29 de maig de 2012

Joan i Juan

 El bloc del Joan Jareño
Ja era hora! després d'haver publicat a la xarxa dues pàgines web "de categoria" "Calaix del +iè" i "Càlculus" que combinen el rigor i la claretat en el que s'escriu, amb propostes que l'endemà mateix es poden portar a classe, en Joan havia desaparegut del mapa virtual. Sortosament, ha tornat amb força publicant "El bloc del Calaix" on el que fa és ordenar i millorar tot el que ha anat escrivint durant aquests anys i a més aportar coses noves.
Tot i que està bàsicament dedicat a Secundària els seus posts són de lectura recomanada per tothom que li agradin las Matemàtiques. Si us feu seguidors del bloc encara que treballeu Primària, cada cop que el llegiu aprendreu alguna cosa, que a la llarga o a la curta és reflectirà a les vostres classes.
Per presentar el bloc hem triat dues de les últimes entrades publicades: "trajectòries: donant voltes: I""II"  on en Joan complementa, amb interesssantíssima informació, tres applets dissenyats per ell mateix (fa 10 anys!!) que ja havíem comentat en un post del nostre bloc: Buster Keaton, cicloides i carreteres.


Les pàgines (i el bloc) del Juan Garcia Moreno

Fa poc hem descobert aquest bloc portat per un mestre de Primària de Lebrija (Sevilla) que és autor de materials virtuals publicats pel MEC (ntic). Per començar a tastar la feina del Juan us recomanem dos d'aquests materials: "Así calculamos en mi cole" més aviat de Primària y "Laboratorio de azar" per cicle superior i secundària bàsicament.



Al seu bloc "DidacMatic Primaria" trobareu propostes i anàlisi de continguts multimèdia per a l'àrea de Matemàtiques no només per a Primària. Molt interessant i proper a la tasca diària.

26 de maig de 2012

El tangram del Median


En l'entrada del bloc Median del 29 de març el Don Steward va presentar un interessant tangram de quatre peces que comentarem avui després de haver-lo també comentat en la xerrada "Entre el pla i l’espai, la visualització".

Encara que les peces d'aquest puzle són molt senzilles de construir a classe, aquí podeu trobar una versió per imprimir.





Un primer aspecte que volem esmentar és la importància de treballar amb els alumnes les característiques del triangle que apareix en la figura de la dreta degut a la tendència que hem constatat en creure que es tracta d'un triangle equilàter. La manera d'eradicar aquesta idea equivocada depèn de les eines que es vulguin o es puguin fer servir en consideració de l'edat dels alumnes (teorema de Pitàgores, comparació de les longituds dels costats, mesura dels costats amb un regle, mesura dels angles amb un semicercle, etc).

Un segon aspecte a esmentar és la quantitat de quadrilàters diferents que es poden formar amb les quatre peces del tangram del Median (un repertori que inclou un quadrilàter no convex, un altre que és convex però que no té cap parella de costats paral·lels, dos trapezis isòsceles, un rectangle no quadrat, uns quants paral·lelograms)

A la imatge anterior falta aquest altre quadrilàter trobat per alguns dels alumnes de la especialitat "Matemáticas" del "Máster en didácticas específicas" de la UAB i la UNAN (Carazo, Nicaragua):

A la imatge també faltava una altra solució (fins ara són 13!!) trobada per alumnes de 3r d'ESO de @escolasadako:

Per assegurar-nos que els quatre paral·lelograms que apareixen entre les solucions són realment diferent n'hi ha prou amb calcular la mida dels seus costats.


Per comprovar que no hi ha altres quadrilàters repetits també convé comparar els tres que apareixen en la imatge de la dreta i reflexionar sobre les raons per les quals no són el mateix: veure que l'únic que té dos eixos de simetria és el primer mentre que el segon en té un i el tercer no en té cap.







Abans d'acabar volem fer dos petits comentaris:
  • podeu trobar altres activitats per treballar amb Tangrams a la pàgina de l'Espai Jordi Esteve
  • podeu trobar referències d'una altra de les activitats comentades en la xerrada "Entre el pla i l’espai, la visualització" a la proposta del 15 de maig dels problemes geomètrics setmanals del Creamat.

19 de maig de 2012

Els costa molt fer 3+?= 10

Una dificultat "històrica"
El primer problema el tenim en la dificultat que representa pels alumnes de primer o segon de Primària identificar situacions del tipus
acompanyada de la pregunta: quin és el nombre que sumat a 6 dóna 10?
Podem observar, per començar, que en la traducció de la situació a una pregunta comencem pel mig enlloc de per l'esquerra. Però més enllà d'aquesta qüestió de l'ordre, ens hem de plantejar la fórmula de sempre: no hem de començar la casa pel terrat. O sigui, no hem de començar l'activitat per l'expressió simbòlica sinó pel context. 

Què és el que l'alumne no sap resoldre?
Si nosaltres plantegem als alumnes l'exercici de dir quants dits estan amagats utilitzant les dues mans tal i com indica la figura i els alumnes ens contesten contesten "quatre" vol dir que saben resoldre "el problema". 
Imatge treta d'un applet de l'Institut Freudenthal que treballa sumes fins a 20 utilitzant les mans. Enllaç
Una altra cosa és que vulguem que associïn aquesta situació a una expressió simbòlica tipus a + ? = c. Per aconseguir-ho hem de ser curosos en el context amb el que presentem la situació inicial.

Situacions inicials de suma: problemes de transformació

Els problemes additius més accessibles pels alumnes són els anomenats "de transformació", és a dir, aquells en que se surt d'una situació inicial que és canviada per alguna acció per arribar a un resultat final.



 
Un context molt adequat per a treballar-los són els autobusos. El primers exemples els podem presentar col·lectivament. Un autobús retallat sobre una cartolina de mida DIN A5 amb una capsa enganxada al darrera per poder acomodar els passatgers ens permetrà simular viatges en els que, de moment, solament hi ha l'estació de sortida, una parada i l'estació d'arribada

© figuretes Playmobil

Amb aquest material podem plantejar problemes com per exemple: a l'autobús hi ha 5 viatgers, a la parada en pugen 3, quants arriben al final? Es discuteix la resposta. Al final s'ensenya el contingut de la capsa i es compten els clicks per comprovar si la resposta és correcta.

Treball en paper o en pissarra: representació en vinyetes
Un cop viscuda la situació, una seqüència de vinyetes pot ser un excel·lent enunciat d'un problema. En la figura inferior, els alumnes han d'interpretar que l'autobús porta 6 viatgers. A la parada n'hi pugen tres i cal saber quants n'hi ha en total a l'arribar al final.
Aquest procés pot portar associat un altre aspecte molt important: la transcripció simbòlica de l'acció portada a terme. És a dir com s'escriu en el "món de les Matemàtiques" el que acabem de fer. Confondre aquesta "traducció" de les vinyetes als símbols amb la idea d'operació associada ens pot portar problemes. En parlem més endavant.

El lloc de la incògnita: ampliar el camp del problemes
L'exemple tractat dóna com a dades els passatgers de la sortida i els que hi pugen (la transformació) deixant que la incògnita sigui l'arribada.


Canviar el lloc de la incògnita (la part ombrejada a les imatges inferiors) genera dos tipus nous de problemes completament diferents al primer i que també cal treballar-los,  per així "tancar" la comprensió d'aquest tipus de problemes
  • Quan la incògnita està a la transformació
  • Quan la incògnita està a l'estadi inicial.
Si els alumnes treballen en aquest contextos, associaran expressions del tipus (a + ? = c) i (? + b = cal model dels autobusos corresponent. Cosa que donarà sentit a les expressions simbòliques fins ara tant llunyanes. És important destacar que els tres són problemes que els alumnes associen a una suma, tant en el moment descriure-ho simbòlicament con en el moment de calcular. Tot i que en el moment de resoldre´ls utilitzin estratègies que impliquin sumar o restar

L'expressió simbòlica i "operació"
El segon problema el tenim quan pretenem que els alumnes, un cop resolt el problema "de cap", ens posin per escrit el que anomenem "l'operació" i tenim com a objectiu que ens han de posar una resta.
Per exemple: davant d'un problema associat, a l'expressió:
7 + ? = 10
el problema el tindrem nosaltres si el que esperem o volem és que posi la resta
10 - 7 = 3
ja que no es correspon  amb l'acció viscuda.

No tots els nens i nenes, ataquen aquest tipus de situacions com una situació "de resta", fins i tot diríem que no ho fan majoritàriament Si els preguntes com ho han comptat forces alumnes et diran "he comptat 8, 9 i 10: n'han pujat 3" .
Podríem dir que en últim terme el que fa que un problema sigui de sumar o de restar (tot i  que depèn molt del context) no és el problema sinó l'estratègia del resolutor.
Això ens porta a que si un grapat d'alumnes ha solucionat el problema sumant i la seva operació no és una resta, es desconcertaran. Potser som nosaltres els equivocats a l'intentar diferenciar externament situacions de suma i de resta en lloc de identificar-les totes elles com a situacions additives, enlloc d'associar-les a les estratègies de resolució.

En aquest context 7 + ? = 10, és una manera d'expressar en llenguatge matemàtic una acció determinada i que l'alumne sigui capaç de fer aquesta traducció és un objectiu important. De fet, és el mateix que quan a 2n d'ESO proposem un problema "amb enunciat" i demanem els alumnes que "el plantegin", per exemple així: 3/4x + 23= 78. Dels nostres alumnes de Cicle Inicial, demanem el mateix: saber traduir una situació com la dels autobusos en llenguatge matemàtic posant 7+ ? = 10.

Però intentar incidir en el procés de resolució demanant-los que vegin que 7+ ? = 10 és el mateix que 10 - 7 = ? no es bo per a la salut, ni dels nens ni de la mestra (al igual que no és bo, tal com vam comentar en els posts dedicats a equacions, que el professor de 2n d'ESO digui als seus alumnes que per resoldre l'equació x+ 15 = 27 "es passa" el 15 restant).

Per acabar
Diríem que no és que les tasques del tipus 6 + ? =10 els costin molt, sinó que no li veuen el sentit, al que els demanem de manera descontextualitzada.I si a més pretenem que ho associïn a una operació que no és la que utilitzen per resoldre el problema, potser la millor solució serà centrar l'objectiu en que sàpiguen transcriure el llenguatge matemàtic a l'acció portada a terme i que resolguin el problema amb les seves estratègies de càlcul.

Hem deixat de banda els tipus de problemes que contextualitzen situacions de resta: els que els viatgers baixen enlloc de pujar. És interessant tenir present aquests sis tipus, els tres que hem vist de canvi creixent i els tres associats a la resta de canvi decreixent, per tenir una llista rica de models de problemes.

Altres contextos de problemes de suma: combinació i comparació
Carpenter

A més dels problemes de transformació o canvi, hi ha dos tipus més de problemes additius segons Carpenter, Fennema i altres en el seu llibre "las Matemáticas que hacen los niños" els de combinació i els de comparació. En el capítol 2 trobareu la part dedicada a la classificació de problemes additius.

17 de maig de 2012

Matemàtiques anant pel carrer (1)

El caixer automàtic
La setmana vinent vull fer una activitat lligada a la vida quotidiana i les antenes estan a punt per a localitzar Matemàtiques mentre vaig pel carrer. Entro a buscar diners a un caixer per pagar al lampista (ell m'ha dit que em costaria prop de 300 €). Penso que si en trec 300, el caixer em pot donar 6 bitllets de 50 i per tant, per poder tenir més possibilitats de pagar l'import exacte, trio demanar 280 €.

Mentre espero em plantejo la pregunta que ràpidament decideixo que portaré a classe la setmana vinent.

Quines quantitats puc obtenir en un caixer automàtic que solament et dóna bitllets de 50 i de 20?
Evidentment la primera conclusió és que han de ser múltiples de 10, però quins d'aquests múltiples puc obtenir? Pensant ja en l'activitat van sorgir les primeres preguntes a formular:
  1. De quantes maneres diferents pots pagar 170€ utilitzant bitllets de 20 i de 50?
  2. Quina de les quantitats següents puc treure i queines no (30, 130, 270...)
  3. Suposant que el caixer et dóna sempre la menor quantitat de bitllets (per exemple, en el cas del 280: 4x50+4x20) i pressuposant que el meu lampista no porta mai canvi. Quins preus podré pagar justos?
    • En el cas de treure 280 podria pagar just: 20, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100... i no podria pagar 10, 30, 210, 230, 250, 270 i òbviament preus més grans que 280 
    • Però si demanem 290 (5x50+2x20) el que puc pagar és 20, 40, 50, 70, 90, 100, 120, 140, 150, 170... però no podria pagar 30, 60, 80, 160, 180, 260, 280 
La investigació
Investiguem ara la pregunta inicial:
  • Quines quantitats puc treure, i quines no, utilitzant únicament bitllets de 20 i de 50?
Cal dir que hi ha una segona activitat amagada en aquesta investigació: sempre hi ha un nombre a partir del qual ja es poden obtenir totes les quantitats. Quin és?

Si com a pista per a solucionar el problema suggerim als alumnes que vagin anotant els resultats en una graella com la de sota, els serà més fàcil trobar la solució. Per exemple quan ja sabem  que es poden obtenir 70€ (50+20) totes les quantitats de la seva columna també es pot obtenir ja que van de 100 en 100 
10       20    30    40    50    60    70    80    90   100
110   120  130  140  150   160 170  180  190   200
etc.

El resultat és bastant sorprenent d'entrada ja que solament hi ha dues quantitats que no es poden obtenir el 10 i el 30, tots els altres si. Això podria justificar la tria (no ho sabem)  per part del banc de no posar bitllets de 10 als caixers cosa que simplifica la feina.

Construir un algorisme
Quina creiem que és la lògica interna del caixer? Comença pagant amb un mínim de bitllets fins que s'acaben les existències d'un dels dos tipus? Si suposem que si, podem plantejar que escriguin les instruccions que calguin perquè un robot (un company o el mateix professor/a) sàpiga quants bitllets de cada tipus ha d'agafar per donar el mínim de bitllets quan li demanen una quantitat determinada.

Segurament els nostres alumnes començaran per observar regularitats a partir de les descomposicions
  • 100 =2x50
  • 110 = 1x50 + 3x20
  • 120 = 2x50+ 1x20
  • 130 = 1x50 + 4x20
  • etc
Més aviat o més tard podran arribar a formular cert algorisme fixant-se amb la paritat o no de la xifra de les desenes.

Finalment i ja de tornada a casa a pagar al lampista, una última idea: quina hauria de ser la proporció de bitllets de 20 i 50 que ha de posar l'encarregat d'omplir de bitllets el caixer?

Ampliació
Clicar per ampliar imatge. Llibre Fisher, Vince

Aquesta activitat és "filla" de la plantejada al magnífic llibret d'activitats "Investigando las Matemáticas. Libro 2 fet per R. Fisher i A. Vince (original del 1988 i traducció del 1990). La col·lecció consta de quatre llibrets, i està descatalogada.

Si tinc segells de 5 i de 7, quins valors puc obtenir?

A la guia pel professorat indica una fórmula general per trobar-lo, encara que restringida a parelles de nombres que tinguin MCD 1. Siguin a i b els nombres, per trobar el nombre inicials a partir del qual ja es poden obtenir tots els nombres cal fer: (a-1)·(b-1). (en al cas del problema dels segells el número seria el 24)

Anant més enllà del llibre i pujant força el nivell: què passaria en cas que el mcd no fos 1? quina seria la fórmula?

Com veieu, aquest és un problema amb gran potencialitat ja que depenent de les preguntes o dels nombres d'entrada, es pot treballar a edats molt diferents.


Altres formulacions del mateix problema
  • A la web del Calaix +ie el Joan Jareño ens proposa un magnífic joc de càlcul, el TOC BUM, que té la mateixa base matemàtica. 
Captura de pantalla
  • El matemàtic J.H. Conway va idear un altre joc relacionat amb el problema al voltant del qual gira aquesta entrada. Es poden trobar les seves regles i un applet per jugar a Sylver Conaige
Captura de pantalla
  • Els "locos lindos" de Numberphile es pregunten com es poden comprar exactament 43 McNuggets de pollastre atenent a que els venen en caixes de 6, 9 i 20 peces 

2 de maig de 2012

Explicant estratègies amb vídeos

L'estratègia de compensació
Quan per simplificar un càlcul transformem els dos termes d'una operació per convertir-la en una de més senzilla però que doni el mateix resultat estem aplicant el que s'anomena estratègia de compensació. Per exemple: enlloc de sumar 56 +47 podem sumar 53+50 que és més fàcil i dóna el mateix. El 3 que hem afegit al segon sumand l'hem tret del primer.
Aquesta propietat no és tant clara per a la resta. Fer l'operació 54-36 mentalment seria més fàcil si el subtrahend fos 40. Quin hauria de ser el minuend? Plantegem una situació com aquesta a classe i quan els alumnes arribin a una conclusió, una bona manera per animar-los a "que parlin ells" és que facin un relat.. o un vídeo com el següent.

Un programa d'edició de vídeos i "que parlin ells"
Enllaç: clicant la imatge (24/04/12)
Zimmer Twins és un programa gratuït pensat per ser utilitzar, de manera interna en una aula i que vam conèixer a través de. Permet editar vídeos incorporant imatges, fons, bafarades (en les que malhauradament no es poden escriure accents), accions, etc. de manera senzilla i donant com a resultat unes produccions espectaculars. Cal inscriure's personalment i inscriure també a alguns alumnes, aquesta restricció fa complicat compartir-los externament, però com a eina interna de classe és fantàstica.

És per aquestes restriccions que us mostrem un exemple en format de còmic (còpies de pantalla, però no oblideu que és un vídeo), per tal que veieu com alumnes de quart de Primària poden ser capaços de fer coses tant boniques com aquesta "parlant ells".

Vídeo: "Estratègia de Compensació"
No ens negareu que és una bona manera d'anar recollint conclusions de classe.

Alguns comentaris sobre l'estratègia de compensació
Es fàcil pels alumnes, arribar a conclusions ràpidament quan formulem preguntes del tipus: Omple el buit perquè les dues sumes siguin equivalents 
    • 56 + 48
    • __ + 50 
La resposta 54 + 50 no solament surt amb facilitat sinó que a més, podem escoltar justificacions del tipus: si n'hi poso 2 a una banda n'hi he de treure dos de l'altre.

En el cas de la resta la cosa es complica i no solament amb alumnes petits sinó també amb gent adulta, entre ells mestres o estudiants de magisteri ja que davant la pregunta 74 - 48 = ___ - 50, la resposta 72 - 50 és molt freqüent, ja que apliquen el mateix que a la suma. Aquestes fallades poden venir del fet que sempre han estat treballades sobre simbologia el que impedeix reflexionar sobre el resultat, i per tant han estat apreses com un "truquet". No podem oblidar que tot coneixement que volem que sigui entès en profunditat, hauria de sortir d'una situació contextualitzada i no d'una situació plantejada sobre expressions simbòliques tal i com les hem plantejat en les situacions anteriors. Posem un exemple tret d'un text escolar. 

Per aprendre o solucionar dubtes: context!
Extret de: 3x6 quadern 6. Ed. Barcanova
La cap del formiguer vol saber quantes formigues té entre dos formiguers però li fa mandra comptar i sempre busca nombres que permetin calcular fàcilment resultats. Vol convertir el 18 en 20.

Pregunta: per què fa passar dues formigues del de 23 al de 18? donarà el mateix resultat? Per què? 
Extret de: 3x6 quadern 6. Ed. Barcanova
Ara vol saber la diferència i vol convertir el 38 en 40. Si vol que la diferència es mantingui què ha de fer? Quina serà la resta final? La resposta és enviar-ne dues al de 38, i la justificació esperada és que si es vol mantenir la diferència ha de fer el mateix a banda i banda.

Un cop tenen el referent ja podem tornar al món simbòlic i fer certa exercitació sabent que si hi ha algun dubte, la cap de les formigues serà recordada pels alumnes.

Per a altres nivells, representar el problema de la formiga en el model de la Línia Numèrica Buida (LNB) ens aporta un bon suport per investigar. En aquest cas la resta no es conceptualitza com a treure, posant el 72 i saltant 38 cap endarrere, sinó que s'identifica amb el valor del salt existent els dos nombres col·locats prèviament sobre la línia. Estem treballant amb el concepte de resta com a a diferència o distància.
Si passem de 38 al 40 i volem que la distància es mantingui, en quin nombre s'ha de convertir el 72? Gràcies a la LNB, l'estratègia de compensació en resta pot ser assolida a partir d'una petita investigació  i gràcies al model els alumnes poden justificar les seves conclusions.

Treballant l'estratègia de compensació a l'escola La sínia de Vic: La foto ens l'ha enviada Marta Presegué, la mestra de cinquè