevol pàgina de les que s'utilitzen a les nostres classes. El que canvia és el requeriment pel que fa a la resolució per part dels alumnes:


















Cadascuna de les pàgines que presenten va acompanyada de comentaris com el següent. Cal destacar que el focus d'atenció són les diferents estratègies de resolució recollides de diferents alumnes. A més no solament reprodueix la resposta sinó que la classifica.

Aquest fragment és solament el primer comentari del primer problema.  Si voleu veure tot el document, cliceu aquí. Veureu la riquesa de diferents resolucions on l'algorisme és una més, on cada alumne utilitza la que li és més propera. El més important és treballar l'actitud amb els alumnes: voler resoldre el problema. I els mestres els han d'ajudar en el camí d'utilitzar cada cop una estratègia més eficaç.

Aquest exemple està tret de la part de Matemàtiques de la pàgina Assesment Resource Banks de Nova Zelanda. Quan la mirem ens morim d'enveja, i pensem que amb un material com aquest, el professorat disposa d'una eina important de formació i potser d'un substitut del llibre de text. La pàgina recomanada té un problema: cal registrar-se. Si llegiu l'article de la Carme Burgès a la revista SUMA 70 de juliol del 2012, tindreu molta més informació, una visita guiada a la pàgina, indicacions i claus d'accés per entrar a llocs triats per l'autora que us aportaran la informació necessària.

Un desafiament: tornant a Gianni Rodari
Fins aquí el conte, la descripció del que podria passar i la convidada a anar endavantSi voleu col·laborar escrivint algun comentari curt sobre que passaria en aquest cas a altres col·lectius com podrien ser els pares, les editorials de materials escolars, aquell mestre que té uns fulls fotocopiats d'operacions des de fa "n" anys i els passa cada curs, etc. estarem encantats de llegir-los. Demanem un comentari curt, un paràgraf, gairebé una piulada. I en podeu escriure més d'un si us enganxa el tema.

15 de novembre de 2012

Quadrats màgics i nombres enters

Demanem a alumnes que estan començant a treballar amb nombres enters que inventin quadrats màgics en que totes les cel·les siguin nombres enters i files, columnes i diagonals sumin 0. 

Primer apareix l'exemple del quadrat en que les nou cel·les contenen al nombre 0. Poc després comencen a apareixer altre exemples:
Clarament no són aquests que tenen tants zeros els quadrats màgics que més ens interessen però ens permet arribar a la primera conclusió: hi ha infinits quadrats màgics de suma 0
Quan demanem exemples que no tinguin tants zeros apareixen alguns intents però de vegades fallen en una de les dues diagonals
El gran salt el donen els alumnes quan "veuen" que al centre cal posar un 0. A partir d'allí apareixen tants quadrats com alumnes hi ha involucrats en la tasca
Els reptes passen en primera instància per demanar quadrats a la carta, o sigui, afegint alguna condició:
 

A partir d'aquí podem fer més preguntes
  • En quants quadrats màgics de suma 0 apareix el nombre 3? Per poder comptar-los considerarem que dos quadrats màgics són iguals si tenen els mateixos nou nombres encara que estiguin en diferent ordre.
  • En quants quadrats màgics de suma 0 apareixen els nombres 3 i 5?
  • En quants quadrats màgics de suma 0 no apareixen nombres més grans que 10?
La Laura (@lau_morera) també ha aplicat aquesta activitat a l'aula i ens va fer arribar els comentaris següents:
  • Mentre feien la resolució per parelles, una de les preguntes que han sortit ha estat si podien utilitzar el zero. Sota la premissa de que havien d’omplir els quadrats amb nombres enters, no sabien segur si el zero era un nombre enter.
  • Quan s'ha afegit el requisit de que totes les caselles havien de ser diferents, un alumne ha preguntat si podia posar -3 si ja havia posat el 3.
  • Quan discutien sobre com deurien ser tots els quadrats màgics de suma 0, a més de la necessitat de posar un 0 al mig, un alumne ha dit que sempre que posaves un nombre en una cel·la el seu oposat havia de ser a la cel·la simètrica respecte del centre.
  • Un alumne, ha generat tots els seus quadrats a partir d’un multiplicant per constants.
  • Ara que ja saben construir quadrats màgics de suma 0 podem fer quadrats màgics de qualsevol suma (múltiple de 3) simplement sumant una constant a cada casella.



Un últim comentari: Al Calaix del Joan Jareño (@Calaix2) es pot trobar una activitat sobre quadrats màgics que complementa aquesta proposta.

www.xtec.cat/~jjareno%20/activitats/quadrats_magics/quadrat_3X3_abc.htm
Us recomanem especialment l'estudi que proposa per trobar tots els quadrats màgics de suma 3a, perquè triant a = 0 s'adjusta perfectament a la nostra proposta.


11 de novembre de 2012

Nombres amb forma (IV)

Ja fa uns quants posts que estem analitzant nombres amb forma i avui toquen els trapezoidals. Aquests nombres són la suma de 2 o més nombres consecutius.
Val a comentar que definits d'aquesta manera, els nombres triangulars són un cas particular dels trapezoidals (ja que aquí també es sumen nombres consecutius amb l'única restricció de que les sumes comencen des de l'1). Això pot ser una mica contraproduent des del punt de vista de la forma, però fer aquesta definicó tan ample té interés justificat en els resultats als que podem arribar. 



Després d'aquesta petita presentació proposem als nostres alumnes que omplin una taula escrivint cada nombre com a suma de nombres consecutius quan això sigui possible












Els alumnes no triguen en adonar-se que:
  • hi ha nombres que poden ser representats com a suma de nombres consecutius de diferents maneres (ex: 15=8+7, 15=6+5+4 o 15=5+4+3+2+1) 
  • tots els nombres senars són nombres trapezoidals perquè es poden escriure com a suma de dos nombres consecutius (ex: 7429 = 3714 + 3715 i en general: 2n+1= n+n+1) 
  • tots els múltiples de 3 són nombres trapezoidals perquè es poden escriure com a suma de tres nombres consecutius (ex: 2745 = 914 + 915 + 916  i en general: 3n= n-1 + n + n+1)
  • tots els múltiples de 5 són nombres trapezoidals perquè es poden escriure com a suma de cinc nombres consecutius (ex: 1365 = 271 + 272 + 273 + 274 + 275 i en general: 5n= n-2 + n-1 + n + n+1 + n+2)
I així successivament fins a poder justificar que els únics nombres que no són trapezoidals són les potències de 2.

Els trapezoidals no són els únicis resultats de sumes que tenen nom. Ja hem analitzat altres resultats que ens porten a les següents conclusions
I per afegir més nombres resultants de sumes que no havíem analitzant fins ara podem enunciar dues propietats:
  • la primera, molt coneguda: la suma dels primers nombres senars sabem que són quadrats
1+3+5+7+9+11+13=49
www.woollythoughts.com/afghans/rainbow.html 
  • i una segona: algunes sumes de nombres senars consecutius són nombres cúbics

I aquí afegim una idea visual que pot justificar aquest fet:
Una idea que podem plasmar amb cubets encaixables
4³ = 13+15+17+19 = (4²-3) + (4²-1) + (4²+1) + (4²+3)
5³ = 21+23+25+27+29 = (5²-4) + (5²-2) + 5² + (5²+2) + (5²+4)

5 de novembre de 2012

Primers passos en multiplicació

Primera aproximació al concepte de multiplicació
Podríem dir que en el fons, la multiplicació  és una manera de comptar ràpid i que el seu aprenentatge té certs paral·lelismes amb el fet d'aprendre a  comptar.

La diferència està en que mentre que comptar objectes implica assenyalar-los un a un i assignar-los un "nom" (1,2,3,etc.) fins a arribar a l'últim, la multiplicació implica reconèixer grups i elements en col·leccions d'objectes ordenades en grups iguals.
 
Per exemple, si sobre la taula tenim fitxes o boles ordenades regularment com es veu a la figura  i demanem "què hi veus?" la resposta buscada és "quatre grups de dues boles" (o també, "dos grups de quatre boles")

Després podem demanar quantes boles hi ha. Si el alumne compta 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 i 8, estarà encara en el comptatge, però si compta 2, 4, 6, 8, estem ja molt propers a la multiplicació. Per poder fer-ho l'alumne cal que sàpiga comptar de 2 en 2, cap endavant, per poder assolir aquest tipus de solució.


Imatge d'un vídeo del projecte "Count Me In Too"


Treballar amb objectes amagats ja implica un nivell més alt. A la imatge la mestra ompla els quatre tubs a la vista de l'alumne  posant cinc fitxes a dintre deixant clar que en posa 5 a cada tub i demana posteriorment el total. La manera de comptar de l'alumne ens indicarà si ho resol per suma o ja fa suma iterada 5+5+5+5 (inici de la multiplicació)


Currículum i taules de multiplicar
En el currículum apareix la presentació de la multiplicació a 2n de Primària, restringida a les taules del 2 del 5 i del 10. La raó de començar per aquestes és que els alumnes ja dominen el tipus de comptatge o contingut necessari per a plantejar-ho: el "comptatge rítmic " de 2 en 2, de 5 en 5 i de 10 en 10.

El que no ens fa el pes i més en un ambient de competències és la formulació d'aquest aspecte com "taules del 2, 5 i 10" ja que  focalitza el treball cap a l'habilitat necessària (les taules). Aquest focus hauria de centrar-se en la part competencial: saber plantejar i resoldre problemes que impliquin situacions d'agrupar (i de repartir) en el camp de les taules del 2 el 5 i el 10. En l'activitat que presentem a continuació, els alumnes van acabar resolent aquest tipus de problemes sense dedicar temps a recitar les taules.

Subitising (o "cop d'ull) i concepte de multiplicació: comptar punts
Ana Cerezo, a l'escola Ponent de Terrassa, va incorporar el subitising (reconeixement de col·leccions visualitzades un instant) per treballar la idea de multiplicació: el reconeixement ràpid de "grups i elements de cada grup" per així facilitar el comptatge posterior.
En principi es va treballar amb "taules" barrejades. La figura inferior presenta alguns exemples.
Per portar a terme aquesta activitat es va utilitzar un power point i les imatges s'anaven mostrant a la pissarra. Per aconseguir "amagar-les ràpid" es va intercalar una diapositiva en blanc a continuació de cada exemple.

La taula del 5 punts i objectes
Ara ens centrarem en la taula del 5 i en les diferents dificultats que varem observar segons el context presentat: no és el mateix reconèixer grups de punts que representacions d'objectes.
Identificar que quatre daus amb la cara del 5 a la vista va ser bastant fàcil per a ells, però en el moment que es va canviar a dits i mans la cosa canvia. Bastants alumnes que no tenien dificultat en resoldre el problema amb punts els va costar molt més davant d'aquesta imatge.





La situació es complica en arribar al "problema general": "Quants dits hi ha en 3 mans?" Les dificultats van ser importants, fins el punt que alumnes amb més dificultats van tornar a utilitzar les seves mans per comptar d'un en un enlloc de cinc en cinc... ja no multiplicaven.
Poc a poc la majoria de la classe va anat entenent i resolent els problemes de multiplicació que apareixien en el llibre de text sense haver "cantat" la taula ni un sol dia. 

Una presentació per treballar a classe
Podeu baixar-vos la presentació per fer subitising d'agrupaments de 5 objectes, en aquest cas Clicks, dins del projecte "Mateclicks" de Puntmat (que presentarem en aquest bloc en breu). Clicant dos cops seguits el botó d'avançar podreu veure l'efecte d'amagar ràpidament la imatge i com recordeu perfectament podreu comptar els pirates (la tria d'aquest protagonista és un homenatge a la figura "mítica" dels clicks).

 
Comptatge amb clicks4 from puntmat. © figures PLAYMOBIL/ geobra Brandstätter GmbH & Co. KG

1 de novembre de 2012

Nombres amb forma (III)

A partir de les fotografies de dos piràmides de taronges en un post anterior vam desembocar en els nombres oblongs, avui reprenem una d'aquelles dues fotografies per parlar dels nombres piramidals:
Aquests nombres són la suma de nombres quadrats consecutius començant des d'1, per tant, són piramidals els nombres: 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, ...

Algunes propietats dels nombres piramidals:
  • aquesta successió està formada per dos nombres senars, seguits de dos nombres parells, seguits de dos senars, etc
    En una graella de 5x5 hi
    ha 25+16+9+4+1 quadrats
  • aquests nombres apareixen en la solució del problema del càlcul del nombre de quadrats en una graella (per exemple, un tauler d'escacs)




  • també apareixen en la solució del problema del càlcul del nombre de ternes en que el primer element és més gran o igual que els altres
  • el nombre que ocupa la posició n de la successió dels nombres piramidals és ⅓ n (n+½) (n+1) tal com es veu a la següent prova visual:  


Una altra prova visual trobada a www.matematita.it que permet entendre perquè la suma dels quadrats dels primers nombres naturals és igual a  n(n+1)(2n+1):6.


http://mrhonner.com/2012/01/13/kitchen%C2%A0counting/


Val a dir que quan la base d'aquestes piràmides no són nombres quadrats sinó triangulars s'obtenen els nombres tetraèdrics: 
Són tetraèdrics els següents nombres 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969... (suma dels primers nombres triangulars)

Algunes propietats dels nombres tetraèdrics:
  • aquesta successió està formada per un nombre senar, seguits de tres nombres parells, seguits d'un de senar, tres de parells, etc
  • la suma de dos  nombres tetraèdrics consecutius dóna com a resultat un nombre piramidal (això és dedueix d'un fet comentat en el post anterior dedicat als nombres amb forma: la suma de dos nombres triangulars consecutius dóna com a resultat un nombre quadrat) 

  • les relacions entre nombres quadrats i triangulars i entre nombres piramidals i tetraèdrics no són totes elles exportables. Per exemple: hi ha infinits nombres ques són quadrats i triangulars simultàniament (1, 36, 1225...) però només hi ha un nombre que sigui piramidal i tetraèdric: l'1 
  • els nombres tetraèdrics es poden obtenir mitjançant la fórmula ⅙ n (n+1) (n+2)
Font: www.takayaiwamoto.com/Sums_and_Series/sumsqr_1.html
Aquí Tet_n representa l'enèsim nombre teraèdric i Tri_n l'enèsim nombre triangular
  • els nombres tetraèdrics formen la quarta "columna" del triangle de Pascal, però d'aquest punt ja en parlarem en un post futur.