30 de març de 2012

Quina és l'altura d'aquest jugador?

Sota el nom de "fotoproblemes" trobem problemes i situacions que es poden plantejar a partir d'una fotografia (ex: Problem Pictures).
Aprofitant aquesta idea i un famós póster del jugador Anthony Davis plantegem el que es podria anomenar un "miniprojecte matemàtic".
Quina és l'altura d'aquest jugador?

Com "atacar el problema"?
El camí ens el facilita "L'home de Vitruvi": un dibuix acompanyat de notes anatòmiques, de Leonardo da Vinci, realitzat a partir dels textos d'arquitectura de Vitruvi, arquitecte de Roma, del que el dibuix pren el seu nom (resum de Vikipèdia).
Observant els cànons de proporcionalitat de "L'home de Vitrubi" es veu  que l'altura de l'home i la seva envergadura (distància entre les puntes dels dits de les dues amns amb els braços estirats).  El quadrat que els conté així ens ho mostra. Per tant, podem esbrinar l'altura aproximada del jugador de la foto si sabem quina és la  distància entre braços.

Imatge: Viquipèdia

Càlcul de l'envergadura
Fer aquest càlcul es redueix a esbrinar el diàmetre de cada pilota i aquest problema el poden solucionar de diferents maneres: cercant a Internet per exemple  aquí o aquí utilitzant un cordill per calcular el perímetre del cercle major i dividint aquest valor entre pi, posant la pilota entre dues barres que ens permetin mesurar el diàmetre quan són paral·leles, etc. Un cop sabut el diàmetre mirant la foto podem saber l'altura del jugador. Nota; l'altura de Antony Davis és de 2,03 m.


Quan fan el càlcul del diàmetre a partir de la presa de mides és interessant que comparin la seva resposta experimental amb la obtinguda a Internet per valorar la seva precisió a l'hora de mesurar i ens permetrà parlar d'errors. 
La cerca de dades a Internet ens obrirà més camis, (si és que volem estirar-ho) des de moltes més regles de dibuix fins a saber  com es fa per saber si una pilota està ben inflada, la relació entre el diàmetre de l'anella i el de la pilota, les diferències de mides entre les pilotes que juguen els adults i els infants, etc.

Realment som "quadrats"?
Els cànons de bellesa poden dir que som quadrats, però a la vida quotidiana les coses no s'ajusten a aquests cànons encara que s'hi acosten. Som "matemàticament" rectangulars i podem tenir forma de rectangle apaïsat, de quadrat o de rectangle "estirat"tal com es veu a la figura. Cal dir que en el dibuix s'ha exagerat la diferència per a que s'entengui bé el que volem dir.

Pau Gasol com imagineu que és: quadrat, apaïsat o estirat? La resposta, potser sorprenent, és que és apaïsat. En Pau fa 2,16 m d'alçada i 2,29 m d'envergadura. Podem buscar més exemples entre  altres jugadors o els nostres alumnes de classe.
Realment l'home  de Vitruvi "tenia raó"? Així ho sembla ja que en el cas de Gasol la diferència entre altura i envergadura és solament del  5% cosa que la fa imperceptible a cop d'ull. O sigui que podríem dir que tots som quadrats!

Parlant de proporcions una pregunta per acabar
Si saps la longitud de la circumferència de la cinta que porta al cap en Rafa Nadal, el jugador de tennis, també pots saber quina és la seva altura. 
Quants cops és més llarga l'altura d'una persona que la circumferència del seu cap? No s'hi val començar prenent mides, feu una primera estimació ràpida i després si comproveu-ho mesurant el perímetre del vostre cap i calculant la relació entre aquesta dada i la vostra altura.

26 de març de 2012

Applets de divisibilitat

Els primers passos en divisibilitat giren sobre al idea de múltiple, divisor i la descomposició de nombres en producte de primers. Podríem dir que si quan treballem les taules de multiplicar partint del resultat  (42= __x__) comencem a entrar en el camp de la descomposició en factors.
Si demanem que enlloc de descompondre en dos factors ho facin en tres, quatre etc, arribarem, de manera natural, a la descomposició en factors primers a partir de les idees emergents dels alumnes. És per aquesta raó que comencem aquesta presentació d'applets per un joc restringit a les taules de multiplicar, per després anar entrant més a fons en el tema.
NOTA: Per a accedir als applets cal clicar a sobre de les imatges

Quatre en ratlla

Joc per dos jugadors. Cal aconseguir "pintar" quatre nombres en línia. Exemple: primer jugador: si vol  pintar el 18 ha de generar-lo a partir de dos dels nombres de la tira inferior. Per a fer-ho ha de situar el rectangles dels extrems sobre dos nombres de manera que el seu producte sigui 18, com per exemple  el 9 i el 2 (o també el 6 i el 3).  Un cop fet, el 18 queda marcat a la graella amb el color del jugador i passa el torn al jugador següent que ja solament podrà moure un dels dos rectangles. Podríem dir que aquí comença la part estratègica del joc.
És fàcilment "materialitzable" és a dir es pot convertir en joc de taula  per poder treballar sense ordinador.

Ànecs que corren
Applet d'exercitació que té certa gràcia: segurament caldrà anul·lar el so als ordinadors si no voleu que la classe es converteixi en un galliner. Té diverses opcions que van des d'identificar parells i senars, fins a la identificació de potències de 2 o quadrats perfectes, passant per la identificació de múltiples d'un nombre concret.








Factoritze2: una visió geomètrica de la descomposició en factors

Identificar un producte amb el model rectangular, és a dir amb una visió geomètrica, ens obre les portes a veure que els nombres es poden representar en forma de "barra" (rectangles amb un costat que mesuri 1) en forma de rectangle i alguns d'ells en forma de quadrat. D'aquí pot sortir, de manera natural, la idea que un nombre primer és aquell que solament es pot representar en forma de barra. A més a més ens obre les portes a il·lustrar per què diem nombres quadrats als nombres elevats a dos.


La caixa forta
Per obrir la caixa forta cal prémer tots els divisors del nombre que surt al centre i clicar a la maneta.
Presenta dos nivells. En el segon nivell de dificultat (amb nombres entre 101 i 199) és quan cal utilitzar, de vegades, la calculadora. Per exemple per saber si 858 és múltiple de 7 poden provar a fer 70x12=840, i a partir d'aquí veient que els 18 que falten no són múltiples de 7 el nombre no ho és. La genialitat és que la calculadora no té tecla de dividir!


Arbre de factors i càlcul del mcd i mcm
Aquest applet, ja ha estat comentat en dos posts d'aquest bloc: "Un algorime més transparent per a calcular el MCD" i "Més sobre l'arbre de factors". Ens planteja un camí  alternatiu al model de factorització que normalment utilitzem. Per altra banda, "fórmules" del tipus "comuns i no comuns elevats a l'exponent més gran" desapareix del mapa per donar lloc a una proposta molt més transparent. Per més informació  mireu  els posts citats.



Factor game: dominar els divisors i tenir estratègies
Joc per a dos jugadors, el primer tria un nombre, per exemple el 28 clicant a sobre. El segon jugador ha de clicar els divisors propis del nombre, en aquest cas 1, 2, 4, 7 i 14.
El primer jugador guanya tants punts com el nombre triat (28) i el segon guanya tants punts com el resultat de la suma dels divisors que ha escrit (1+2+4+7+14 = 28). En aquest cas dóna també 28, com en el cas del 6, per això s'anomenen "nombres perfectes", però en general no passa.
Un cop s'ha utilitzat un nombre tant dels que s'han triat com dels divisors, ja no es poden utilitzar més. Per quin nombre començaríeu a jugar? i si fóssiu el segon jugador, quina seria la vostra estratègia?

24 de març de 2012

Una manera de celebrar el dia de π

Amb motiu de la celebració del Dia de Pi, el passat 13 de març, vam proposar als alumnes de segon d’ESO de l'Escola Sadako que trobessin fraccions que aproximessin a aquest nombre, atenent a que π és el més famós dels nombres irracionals i ser un nombre irracional significa que no hi ha cap fracció que sigui igual a ell.

Aquests són alguns dels resultats d’aquest encàrrec:
  • Les respostes més habituals van ser les resultants de truncar l’expressió decimal de π: 3,1415926535897932384626433832795028841971693...
  • Però també vam trobar altres més originals resultants de l’aplicació dels coneixements dels alumnes sobre conversió de fraccions en decimals. Per exemple a la imatge tenim la proposta d’una de les alumnes:







En la línia d’aquest segon grup de respostes vam trobar moltes propostes:

Fraccions amb denominador més petit que 1016/5, 19/6, 22/7, 25/8 (en endavant: les fraccions en vermell representen aproximacions per excés i en verd, per defecte)
Entre aquestes fraccions proposades pels alumnes es troben les dues fraccions que millor aproximen a π entre les que tenen denominador més petit que 10: 22/7=3,142857 i 25/8=3,125.

La fracció que no va aparèixer en aquest grup va ser 28/9 que és històricament rellevant, tal com vam comentar en el post "Abans de π", per ser la que els egipcis feien servir en els seus càlculs relacionats amb cercles i circumferències.

Fraccions amb denominador entre 10 i 100 
 35/1141/1347/1560/1963/20179/57201/64223/71245/782667/85289/92311/99
Entre aquestes fraccions proposades pels alumnes, es troba la millor aproximació per defecte de π entre les fraccions irreductibles amb denominador de dues xifres: 311/99=3,14. Però no va ser proposada la millor aproximació per excés de π: 305/97=3,144329...

Fraccions amb denominador entre 100 i 1000:
333/106, 355/113, 377/120629/2002513/800

Malgrat, que només n’hi 5 de diferents, en aquesta ocasió sí que apareixen les dues millors aproximacions de π entre les fraccions irreductibles amb denominador de tres xifres: 333/106 i 355/113.

Aproximacions aquestes que tenen 4 i 6 xifres decimals, respectivament, coincidents amb el valor de π, el que indica el alt grau d’aproximació aconseguit amb aquestes fraccions.
  • Hi ha un tercer grup d’alumnes que van fer indagacions pel seu compte per donar resposta a la tasca proposada per les seves professores.
Una alumna va comentar que Arquimedes (287 – 212 AC) ja havia establert que π era un nombre que estava entre 22/7 i 223/71. Una altra alumna va ressaltar el valor històric d'una de les seves propostes: 377/120,  l’aproximació feta servir per Ptolomeu (90 - 168 DC) en la seva obra Almagest:

Una altra alumna va demanar ajut al seu pare i entre els dos van proposar una estratègia per trobar fraccions que aproximin a π, agafarien una fracció equivalent a 3 i per fer-la “una miqueta” més gran sumarien 1 al numerador. Es així que van proposar 13/422/7 o 34/11. Fraccions que podriem expresar en la forma general (3n+1)/n. Val a dir que aquesta estratègia permet anar apropant-se a π quan el denominador augmenta fins al 7 però a partir d’aquí comença a allunyar-se per apropar-se, més i més, al nombre 3.

Un alumne, per la seva part, va comentar que es poden aconseguir millors aproximacions de π considerant més i més termes de la següent suma: 4-4/3+4/5-4/7+4/9-4/11+4/13…. Aquesta afirmació és indubtablement certa però val a dir que la velocitat amb la que aquestes aproximacions s’apropen a π és realment escassa. També és interessant esmentar que cada cop que afegim un nou terme a aquesta llarga suma passem d’obtenir una aproximació per excés a una per defecte i a l’inrevés.

20 de març de 2012

DIN A4: algunes preguntes


Material omnipresent als centres educatius, els DIN A4 s'han de conèixer: Podem començar per esbrinar d'on ve el seu nom (format per tres lletres que són les inicials de Deutsches Institut für Normung). Després podem començar a fer-nos preguntes abans d'obrir el paquet, veient les informacions que porta escrites. Quines preguntes poden aparèixer?

Algunes preguntes per a Primària
  • Quants fulls conté el paquet?
  • Què vol dir A4? Quina mida fa? Quina mida fa un full DINA4 expressat en cm?
  • Hi ha altres mides de paper que responen als següents codis: A0, A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8.  Quines mides té cadascun? 
  • Cadascuna d'aquestes mides s'utilitzen per fer coses concretes a la vida quotidiana, busca exemples
  • Si tens un full DINA4, explica com ho faries per aconseguir un DINA5
  • Com construiries un DIN A3 a partir de dos DIN A4? Explica-ho de manera que ningú s'equivoqui en llegir les teves instruccions
Una activitat: calcular el  pes d'un paquet de DIN A4
Cal tenir en compte que per fer aquesta activitat cal tenir en compte que normalment a les papereries se senten frases com: "vull un paquet de fulls de 80g". Això implica que quan preguntem quan pesa un full? és usual que alguns alumnes responguin "80g": Si apliquen aquesta idea en la resolució del problema, el pes resultat serà desmesurat. Cal tenir una balança a classe per comprovar les possibles errades que els portaran a replantejar-se coses i fixar-se que el paquet diu 8og el metre quadrat.
Però que hi pinta un metre quadrat aquí al mig? Ho contestem en la primera investigació que trobareu més avall
Nota: a molts paquets posa  "80 gsm" enlloc de 80g. El que passa és que utilitza l'abreviatura anglesa de l'expressió en anglès: "grams square metre"  "gsm

Algunes idees per a la Secundària
Imatge Viquipèida
Forces preguntes plantejades anteriorment poden servir per a Secundària. Les que venen a continuació són pròpies d'aquesta etapa.
  • Fotocopia dues pàgines DINA4, aplicant la reducció de manera que càpiguen en un sol DINA4. Quin % has de posar? Pensa bé abans de prémer el botó
  • Amplia un escrit fet en un full DINA4 a un DINA3. Quin % has de posar al marcador?
Si fem que parlin ells i justifiquin les seves respostes ens portarà a un treball molt més interessant.

Dues petites investigacions entre Cicle Superior i Secundària


1. Construcció d'un DIN A0

Anteriorment hem plantejat la relació del pes amb el metre quadrat. I no és altre que un DINA0 mesura 1 metre quadrat. L'activitat que plantegem és coprovar-ho a classe.
Construim un DINA0 al terra. Partint d'un DINA4, anem col·locant fulls un al costat de l'altre, de manera correcta,  reconeixent successivament els DINA3, A2, A1,  fins a arribar a aconseguir el DINA0, tal i com es veu a la figura. Un cop fet en calculem l'àrea.
Al paquet posa que la mida d'un DINA4 és de 210 x 297mm. Utilitzant aquesta dada, veiem que la base fa 21x 4= 84 cm i l'altura  29,7 x 4 = 118,8 cm, el que ens dóna que l'àrea del DINA0 és de:  118,8 x 84 = 9979,2 cm quadrats o sigui, gaire bé 1 metre quadrat.

Ara ja tenim dades per tancar la investigació, ens plantegem:
  • Quant pesa el paquet de fulls?
  • Quan pesa un DIN A4?
La construcció del DINA0, va ser realitzada a classe de sisè per en Josep Martí, de l'Escola Ponent, de Terrassa. Un dels efectes col·laterals no previstos, però molt interessant, va ser la sorpresa i desconcert dels alumnes en veure un metre quadrat que no era un quadrat, cosa que en Josep amb l'habilitat que el caracteritza va aprofitar com aigua de maig.
2. Imprimint fulls
1. Si omplim completament un full de tractament de textos amb "g" escrites amb lletra tipus Times, mida 12.
  • Quantes lletres creus que hi entraran? 
  • Quantes files ocupa?
Es comprova  amb l'eina de word que compta el nombre de caràcters del document. 
2. Ampliem el text a mida 24. Quants fulls diries que omplirà? Primer pensa i després comprova-ho amb l'ordinador.

3. Un cop resolta i comprovada l'anterior activitat.
  • Torna a començar per la mida 12 i digues quants fulls omplirà si ampliem el text a mida 18. Comprova-ho. Un cop vist el que surt fes un escrit amb les teves impressions i conclusions sobre aquesta activitat. Entre elles es pot demanar que busquin una generalització o justificació del problema

19 de març de 2012

Contes matemàtics a la xarxa


Mati y sus mateaventuras, és una sèrie de contes curts escrits per la Clara Grima Ruiz i il·lustrats per la Raquel Garcia Ulldemolins. La temàtica d’aquests contes és matemàtica i el motiu per parlar d’aquesta sèrie en aquest bloc de TICs* és que aquests contes estan disponibles únicament per llegir online.
Fins al moment hi ha publicats 19 números d’aquesta col·lecció:
  • El 1 nunca fue un soldado
  • El mago de 2
  • Con 3 esquinitas de nada…
  • Te doy Π besitos
  • Dame 4 colores y pintaré el mundo
  • El oro estaba escondido en una estrella de 5 puntas
  • Media docena son 6 huevos
  • 7 puentes para un sólo paseo
  • Porque 8 no es siempre el doble de cuatro
  • Y con Plutón serían 9
  • ¡Nos han puesto un 10!
  • 11 para la gloria
  • Las 12 uvas ¿de la suerte?
  • Y después del ocho, viene el 13
  • ¿Gauss cumple 14 años?
  • 15 sombreros, blancos y negros.
  • Una constelación con 16 estrellas
  • ¡Más de 17 formas de ocultar un secreto!
  • 18 monedas de chocolate
Podeu començar per qualsevol, però si voleu un suggeriment, jo crec que ¿Gauss cumple 14 años? dóna una bona idea del que us trobareu en aquests contes.


Les quatre imatges d’aquest post procedeixen de http://pequenoldn.librodenotas.com/matiaventuras/
* Aquest post és còpia del que vaig escriure per al bloc Amics de les TICs de l'Escola Sadako

14 de març de 2012

Abans de π


L'altra dia vaig trobar...
 
L'altra dia naufragant, més que navegant, per you tube vaig trobar un vídeo, no gens engrescador, però interessant per el que tractava anomenat més o menys "Mètode del càlcul de l'àrea del cercle a Egipte" en la que presentava una manera de calcular-la força enginyosa. 

El mètode consistia en calcular l'àrea d'un octàgon obtingut a partir del quadrat circumscrit a la circumferència i dividit en 9 quadrats (veure figura) d'àrea 1/9 de la del quadrat gran. 


Calcular l'àrea del octàgon en relació al quadrat que el conté es redueix a fer una suma de fraccions de resultat 7/9. Aquest era el mètode amb el que els egipcis calculaven l'àrea del cercle: multiplicant el quadrat del seu diàmetre per 7/9.

El mètode es enginyós i si ara "fem números" i comparem el grau d'aproximació aconseguit comparant-lo amb el càlcul a partir del des càlcul utilitzant π, ens trobem amb que l'error és mínim (de l'ordre de les centèsimes) veient els problemes que normalment es fan en aquestes edats.

M'agrada  aquesta idea, sobretot de cara a Primària, ja que normalment per presentar π (el primer nombre amb nom propi a Primària i a sobre irracional), per molt que mesurem la longitud d'objectes "rodons" amb cordes i dividim pel diàmetre, per trobar la relació entre ells, qui més qui menys acabem fent un "salt" més o menys com aquest "veieu com s'acosta molt a 3... doncs és 3,14 (quan jo era petit era 3,14 16). M'agrada la idea de calcular l'àrea del cercle així ja que és una manera més intuïtiva de buscar-la, i que a més implica un treball conceptual d'unitats de superfície i fraccions.

Consulta a l'oracle: una relació epistolar
De totes maneres em faltava ampliar  informació, i una bona sortida en casos com aquest és escriure al bon amic, el mallorquí Pep Lluís Llompart per fer-li la consulta. La seva resposta no es va fer esperar i finalment crec que més que agrair la seva col·laboració, és millor reproduir la conversa.

6/03/2012
Hola Pep:
"Valtros" els mallorquins que ho sabeu gairebé tot  entre els tres que conec, em podríeu informar. oh gran oracle per a solucionar els meus dubtes?
Vaig veure en un post fa un temps el càlcul de l'àrea d'un cercle, que l'autor l'associava als egipcis i en la que la figura dibuixada és com la que t'envio. He mirat coses però no se on trobar més informació.
7/03/2012  
Bon vespre David,
Després d'encendre encens, deixar la ment en blanc i invocar  l'Horus, m'ha estat revelat el següent:
En el llibre de Richard J. Gillings, Mathematics in the time of the Pharaohs (Dover editions), molt recomanable fins i tot per als que sabem poquet anglès com jo, afirma que el problema que cites és el núm. 48 del papir Rhind. Te pas una transcripció del papir del mateix Gillings.Ara m'ho mir amb més calma, o directament te fotocopiaré algunes pàgines.
Salut oh Barbut!
Pep Lluís sense alís (Vitex agnus-castus)
PS: "Valtros" em sona més eivissenc. Per aquí, "voltros"
Una mica més tard va arribar un segon mail

Ara veig que realment el tema afecta dos problemes del papir del Rhind:
Diu Gillings
Problema 50: com trobar l'àrea d'un cercle.
A partir d'un exemple (ja sabem que no tenien àlgebra simbòlica) el que ens diu és que per calcular l'àrea es pren el diàmetre, se li resta la novena part, i es fa el quadrat de la resta.
D'aquesta manera, l'error comès entre l'àrea calculada i la real és de 0,6% per excés. Percentatge que podem atribuir a Pi.



Però realment l'octàgon que cites és al problema 48. Te pas les imatges que surten al llibre d'en Gillings.

Salut,
Pep Lluís






Cloenda i proposta
Calcular a classe l'àrea d'un cercle "abans de π" és fer veure als alumnes que les coses necessiten el seu temps, que va haver de passar molt temps per trobar aquesta senzilla "fórmula" i si ho fem a Secundària parlar de π com a exemple d'irracional és una bona presentació.
Desitgem que passeu un bon 14 de març, dia de π de la manera més divertida possible, i si voleu obrir alguna ampolla no oblideu triar un estri adient al dia, que el bon amic Joan Jareño ens va fer arribar fa uns quants dies.

clicar imatge per accedir a la pàgina 14/03/2012

Bon dia de π! tot i que als partidaris de "Tau" no els hi farà massa gràcia.

10 de març de 2012

Vols ser milionari...comptant cares?

Seguint en el món dels jocs, en presentem un de televisiu: "Vols ser milionari?" El vàrem trobar a Mathplayground.com i proposa una "partida" en la que les preguntes a formular són de l'àmbit matemàtic. Disposa de totes les ajudes del programa televisiu: el comodí del públic, el de meitat i meitat i el de consultar l'opinió de l'expert. Jugueu-hi una estona. Cal dir que cada cop que s'obre presenta preguntes diferents.
Per accedir al joc, clicar aquí. Comprovat el 5/03/2012
Volem remarcar que contestar un test d'elecció múltiple, genera unes estratègies diferents que poden ser força interessants, ja que incorpora una idea poc treballada: la de descartar solucions no possibles. Les "Proves Cangur" en són un bon exemple i un bon banc de dades per a consultar.

Aspectes del joc que ens agraden
Participar en aquest concurs implica que els concursants, en aquest cas els nostres alumnes, han de pensar les coses dues vegades abans d'actuar, actitud força positiva, per cert.  No com en altres jocs d'ordinador que "van provant botons" fins que l'encerten. En aquest joc, quan t'equivoques no solament s'acaba la partida, sinó que pots perdre diners que ja tenies guanyats: això implica saber retirar-se a temps i a més, gestionar els comodins amb prudència. Per a qui no conegui el joc, heu de saber que existeix la possibilitat de demanar tres ajudes (o comodins) que es poden fer servir només un cop cadascun: demanar al públic quina solució agafaria, demanar que s'esborrin dues solucions falses i així facilitar la tria o demanar a un expert, que està a l'altre costat del telèfon, que et doni la solució.

Experiència a classe de 2n d'ESO: poliedres
A partir d'una plantilla buida: un PowerPoint creat per Mark E Damon, que us permet simular el joc "Vols ser milionari?" amb les vostres pròpies preguntes. La professora/presentadora va passant el Power Point i els alumnes/concursants van contestant. En aquest cas, la classe pott ser col·lectiva i es pot organitzar un grup en que cada alumne respon una pregunta. La gestió dels comodins es pot organitzar de la següent manera: quan es demana el comodí de meitat i meitat la professora elimina dues de les opcions falses. El comodí del públic, es pot simular fent aixecar la ma als companys de classe demanant successivament: "qui contestaria a, b, c, o d?" i comptant les mans. Finalment el paper de l'expert l'ha de jugar algun alumne que qui contesta cregui que sap la resposta correcta.

Us presentem un exemple fet a l'Escola Sadako de Barcelona, com a cloenda del tema "cares, arestes, vèrtexs i el teorema d'Euler". Si us el voleu descarregar entreu a Slideshare (clicant dos cops a sobre la presentació) on trobareu el botó per fer-ho. Si algú dissenya un altre PowerPoint del joc o demana als seus alumnes fabricar-ne un com a recull final d'un tema, ens agradaria veure'l.

 

3 de març de 2012

Les definicions matemàtiques i el joc del tabú

Segurament estem d'acord en que aprendre coses de memòria en un moment en que tenim a l'abast Google, Wikipedia, etc ha perdut molta importància. Té sentit preguntar-nos, per tant, quin és el paper que han de jugar les definicions en la classe de matemàtiques? Nosaltres creiem que el paper ha de ser el mateix, sobre tot perquè encara que no existís Internet, la importància de treballar les definicions matemàtiques no ha passat mai per aprendre a recitar-les de memòria.

Algunes característiques de les definicions matemàtiques:
  • Són necessàries. Quan resolem un problema en que intervé un concepte matemàtic la majoria de les vegades no fem servir la seva definició (per dir que 17869 no és un múltiple de 5 no fem la divisió entre 5 i verifiquem que el residu és diferent de 0 ni per identificar si el gràfic d'una funció és continua no recorrem a epsilons i deltes). El que fem servir són imatges visuals, propietats, repertoris d'exemples i no exemples o procediments que tenim associats al nom del concepte i amb això en la major part de les situacions en tenim prou. El paper de la definició és vetllar per la coherència de tots aquest coneixements que posem en joc en fer matemàtiques. 
  • No són úniques. Es pot definir rectangle de moltes maneres diferents (quadrilàter amb quatre angles de 90º, quadrilàter amb tres angles rectes, quadrilàter amb diagonals iguals que es tallen al punt mig, paral·lelogram amb un angle recte, etc) i no n'hi ha cap més correcte que les altres des d'un punt de vista matemàtic. Això no treu que nosaltres, com a mestres, no tinguem preferències estètiques o didàctiques per treballar amb una en lloc de les altres.
  • Són convencionals. Segons totes les definicions anteriors els quadrats són casos particulars de rectangles, però sabem que un rectangle es pot definir també de manera que que exclogui els quadrats (mirar definición de "rectángulo" en el "Diccionario de la Real Academia Española de la Lengua"). La qüestió és que, malgrat que és possible definir així un rectangle, des de les matemàtiques preferim aquelles que relacionen jeràrquicament els quadrats amb els rectangles.
Una bona manera de treballar les definicions a l'aula creiem que és el Joc del Tabú: una idea que vam llegir a un post del bloc "Things I Wish I Knew Earlier About Teaching Maths" (trobo fantàstic aquest títol: Coses que m'hagués agradat saber abans sobre l'ensenyament de les mates)

photo credit: bigbirdz via photopin cc

Només d'imaginar tots els coneixement que s'han de posar en joc quan hem de definir "nombre primer" sense fer servir  la paraula "divisor"ens venen ganes de preparar unes targetes i portar demà mateix el joc a l'aula. Si ens envieu les vostres propostes podem fer una base de dades comuna i "editar" un conjunt de fitxes per compartir, què us sembla?

Aquí van dos exemples:

El següent pas, després de jugar amb aquestes fitxes fetes per mestres, és proposar als alumnes que siguin ells qui dissenyin les fitxes. Al post del bloc "Things I Wish I Knew Earlier About Teaching Maths" esmentat abans,  hi ha un enllaç a la descripció d'una classe organitzada al voltant d'una proposta de disseny de fitxes per part dels alumnes.