25 de febrer de 2012

Resta portant-ne (III): construïm l'algorisme

Comptar diners
La utilització de monedes d'1€ i bitllets de 10 i de 100 és un context que pot actuar com a model estructurador d'estratègies emergents per sumar i restar amb els nostres alumnes. Tot i que el títol parla de resta portant-ne començarem per presentar l'estratègia de descomposició aplicada a la suma per posteriorment passar a la resta.

      photo credit: Anvica via photopin cc
 
En el cas de la suma: si volem saber quants diners tenim en total entre dos moneders, un d'ells amb 35€ i l'altre amb 48€, el que farem serà, primer, ajuntar els bitllets de 10 i comptar-los, després, ajuntar les monedes i finalment agrupar o bescanviar si és que passem de 10. Aquest procés, expressat simbòlicament, seria el següent.

30+40 = 70
5+8= 13
70+13 = 83

El alumnes i els seus registres (Que parlin ells!)
Cal dir que els intents inicials dels alumnes de primer de Primària, no són, ni de bon tros, expressats en notació simbòlica, com la que figura aquí dalt, sinó que responen a la necessitat de l'alumne de registrar els nombres mitjançant icones per poder comptar-los.
Per exemple: per sumar 25+15 l'alumne registra les desenes per palets i les unitats per punts, agrupant primer i comptant posteriorment, per finalment posar el resultat on toca.
Un model posterior de registre, aquest ja més proper al nivell simbòlic exposat abans, és el que es mostra a la figura següent on per sumar 45+29 s'ha fet:

Estratègia de descomposició
L'estratègia que utilitzem s'anomena estratègia de descomposició. Fixem-nos que aquesta estratègia fa transparent el procediment: per sumar les desenes del 45 i el 29 fan 40+20, què és el seu valor real, cosa que l'algorisme estàndard "amaga" en fer "4+2", contradient així el treball sobre el concepte de desena.
Aquesta (la de amagar el valor posicional dels dígits) és una de les raons per la qual pensem que cal endarrerir la presentació dels algorismes estàndard, i resoldre els problemes propis del nivell amb l'estratègia de salts, comentada anteriorment en el post resta portant-ne (II) o de descomposició.

Un registre que ens acosta a l'algorisme
El format final al que arribem en l'estratègia de descomposició és el que apareix aquí a sota. Aquest model ens facilitarà establir connexions posteriors amb l'algorisme estàndard. Dit d'una altra manera: ens permetrà construír-lo, enlloc de justificar-lo que és el que fem actualment (en el millor dels casos)

En el "vídeo" que trobeu a continuació podeu seguir aquest procés.

Estratègia de descomposició i resta
Com establir un procés que lligui les estratègies de càlcul amb 'algorisme:



Si no presentem prematurament l'algorisme estàndard, si fem que els alumnes resolguin els problemes de restar utilitzant estratègies diferents de la de "aplicar l'algorisme", els alumnes aniran avançant de manera segura fins a la porta de l'algorisme estàndard ja que representarà solament un canvi de registre més "econòmic".

Volem destacar que el procés explicat ens porta cap a un dels algorismes de la resta portant-ne: el que "torna" la que es porta a dalt, algorisme que no és el que s'utilitza normalment al nostre país (però si a molts d'altres països: anglosaxons i sud-americans, per exemple), però no passa res, el fan seu i l'utilitzen amb normalitat.

Comentari general
Hem parlat solament de restes de dues xifres ja que d'entrada no cal anar més enllà, ja que la dificultat "en porto una" ja hi és present i un cop entesa solament cal aplicar-la a quantitats més grans; el pas no és immediat i cal discutir-lo.

Cal veure què passa quan la resta és entre nombres de tres xifres o un de tres i un de dues. Arribats aquí proposem plantejar-ho als alumnes com a una investigació: "sabem restar nombres de dues xifres, però i de tres: com es fa? Veurem que cal solucionar tres casos: que el "conflicte" (de portar-ne) estigui en la columna de les unitats, en la de les desenes o en la de les unitats i les desenes. Caldrà trobar el camí més eficaç i buscar-ne un registre.

En tot cas l'objectiu consisteix en aconseguir que els alumnes puguin solucionar problemes de resta, utilitzant l'algorisme estàndard o bé un altre. Un exemple d'això el tenim als "objectius finals de l'escola holandesa" citats per Heuvel-Panhuizen, M. en "Educación Matemática en los Paises Bajos" pàgina 37, on l'únic paràgraf dedicat al algorismes obre aquesta doble possibilitat
"Pueden aplicar los algoritmos estándar, o variaciones de éstos, a las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división en situaciones simples de contexto"

Finalment: cal preveure que els pares (que resten diferent) es poden posar nerviosos, sabent-se posseïdors d'una eina curta i fàcil com és l'algorisme estàndard, i que vulguin "accelerar al seu fill" en aquesta mecànica. però tenim tenim eines per justificar la nostra proposta: a l'algorisme que els pares coneixen és molt difícil arribar-hi per construcció, ja que la propietat emprada és molt més complicada. Una altra solució seria no posar mai de deures per casa, una resta portant-ne! (i no fem broma, és una proposta).
Posts relacionats Resta portant-ne (I)Resta portant-ne (II) Resta portant-ne (IV)

Visualització amb cubets (III)

La Conferència Nacional d’Educació estableix com a una competència per a l’àmbit matemàtic: "Utilitzar sistemes convencionals de representació espacial (maquetes, plànols, mapes) per obtenir o comunicar informació relativa a l’espai físic" (Debat sobre el sistema educatiu català. Conclusions i propostes, pàgina 228). Per una altra banda, Marc conceptual per a l'avaluació PISA 2006 en la seva pàgina 177: "La comprensió conceptual de les formes inclou també la capacitat de prendre un objecte tridimensional i passar-lo a un pla bidimensional i a l’inrevés, encara que l’esmentat dibuix tridimensional es presenti en dues dimensions"

A més, a l'esmentat document sobre PISA 2006, s'explicita que el següent problema exemplifica la frase citada:
Tenint en consideració la importància donada a aquest aspecte en les dues publicacions anteriors, vam proposar, com a deures, aquesta activitat a uns alumnes de 4t d'ESO. Òbviament, els alumnes sabien que no era suficient donar com a resposta que podia haver entre 6 i 20 cubets sinó que havien d'explicar com s'havien de disposar els cubs per donar pas a aquestes vistes. En proposar-la, pensàvem que la dificultat la trobarien en reflectir en el seu informe de resolució del problema que la resposta no era única, i sobre tot, en establir un màxim i un mínim per al nombre de cubs utilitzats.

La fletxa en aquest cas indica la vista lateral. Imatges obtingudes a partir de l'applet
 Building with blocks del que ja vam parlar al post Visualització amb cubets (I)

Però ens vam trobar amb la sorpresa de la diversitat de maneres trobades per aquests alumnes per comunicar les seves troballes.

Alguns alumnes van fer servir la perspectiva cavallera:


Altres van establir sistemes propis de representació, majoritàriament basat en la vista aèria del conjunt de cubs:



Però alguns altres alumnes van utilitzar com a recurs la fotografia per comunicar els seus resultats:

 


     
     

Aquests últims alumnes demostren creativitat en la cerca de recursos per a la comunicació, només cal assegurar-se que això no reflecteixi mancances en relació als sistemes convencionals de representació d'objectes tridimensionals.

Comentari: durant la discussió d'aquesta activitat (resumida per un alumne aquí) molts alumnes van argumentar que la seva resposta per al mínim va ser de 9 perquè consideraven obligat que tots els cubs estiguessin connectats entre sí per al menys una cara. Altres alumnes van argumentar que la seva resposta per al mínim havia estat 7 perquè consideraven obligat que tots els cubs estiguessin connectats entre sí per al menys una aresta.

20 de febrer de 2012

Resta portant-ne (II)

Aquest post és la continuació del primer que vàrem dedicar a aquest contingut mític, anomenat resta portant-ne enllaç. En aquest post ens dediquem a fer  una reflexió sobre la resta en general i la resta portant-ne en particular intentant argumentar que endarrerir la presentació dels algorismes estàndard, utilitzant estratègies més transparents ens dona l'ocasió de fer un treball en profunditat sobre el càlcul de restes, les propietats de les operacions i l'adquisició d'habilitats.

Habilitats bàsiques per a poder resoldre problemes de restar: 14-8
Per poder atacar qualsevol problema de resta cal dominar prèviament les restes de dígits (ex: 9-5) i les de nombres de dues xifres menys nombres d'una xifra (ex: 14-8). Si aquestes restes estan automatitzades tenim gairebé la feina feta.
Un dubte: 14-8 és una resta o una suma inversa? És a dir, com ho calculem? fem 13, 12, 11, 10, 9, 8?  fem 9, 10, 11, 12, 13, 14? feu 14 - 4 - 4? o busquem un nombre que sumat a 8 em doni 14? 
De fet, podríem dir que és el context el que fa que els nostres alumnes comptin endavant o endarrere per calcular: si te'n prenen: compten endarrere i si han de calcular quants en falten: compten endavant.
Pregunta 1: quina de les dues maneres de restar esmentades us sembla més eficaç de cara a prioritzar-la amb els vostres alumnes?
Pregunta 2: 14-8, és una resta portant-ne?

Quan ens tornen el canvi al mercat, restem portant-ne?
Foto treta de catacuina.blogspot.com
Anem al mercat i el que hem comprat en una botiga ens ha costat 26€, paguem amb un bitllet de 50. La botiguera ens torna el canvi dient: "26 i 4 fan 30 i 20... 50" i ens en anem amb els 24€ al moneder. És una resta portant-ne? i si ho és, on deixes la que portes?

Com calcular simbòlicament i registrar el càlculs. Solament existeix l'algorisme per fer-ho?
Més enllà del treball en context i ja entrant en el material estructurat, aquest problema es pot resoldre treballant sobre la línia numèrica (a partir d'ara LNB)

Comptant endavant  50 - 26
L'operació a realitzar és 50 - 26 i si reproduïm el comptatge fet en el context del mercat, la representació seria aquesta: es parteix del 26 i es representa el canvi amb salts i els resultats parcials sobre la línia. la figura representa l'operació ja feta. Per saber el resultat final cal "sumar els salts"
Comptant endarrere 50 - 26
En aquest es parteix del 50, el problema associat no seria tant el de tornar canvi, com el de pagar 26 i calcular quants euros et queden. Restem primer 20 i després 6. Té l'avantatge sobre l'estratègia anterior en que el resultat final (24) es llegeix directament sobre la línia.
Un exemple general:  66 - 38 = 28
Si el minuend no acaba en zero el procés seria aquest:


Aquest tipus de restes incorporen una dificultat respecte l'anterior. Si ens fixem a la resolució, veiem que per fer 66 - 38 restant primer 30 i després 8 l'alumne fa primer 66 - 30 = 36, però després en lloc de fer 36 - 8, primer resta 6 i després 2. És el que anomenem "el pas de desena". Això ens porta al comentari important: l'ús de models estructurats com la LNB faciliten la feina ja que per una banda ajuden a pensar, ja que permeten registrar resultats parcials i descarreguen la carga a la memòria, i per altra banda ajuden a comunicar.
Aquest segon punt ens obra la porta a la discussió d'estratègies i a valorar l'eficàcia de cadascuna, ja que els alumnes poden comparar els seus processos en tant que han estat registrats.
Finalment, i de cara als mestres, ens informa sobre el nivell de cada alumne ja que al costat d'una resolució, com la de la darrera imatge, ens en podem trobar una altra que per anar del 66 al 36 ho farà en tres salts de 10 enlloc d'un de 30. És el moment de parlar d'eficàcia i de fer treball entre iguals per millorar-la.

Quan restem sobre la recta numèrica, restem portant-ne?
Utilitzant aquesta estratègia (anomenada "de salts")  es poden resoldre la majoria de problemes que es plantegen en començar l'aprenentatge dels problemes que impliquen restes (2n de Primària) treballant, a més, aspectes molt més importants com poden ser les descomposicions de nombres i la comprensió del sistema de numeració decimal. Solucionem restes que si les féssim utilitzant l'algorisme serien portant-ne, però aquí les fem canviant de dificultat: el pas de desena (molt més natural i transparent)

Plantegem-nos quin és l'objectiu
Amb això de la resta portant diríem que confonem  el concepte amb l'eina. Però l'objectiu principal que els nostres alumnes sàpiguen solucionar qualsevol problema "de restar".
Restar portant és una dificultat específica lligada a l'execució de l'algorisme i malauradament confondre saber restar amb saber fer l'algorisme ens desvia cap a una dinàmica d'aprenentatge gens engrescadora i molt poc "matemàtica", per cert.
Així doncs, si el nostre objectiu és el de saber resoldre els problemes. Volem que els nostres alumnes es puguin enfrontar a tots els problemes que apareixen en els llibres de text de segon, utilitzant estratègies més transparents com pot ser per exemple la de salts, presentada en aquest post.
Finalment us convidem a fer un llistat de les habilitats, estratègies, processos i competències  que es "mouen" cada cop que solucionem un problema de restes utilitzat l'estratègia de salts.

El currículum actual
El Departament d'Ensenyament, des de l'aplicació de la LOE, ha desplaçat l'aprenentatge de la resta portant-ne de segon a tercer. Sent conseqüents amb el que hem dit, apostem per que els alumnes sàpiguen solucionar, a segon, qualsevol problema de resta en situació de context i amb la mida de  nombres adequada a l'edat. No sigui que ara passi que en treure l'algorisme no s'ataquin problemes de tornar canvi, per exemple
La resta per descomposició i l'algorisme de la resta portant-ne
Per acabar aquest "paquet" sobre resta portant-ne en breu publicarem un post (el nº III) que tancarà la sèrie on relacionarem el càlcul utilitzant estratègies transparents amb l'algorisme estàndard de la resta.
Posts relacionats Resta portant-ne (I)Resta portant-ne (III) i Resta portant-ne (IV)

19 de febrer de 2012

Entrades al Scoop.it (I)

Com segurament ja heu vist a la banda dreta del vostre navegador, el PuntMat té un espai al Scoop.it on anem recollint els blocs que seguim, les revistes que llegim, els vídeos que ens agraden, els applets que fem servir.  A continuació fem una selecció de les últimes entrades que hem fet en aquest espai:


  • A l'apartat de pàgines web hem incorporat els enllaços a dues fantàstiques biblioteques d'applets: la del Proyecto Gauss i la de la Biblioteca Nacional de Materiales Virtuales.
  • A l'apartat de blocs hem fet un enllaç al bloc de Don Steard: Median i un altre al de la famosa pàgina Cut the Knot
  • A l'apartat de vídeos hem afegit un enllaç al canal de vídeos que té Geogebra al Youtube i un enllaç a la pàgina del Cristóbal Vila on hi ha entre altres el vídeo matemàtic estrella de l'última setmana, on apart del vídeo següent hi ha un accés a més informacions, entre elles  l'específica de Matemàtiques

En breu associarem l'scoop.it al twitter. Si sou seguidors del twitter del Puntmat  rebreu informació immediata cada cop que hi pengem alguna cosa.
Una altra opció és que us podeu fer seguidors de l'Scoop-it: un cop esteu dins premeu "follow". El seguiment és particular per a cada una de les pàgines.

14 de febrer de 2012

Matemàtiques kitsh

Com no podria ser d'una altra manera no podíem deixar passar una data tant significativa en el nostre calendari com és el 14 de febrer, dia dels enamorats: hem buscat un parell de propostes per anar augmentant  la nostra secció d'objectes de regal.
fotografia treta de http://www.unoaerre.it/es
En primer lloc, els que ja tenim una edat, recordem "el regal" per antonomàsia, quasi canònic, anomenat "la medalla del amor". Utilitzava signes matemàtics per formular una successió (monótona?) creixent,  en referència a la quantitat d'estimació lliurada dia a dia pel qui feia el regal" definida per la frase "+ que ayer - que mañana". La posem en castellà ja que el nostre documentalista no ha sabut trobar la versió catalana. Encara que si que, com mostra la fotografia, la podeu trobar en italià.

El segon obsequi és dels nostres dies i presenta certes restriccions respecte el regal anterior, ja que implica que la persona que rep el regal ha de ser informàtic o informàtica. 

"San Valentín: camiseta binary love para el amor geek"
La pàgina de compradicción ens ofereix aquesta samarreta si el teu "amor" és  "geek". Us deixem amb la seva explicació.

El amor no discrimina ni por edad, ni por raza, ni por posición económica, ni por estilo de vida. El amor es para todos y San Valentín nos recuerda una vez al año lo hermoso de estar enamorados y nos invita a festejar ese sentimiento. Así, los geeks también se enamoran y, quizás, sólo ellos entiendan ciertos códigos. Claro, no hablo de los códigos del amor, sino de los códigos binarios.

Es por ello que esta camiseta llamada Binary Love es el obsequio perfecto para los geeks románticos que pretendan demostrar su amor así. La misma cuenta con un corazón en el pacho que debe comenzar a leerse desde el centro hacia la derecha. ¿Qué dice? 01101100011011110111011001100101. ¿Qué significa ello? Pues un traductor de binario a ASCII nos dirá que ello quiere decir Love (Amor).

Ja posats en aquest ambient, no ens negareu que l'explicació "mola", oi?
Finalmet i perquè veieu que enaixò del 14 de febrer matemàtic no estem sols, mireu-se la pàgina de "Gaussianos" dedicada al 14F

13 de febrer de 2012

La graella del 100

La gaella del 100 consisteix en un quadre de doble entrada que conté els nombres de l'1 al 100, i que és un dels 10 materials per a l'ensenyament de les Matemàtiques triats com a "necessaris" per l'Espai Jordi Esteve. Aquí podeu veure la fitxa de la pàgina de l'EJE referida a la graella del 100, hi trobareu informació i recursos complementaris per treballar amb ella. 

La il·lustració de sota presenta dues graelles: la més normal a l'esquerra que és la que comprèn els nombres de l'1 al 100, mentre que a la dreta veieu la del 0 al 99, força utilitzada a Cicle Inicial ja que classifica els nombres de la "mateixa desena" a la mateixa fila, el que facilita molt el treball de l'aprenentatge de l'escriptura del nostre sistema de numeració.

La construcció de la graella amb alumnes de primer: una lliçó

La graella del 100, porta amagades moltes coses: les regularitats d'una taula de doble entrada, les seqüències en vertical (comptar de 10 en 10) i en horitzontal (comptar d'un en un), etc. Per això és molt important construir-la amb els nostres alumnes. A l'apartat de lliçons de la pàgina de l'EJE, us presentem un exemple de com va portar-ho a terme la Maria Roca: en un paper d'embalar sense quadricular, els alumnes desprès de classificar per "famílies" alguns nombres entre 0 al 99, els col·loquen en l'espai on haurien d'anar, deduint poc a poc les lleis de joc de la graella.

Dictat de nombres sobre retalls de Graella: quin nombre va aquí?

Una altra activitat, també per primer, que us presentem destinada a conèixer a fons les lleis de joc de la graella del 100, consisteix en dividir la graella en peces com si fos un  puzle i demanar als alumnes que trobin els nombres que falten en una "peça" d'aquest puzle.

A la imatge veiem que la mestra ha dibuixat una peça a la pissarra, ha anotat en blanc un nombre (el 8) en una de les cel·les i una creu en una altra (indicant que aquesta cel·la no es podrà omplir). Dos alumnes han sortit a la pissarra i han anotat dos dels nombres corresponents a cel·les que la mestra havia deixat buides (el 10 i el 20). La fotografia reflexa el moment en que un tercer alumne havia escrit el 29 i s'ho estava pensant. Nota: la part de dalt de la figura reprodueix  la pissarra de la fotografia inferior per facilitar així la lectura dels nombres que apareixen en la fotografia inferior.


Comentaris sobre el treball individual: no és gens fàcil! 
Després de no pocs debats, es va passar al treball individual. Tot i que les discussions col·lectives van ser molt riques, l'activitat final individual va posar de manifest que un cert nombre d'alumnes tenien dubtes importants.
A la imatge de la dreta es pot veure la fitxa de una alumna que, si bé a la discussió col·lectiva les seves aportacions eren encertades, treballant a la fitxa va trontollar, posant de manifest les errades típiques de l'activitat:
* En el primer exercici no segueix la sèries de les desenes, posant un 22 enlloc d'un 12
* En el segon exercici fa la fallada típica de no "recordar" que és un tros de graella, i el que fa és, després d'imaginar el 10 del costat del 9, baixar un pis i continuar escrivint l'11 enlloc del 17.
* Li passa el mateix en escriure el 8 al tercer exercici, tot i que el 23 si que és correcte.





Aquesta activitat connecta clarament amb els applets dissenyats per Anna de La Fuente amb Scratch

https://scratch.mit.edu/projects/99711676/

https://scratch.mit.edu/projects/99812272/



A la proposta That number square! del projecte NRICH es pot veure un vídeo sobre alumnes fent un dictat sobre una graella buida. Podeu accedir directament al vídeo esmentat clicant a sobre la imatge de l'esquerra.





Utilitat del treball sobre la graella
Hem presentat un parell d'idees per treballar sobre la graella, però volem destacar les possibilitats que ofereix treballar sobre un material estructurat com aquest, enumerant algunes de les habilitats o continguts implicats en la tasca realitzada
  • Estudi de patrons i regularitats tant en la seva construcció com en la seva anàlisi.
  • Alineació dels nombres que tenen la mateixa xifra de desenes o la  mateixa xifra de les unitats
  • Comptatge d'1 en 1 endavant i endarrere i treball del número anterior i posterior
  • Comptatge de 10 en 10 endavant i endarrere.
  • Primers contactes amb les taules de doble entrada.

11 de febrer de 2012

Resolució d'equacions amb una balança

Els models més utilitzats per donar significat a la relació abstracta entre símbols que estableix una equació són: el model aritmètic, la balança i el model geomètric (B.A. van Amerom presenta aquests tres models en la seva tesi: "Reinvention of early algebra. Developmental research on the transition from arithmetic to algebra" Utrecht University, 2002).

En un post anterior d'aquest bloc (Resolució d'equacions amb "cover up") vam referir-nos a l'ús del model aritmètic per treballar les equacions i vam presentar un applet relacionat amb aquest model. En aquest post farem el mateix amb el model de la balança.

Aquest model es basa en la representació d'una equació com l'equilibri d'una balança de dos plats sobre els quals hi ha objectes de pes conegut i un o més objectes iguals però de pes desconegut que volem conèixer.
• Per representar en aquest model l’equació 3·x + 2 = x + 8, en un dels plats de la balança, posem tres paquets iguals però de pes desconegut i una pesa de dos quilos i en l'altre plat posem un paquet igual als altres tres i una pesa de vuit quilos, de manera que la balança queda equilibrada.
• Per donar sentit a cada pas de la resolució d'una equació com aquesta ens aprofitem de la pròpia balança sobre la qual es troben els paquets i les peses: traiem primer dos quilos de cada plat romanent la balança equilibrada, traiem un paquet de cada plat sense que s'alteri l'equilibri i per últim, eliminem la meitat del contingut de cada plat, resultant que en un plat queda només un paquet i el seu pes és de 3 quilos.



Un applet que reflecteix a la perfecció aquest model és la "Balanza Algebraica" inclòs en la "Biblioteca de materiales manipulativos virtuales" de la Universitat de l’Estat de Utah. La major limitació que té aquest model és la dificultat per representar equacions amb coeficients negatius o amb solucions negatives. Però la “Biblioteca de materiales manipulativos virtuales” proposa una solució per aquesta limitació amb una altra aplicació interactiva: "Balanza Algebraica – Negativos".


Si bé és cert que aquesta estratègia només permet resoldre equacions de primer grau de la forma ax + b = cx + d, les transformacions realitzades sobre els plats de la balança que permeten passar d'una equació a una altra equivalent, es poden generalitzar. D'aquesta manera es poden continuar explicitant les transformacions realitzades entre una equació i una altra més senzilla com si sempre s'estigués davant d'una balança. Es poden així abandonar regles mnemotècniques buides de sentit i provocadores de greus errors com són "si està sumant passa restant" o "si està dividint passa multiplicant".


Els applets dissenyats pel ja esmentat Freudenthal Institute: "Solving equations with balance-strategy: demo" i “Solving equations with balance-strategy: game” estan impregnats de la idea del paràgraf anterior. La diferència entre els dos applets rau que mentre que en el primer el treball de l'alumne consisteix únicament a indicar a l'ordinador que transformació vol realitzar, en el segon a més de donar aquesta ordre ha d'indicar el resultat d'aquesta transformació.

La possibilitat de treballar amb aquests dos applets permet al mestre separar el treball de manipulació algebraica, amb el qual molts alumnes tenen dificultats, del treball de transformació d’equacions pròpiament dit. L’ús d’aquests applets també suggereix una manera d’enregistrar el raonament que hi ha darrere de la resolució.
Aquesta imatge ensenya com una alumna enregistra la resolució d’una equació de primer grau després d'haver utilitzat els applets descrits.
Un altre exemple en el qual es veu que l’alumne en escriure “-2kg” està pensant en termes de l’applet “Balanza Algebraica”
Un exemple que involucra parèntesis i en el qual es veu com l’alumna fa servir les mateixes icones que l’applet “Solving equations with balance-strategy”, en particular, una icona amb dos parèntesis tatxats per indicar la propietat distributiva, o sigui, la simplificació de l’expressió algebraica
Un exemple que involucra denominadors en el que novament s’aprecia l’ús d’icones inspirades per l’applet: dos quadrets amb una clau a sota per indicar que combinarà termes semblants.
Els alumnes van conservar les pràctiques aquí esmentades en les sessions dedicades a l’aplicació d’equacions per resoldre problemes en context. En les següents imatges es pot apreciar com es manté la manera d’enregistrar el procés de resolució d’equacions:

Un exemple de com l’estratègia és aplicada a la resolució de problemes
Amb els temps alguns alumnes ja han deixat de representar les fletxes per indicar cada transformació. Aquesta modificació es considera natural en la mesura que tota bastida es desmunta quan l’obra ja està acabada.

4 de febrer de 2012

Applets, fraccions i mitjons

L'appet del mitjons
Us proposem que feu jugar als vostres alumnes amb aquest applet, a classe o a casa com a deures, i poder discutir a posteriori com s'ho han fet per decidir on han de posar cada mitjó.
Anar a l'applet 2/02/2012
Jugueu-hi vosaltres una estona. Com que no és complicat de càlcul, us recomanem que si ho esteu fent tot bé, cosa que no dubtem, us equivoqueu expressament un cop per veure què passa. També val la pena que veieu quines càlcul utilitzeu per a jugar (realment se n'utilitzen un munt).

I si no tenim ordinador?
Comencem per dir que un dòmino és un excel·lent material a l'abast que pot ser un bon recurs per a la a classe de Matemàtiques. En aquest cas, per a treballar fraccions ja que podem entendre que la fitxa que conté el 2 i el 4 dóna lloc a dues fraccions, depen com la posis: 4/2 i 2/4

A patir d'aquí, podem reproduir l'applet dels mitjons: es posa una fitxa, a l'atzar i a partir d'aquí es van aixecant les altres i col·locant-les en ordre d'esquerra a dreta. En aquest cas podem jugar en l'interval entre 0 i 1, com en l'applet (triant sempre el nombre més gran com a denominador) o en el (0,6) si triem la possibilitat de girar-les.
També podem fer construir les fitxes en cartolina per jugar amb els mateixos valors que presenta l'applet (treballa amb denominadors més alts). Presenta un inconvenient respecte a l'applet: com controlar les equivocacions. Una proposta és fer que els alumnes, en cas de discussió sobre un fitxa tirada, ho comprovin amb la calculadora a partir de les expressions decimals.

Juguem al dòmino
En Fernando Corbalán, un dels divulgadors matemàtics més productius que tenim a prop, ens va explicar un joc que lliga perfectament amb el tema que tractem. Planteja una variant del joc en el que, un cop repartides les fitxes, enlloc de posar el nombre que coincideix cal col·locar la fitxa a la dreta si és més gran, a l'esquerra si és més petita i a dalt o a baix si és equivalent. Tres moments de la partida, en la que després de començar per 2/3 els jugadors han anat posant les seves fitxes.
Ordenem fraccions
Per acabar, presentem unes reflexions sobre ordenació de fraccions, partint del que podrien ser preguntes d'avaluació i respostes desitjades
  1. Si per ordenar dues fraccions amb el mateix numerador com per exemple 2/5 i 2/6 els alumnes redueixen a comú denominador per a fer-ho, anem malament, ja que en tenen prou amb el "comú numerador"
  2. Si de manera automàtica ens diuen que 2/5 > 2/6 no ens podem quedar aquí: demanem que ho justifiquin (si reparteixo 2 pizzes entre 5 persones me'n toca més que si la reparteixo entre 6, o bé la resposta més usual dels alumnes "si la reparteixo en 5 parts i n'agafo 2, és més gran que si la divideixo en 6 i n'agafo dues, ja que són parts més petites")
  3. Ordena 12/24 i 13/25. Quin és el més gran? (13/25 perquè 12/24 és 1/2 i 13/25 és més gran que 1/2)
  4. Si els alumnes apliquen la fórmula de multiplicar en creu per ordenar dos fraccions, una pregunta a constestar seria: per què funciona? qué és el que fem, en el fons?
  5. Per ordenar 3/5, 4/12, 6/7, 14/28, 6/14, 12/46 i 7/28, sembla lògic fer connexions, simplificacions, passar a expressió decimal amb la calculadora i ordenar després. El que passa és que normalment no presentem cap problema que ho impliqui.
  6. Per trobar una fracció entre dues donades, es poden sumar numeradors i denominadors. Proposem que ho justifiquin?
Per acabar una pregunta que en Francesc Esteva em va suggerir per als alumnes: després de preguntar quin era el següent de 5, de 8 de 256 etc, preguntar quin és el següent d'1/2: una bona manera d'entrar a la idea d'ordenació densa que plantejàvem a la pregunta anterior.

3 de febrer de 2012

Entrades a l'espai Jordi Esteve (II)

A continuació fem una selecció de les últimes entrades a la pàgina de l'EJE 

Què hi ha dintre de l'ampolla?


A l'apartat de l'EJE "materials per treballar la probabiilitat" a l'apartat "probability kid gran" hem incorporat una lliçó:
"Explicarem als alumnes que dintre de l'ampolla hi ha deu boles, no les podem veure des de fora però sí que podem veure la bola que cau al tap si girem l’ampolla.Volem saber quantes boles hi ha de cada color dintre de l’ampolla" (continua)




Un material nou: torres amagades


nou material, editat per Nathan permet abordar l'orientació en l'espai des de la noció de punt de vista, amb alumnes de cursos baixos de Primària. El joc conté 24 fitxes de problemes repartides en 4 sèries de 6, fitxes amb les solucions, 6 bases de plàstic i 24 torres: 12 torres grans de 2 colors (verd i vermell), 12 torres petites de dos colors (groc i blau). 

Podeu veure un post anterior a "punts de vista" que utilitza cubets encaixables.

Documentació Geoplà: un llibre de Caleb Gattegno, on line

Hem incorporat a l'apartat de Geoplà (de malla quadrada)  de l'EJE el link a un llibre d'en Caleb Gattegno que tracta del geoplà de malla quadrada i també del circular. Si voleu accedir-hi veient més informació sobre Geoplà a l'EjE cliqueu aquí. La major part de la informació la trobareu a "Geoplans de malla quadrada.


Si ja coneixeu la pàgina del geoplà de l'EJE accediu directament al llibre de Gattegno (en anglès)

Intervenció de PuntMat en unes jornades parlant de materials
A l'apartat "Presentacions" de la secció "Notícies" de l'EJE hem resumit la nostra aportació a les jornades esmentades.
Gener 2012: Taller titulat "Descrivint l'espai amb informació 2D" i exposició de materials en el Zoco de les IV Jornades de Didàctica de les Matemàtiques a les Comarques Meridionals, organitzada per l'APMCM (Associació de Professors de Matemàtiques de les Comarques Meridionals)