25 d’abril de 2012

Àbac de cadires

Fa una pila d'anys en Claudi Alsina en una de les seves conferències, ens va explicar un joc per fer a classe que ell anomenava "Àbac de cadires" i que consisteix en que cinc persones seuen de costat en cinc cadires i han de moure's segons unes normes bastant fàcils d'explicar:
Qui fa anar tota la "maquinària" és la persona asseguda a la cadira de la dreta. Aquesta persona cal que canvïi de posició (s'aixequi o s'assegui) cada vegada que donem un cop sobre la taula. 
Els altres depenen del moviment del primer: quan la persona de la seva esquerra s'asseu (i solament quan s'asseu) ha de canviar la seva posició (si estan drets han de seure i si estan asseguts han d'aixercar-se). El joc s'acaba quan estan tots drets. Per poder veure com funciona mireu aquesta presentació.
 
View more PowerPoint from puntmat
Un cop entès com funciona us plantegem la primera pregunta: quants cops he donat per a arribar fins a aquesta posició?


L'activitat feta a classe 
En una reunió de planificació de classes en les pràctiques del Màster de Secundària de la UAB, en Jordi Losantos va incorporar la idea a la seva proposta inicial, utilitzar l'àbac de cadires en una classe de 3r d'ESO de l'Escola Sadako. Va ser més complicat del que semblava i aquí us explica com va anar:
-->
"Aquesta activitat pot tenir un problema, que d'entrada no imaginàvem, si el portem a classe, i és que com a mínim per a adolescents, no és gens fàcil. I no ens referim a l'activitat en si, sinó a saber seure (cosa lògica en adolescents) i aixecar-se quan toca. I si no, mireu com va sortit quan es va portar a classe, tot i que els vig posar en fila (enlloc de posar-los de costat) a veure si se'n sortien! El vídeo dura cinc minuts, però l’activitat ens va prendre entre quinze i vint minuts. Hi va haver un moment que semblava que no sortiria, però amb l’ajuda del quart bit humà (fixeu-vos-hi) ens en vam sortir."


Els subtítols incorporats al tram final del vídeo, on es marca amb un "0" la posició assegut i amb un "1" la posició "dret" ens ajuden a visualitzar i ens indiquen que el sistema binari està amagat darrera d'aquest joc.

Aquest applet es relaciona amb l'àbac humà esmentat aquí:
http://blog.keycurriculum.com/covering-your-bases-an-interactive-dials-model/
Fins a quin nombre puc comptar amb els dits d'una ma?
La segona activitat, un cop acabada la de les cadires i entesa la relació del sistema binari amb el joc, va ser plantejar el problema de fins a quin nombre puc comptar amb els dits d'una sola ma. La resposta: "fins al 31" és sorprenent. Cal dir que l'"habilitat digital" que cal tenir no és senzilla i la del protagonista del vídeo és notable. Ho podeu provar i veureu que no és fàcil. 



Sistema binari buscant a internet
Per tancar el post us mostrem un parell d'exemples de presència del sistema binari en llocs inimaginables. Un primer exemple ens acosta al món de la fotografiai està treta de l'excel·lent bloc fotomat.es
I per acabar, què millor que un regal?. El sistema binari us obre les portes. Podríeu dir-nos quina hora és? Podeu explicar com funciona als comentaris del bloc, si us ve de gust: parleu vosaltres!

http://www.ocompras.com/accesorios/reloj-binario-curioso-reloj  

Com a rellotge per tenir al despatx o a l'estudi és "un detall". No ens imaginem la seva utilitat com a rellotge de tauleta de nit.

19 d’abril de 2012

Propietat distributiva

En el temari de Matemàtiques de Primària, apareix, en un moment o altre el tema de les propietats: commutativa, associativa i distributiva. Un pensa que el domini d'aquestes propietats és important a l'hora de treballar l'aritmètica, però també que necessiten d'un tractament que parteixi de coneixements anteriors o estratègies emergents dels alumnes davant un càlcul i no, com es planteja molts cops, d'una expressió simbòlica. Posem com a exemple la propietat distributiva
 3 x (4 + 5) = 3 x 4 +3 x 5

Mirem-ho de lluny
Quan arriba (a Primària) el moment "d'explicar" la propietat distributiva, als docents s'ens fa complicat trobar alguna manera de justificar-nos per quina raó cal posar sobre la taula que per fer 3x(4+5), és a dir 3x9, hem de presentar una propietat que "ens complica la vida"ja que 3x4+3x5, vist des del càlcul, és més costós que no 3x9, i de fet, a primera vista té poques aplicacions. Una altra cosa seria a Secundària.

Que parlin ells!
Què entenen els alumnes quan reben aquest contingut?. Us posem un exemple: en Adrià, un dels nebots de PuntMat, un dia. en arribar a casa, ens va dir molt content que la mestra li havia posat un "molt bé" a la feina que havien fet aquell dia, i que era la següent.

Un cop felicitat per la correcció del seus càlculs li varem preguntar: què et sembla que t'ha volgut ensenyar avui la mestra? La resposta va ser "sumes i multiplicacions", no cal cap comentari, oi?

Competències i estratègies emergents
Exemple 1.
Però si ens fixem en el món del càlcul i les seves estratègies, ens trobem hi ha molts alumnes que coneixen i utilitzen aquesta propietat d'una manera funcional. Us presentem un exemple d'un text
Tret de 3x6.mat. Editorial Barcanova
L'alumne utilitzant l'estratègia de descomposició, pensa el 6x16 com a 6x(10+6) per facilitar el càlcul i fer: 6x10+6x6. En aquest cas, l'aparició de l'us de la propietat distributiva pot venir lligada a l'estratègia de càlcul emprada per a solucionar un problema, plantejat en un model adequat (comptar rajoles) que li suggereix la idea de descompondre per calcular.

En quaderns de càlcul holandesos, trobem exercicis com aquest, on es reconeix l'us de la propietat lligada amb la seva aplicació al càlcul.
Rekenrij Groep 6. Werboek

Ens agrada molt aquest model d'activitat ja que centra l'interès en la descomposició que cal fer, i no solament demana un resultat. I ens agrada mentre sigui una manera d'expressar per part dels alumnes el que pensen. El que no ha de passar és que es converteixi en una exercitació que "algoritmitzi aquest procés". Per exemple, ens agradaria veure que els nostres alumnes en fer 3x69, el que aparegués a la bafarada fos 3x70 - 3x1 enlloc de 3x60 + 3x9, cosa que destacaríem com a positiva.
Exemple 2
Davant un problema com: "En Jaume ven capsetes de bombons a 5€ cadascuna. El primer client n'hi compra 4, el segon 3, el tercer 6, el quart 2 i la el cinquè 8. Quants euros ha cobrat? Ens podem trobar amb dos tipus de respostes: els alumnes que fan cadascun dels productes parcials i sumen al final 4x5+3x5+5x5+2x5+8x5 i els que primer calculen el total de capsetes venudes (22) i després multipliquen pel preu de cadascuna. La discussió sobre la validesa de les dues estratègies ens porta de manera natural a parlar de la propietat distributiva. Però cal dedicar uns espai exclusiu del nostre temps a la propietat distributiva, entesa com a una igualtat descontextualitzada entre dues expressions simbòliques?

Una discussió sobre la propietat distributiva pot ser interessant
La nostra resposta sobre la pregunta anterior seria que si, que un cop que aquesta propietat formi part de les estratègies dels alumnes, val la pena dedicar-li un temps. Ens ho podem passar bé analitzant la propietat distributiva i fent preguntes que els facin aprofundir sobre ella com per exemple
  • S'han adonat que la diferència bàsica entre les propietats associativa i commutativa amb la distributiva està en que mentre que les primeres es defineixen en l'àmbit d'una sola operació, la distributiva en posa en joc dues?
  • La propietat distributiva, funciona també per la resta? 
  • Funciona "al revés"? com serà (4+5)x3? i (7-2)x8?
  • Sabem que 3x(4+5)= 3x4+3x5, funciona també amb la divisió? És cert també que
    •  300:(5+3) = 300:5 + 300:3?
    • Potser seria restant?
Per acabar un comentari a l'última pregunta: es comprova ràpidament que no funciona, de totes maneres si l'ordre és posar primer el parèntesi de sumes, com per exemple (48+16):8 = 48:8 + 16:8 aleshores sí que es compleix. Aquest punt ens remet un altre cop a la relació de la propietat distributiva amb les estratègies de càlcul, ja que el procés emprat és el mateix que en la multiplicació: descompondre per calcular. La diferència està en que mentre en la multiplicació la descomposició és sempre del tipus 373 = 300 + 70 + 3, a la divisió cal buscar nombres que siguin múltiples del divisor.

Per cert, aquesta és una bona estratègia de resoldre divisions per una xifra que ens aporta l'ús d'eines molt importants en càlcul: descompondre un nombre en múltiples d'un altre, multiplicar per nombres acabats en zero i a més, treballar en un "ambient de resolució de problemes" fins i tot a l'hora de resoldre una divisió.

Afegim a continuació fotografies d'alumnes de 6è (@escolasadako) explicant les seves estratègies de càlcul per descomposició
 



    16 d’abril de 2012

    Xerrades del Puntmat sobre Geometria

    Catàleg Nathan




    Els del PuntMat anem a fer una xerrada, el 17 d'abril, a Lleida sobre Geometria. La repetirem a Tarragona, Girona i dos cops Barcelona. Per més informació (llocs, horaris, dies, etc.) premeu l'enllaç que us portarà a Creamat. Us adjuntem un petit resum.





     Xerrada: Entre el pla i l'espai, la visualització. Reflexions  sobre el bloc "Espai i forma"

    Es tractaran tant aspectes de Primària com de Secundària, que s'organitzaran en tres  nivells:  pla, espai i visualització. Les hem  hem sintetitzat en tres preguntes que seran el fil conductor de la xerrada.

    1. Construïm o dibuixem polígons?
    2. Hi ha un poliedre amb més cares que vèrtexs?
    3. Quines fotografies triaries per descriure un objecte?

    Esperem que als que vingueu i us sigui útil el que us explicarem.


    Per què ens agrada el Median?

    Aquells de vosaltres que seguiu l'espai que té el PuntMat al Scoop.it sabeu que allí anem recollint els blocs que seguim, les revistes que llegim, els vídeos que ens agraden, els applets que fem servir. A l'apartat: www.scoop.it/t/blocs-que-interessen-al-puntmat trobareu una referència al bloc "Median" del Don Steward i aquí il·lustrarem amb un exemple com creiem que es poden fer servir a classe les seves propostes, resumides en imatges.

    En l'entrada de l'11 de febrer de 2012 apareix aquesta imatge
    A segon d'ESO fa uns dies estàvem treballant amb operacions combinades i potències i vam pensar que podíem proposar als nostres alumnes (que no tenen idea encara que és això del quadrat d'un binomi) la cerca d'un patró que s'amaga darrera de la pregunta: què canvia entre els següents dos procediments?
    • agafo dos nombres primer els elevo al quadrat i després sumo els resultats 
    • agafo els mateixos dos nombres primer els sumo i després elevo al quadrat el resultat

    Primer vam proposar uns quants casos particulars (amb a i b nombres naturals)
    Després van anar arribant les conclusions
    Aquí vam haver de detenir-nos a parlar de què passaria si ampliàvem el nostre conjunt de casos particulars
    vam arribar a la conclusió de que la desigualtat era certa només si a i b eren totos dos positius o tots dos negatius i vam decidir continuar la cerca de conclusions fins que vam arribar a que:

    Creiem que hagués estat una bona idea donar una mica de llum al per què d'aquest patró i no hagués estat difícil fer-ho amb algunes imatges:




    A l'entrada del Median del 27 de novembre de 2011 havia una altra proposta que ens va agradar per portar a aquella mateixa classe
    Quan la vam proposar als alumnes van començar a treballar amb les seves calculadores però sense un procediment concret per cercar les seves respostes i ens vam trobar que després d'una estona en les seves llibretes apareixien coses així:
    Era moment de posar en comú estratègies i discutir sobre maneres d'atacar el problema. Una primera estratègia que va sortir era la de fer la descomposició factorial d'aquests nombres. Per exemple: per al 2401 l'alumna, el treball de la qual es veu a la imatge, no havia trobat cap resposta i per tant vam fer la seva descomposició:


    La imatge és una captura de l'applet Árbol de Factores que tal com vam explicar al post Més sobre l'arbre de factors és el que utilitzem habitualment a classe.

    Allí els alumnes van veure que 2401 es podia escriure com a 7 elevat a la 4 o, fent parelles amb dos 7, com a 49 elevat al quadrat. Això de fer grupets ens va donar noves idees.


    Aquesta alumna havia vist que 59049 es podia escriure com 3 elevat a la 10 però no havia estat capaç de trobar altres respostes tal com li demanava l'exercici. Però si 59049=3x3x3x3x3x3x3x3x3x3, els deu 3 es podien agrupar de diferents maneres: de 2 en 2, de 5 en 5... i això ens va recordar als divisors del 10, que són quatre: 
    • el 10 és un divisor i l'exponent d'una de les respostes 59049=310 
    • el 5 és un divisor i l'exponent d'una de les respostes 59049=95
    • el 2 és un divisor i l'exponent d'una de les respostes 59049=2432  
    • fins i tot, l'1 és un divisor que permet trobar una altra resposta 59049=590491 
    El que no van tenir temps de discutir és com la descomposició factorial d'un nombre pot ajudar-nos a resoldre el problema de la cerca de potències de diferent base quan el nombre té més d'un divisor primer.

    9 d’abril de 2012

    Bancs del Passeig Marítim de Sitges

    Ja fa un temps, fent una passejada pel costat del mar, se'ns va acudir fer fotos a alguns dels bancs que hi trobàvem:


    Des del moment en que vam tirar les fotografies al moment de proposar una activitat de classe en les que fer-les servir han passat alguns anys, però finalment l'oportunitat va aparèixer, els alumnes de segon d'ESO de l'escola anaven a visitar Sitges i era una situació ideal per proposar-los una activitat amb els bancs:

    1) Cada alumne havia de fotografiar un dels bancs que hi ha al Passeig Marítim d’aquest poble

    2) Després havia de representar en una quadrícula el disseny del banc que havia fotografiat

    3) Per últim havia de descriure les instruccions que donaria perquè una altra persona fes exactament el mateix esquema que ell havia representat en la quadrícula, sense veure el banc.


    El treball del Matías:
    El treball de la Laia:
    Representacions dels bancs fetes pels
    alumnes a la classe de Plàstica
    Alguns dies després vam verificar si les instruccions que havíem donat eren prou bones, intercanviant entre els alumnes les instruccions i demanant-los que fessin la representació que ells creien que el seu company havia descrit. Per últim, grupalment van discutir maneres eficients de fer la descripció utilitzant vocabulari geomètric específic i codificant la posició de les rajoles.





    A l'ARC també podem trobar una activitat relacionada amb aquestes rajoles: Fem un terra de rajoles









    Aquí tenim un applet per complementar aquesta tasca amb rajoles Truchet:


    Des de molt a prop de Sitges, ens arriba la proposta de @jfontgon, Enrajolem (2) a partir de la qual podem experimentar amb tessel·lats periòdics amb rajoles "dividides en dues regions d'igual àrea"
    Exemples obtinguts a partir de les fraccions 1/3, 1/5, 1/7 i 1/9