Propietat distributiva

En el temari de Matemàtiques de Primària, apareix, en un moment o altre el tema de les propietats: commutativa, associativa i distributiva. Un pensa que el domini d'aquestes propietats és important a l'hora de treballar l'aritmètica, però també que necessiten d'un tractament que parteixi de coneixements anteriors o estratègies emergents dels alumnes davant un càlcul i no, com es planteja molts cops, d'una expressió simbòlica. Posem com a exemple la propietat distributiva

 3 x (4 + 5) = 3 x 4 +3 x 5

Mirem-ho de lluny

Quan arriba (a Primària) el moment "d'explicar" la propietat distributiva, als docents s'ens fa complicat trobar alguna manera de justificar-nos per quina raó cal posar sobre la taula que per fer 3x(4+5), és a dir 3x9, hem de presentar una propietat que "ens complica la vida"ja que 3x4+3x5, vist des del càlcul, és més costós que no 3x9, i de fet, a primera vista té poques aplicacions. Una altra cosa seria a Secundària.

Que parlin ells!
Què entenen els alumnes quan reben aquest contingut?. Us posem un exemple: en Adrià, un dels nebots de PuntMat, un dia. en arribar a casa, ens va dir molt content que la mestra li havia posat un "molt bé" a la feina que havien fet aquell dia, i que era la següent.

Un cop felicitat per la correcció del seus càlculs li varem preguntar: què et sembla que t'ha volgut ensenyar avui la mestra? La resposta va ser "sumes i multiplicacions", no cal cap comentari, oi?

Competències i estratègies emergents
Exemple 1.

Però si ens fixem en el món del càlcul i les seves estratègies, ens trobem hi ha molts alumnes que coneixen i utilitzen aquesta propietat d'una manera funcional. Us presentem un exemple d'un text

Tret de 3x6.mat. Editorial Barcanova

L'alumne utilitzant l'estratègia de descomposició, pensa el 6x16 com a 6x(10+6) per facilitar el càlcul i fer: 6x10+6x6. En aquest cas, l'aparició de l'us de la propietat distributiva pot venir lligada a l'estratègia de càlcul emprada per a solucionar un problema, plantejat en un model adequat (comptar rajoles) que li suggereix la idea de descompondre per calcular.

En quaderns de càlcul holandesos, trobem exercicis com aquest, on es reconeix l'us de la propietat lligada amb la seva aplicació al càlcul.

Rekenrij Groep 6. Werboek

Ens agrada molt aquest model d'activitat ja que centra l'interès en la descomposició que cal fer, i no solament demana un resultat. I ens agrada mentre sigui una manera d'expressar per part dels alumnes el que pensen. El que no ha de passar és que es converteixi en una exercitació que "algoritmitzi aquest procés". Per exemple, ens agradaria veure que els nostres alumnes en fer 3x69, el que aparegués a la bafarada fos 3x70 - 3x1 enlloc de 3x60 + 3x9, cosa que destacaríem com a positiva.

Exemple 2

Davant un problema com: "En Jaume ven capsetes de bombons a 5€ cadascuna. El primer client n'hi compra 4, el segon 3, el tercer 6, el quart 2 i la el cinquè 8. Quants euros ha cobrat? Ens podem trobar amb dos tipus de respostes: els alumnes que fan cadascun dels productes parcials i sumen al final 4x5+3x5+5x5+2x5+8x5 i els que primer calculen el total de capsetes venudes (22) i després multipliquen pel preu de cadascuna. La discussió sobre la validesa de les dues estratègies ens porta de manera natural a parlar de la propietat distributiva. Però cal dedicar uns espai exclusiu del nostre temps a la propietat distributiva, entesa com a una igualtat descontextualitzada entre dues expressions simbòliques?

Una discussió sobre la propietat distributiva pot ser interessant

La nostra resposta sobre la pregunta anterior seria que si, que un cop que aquesta propietat formi part de les estratègies dels alumnes, val la pena dedicar-li un temps. Ens ho podem passar bé analitzant la propietat distributiva i fent preguntes que els facin aprofundir sobre ella com per exemple

• S'han adonat que la diferència bàsica entre les propietats associativa i commutativa amb la distributiva està en que mentre que les primeres es defineixen en l'àmbit d'una sola operació, la distributiva en posa en joc dues?
• La propietat distributiva, funciona també per la resta? 
• Funciona "al revés"? com serà (4+5)x3? i (7-2)x8?
• Sabem que 3x(4+5)= 3x4+3x5, funciona també amb la divisió? És cert també que
•  300:(5+3) = 300:5 + 300:3?
• Potser seria restant?

Per acabar un comentari a l'última pregunta: es comprova ràpidament que no funciona, de totes maneres si l'ordre és posar primer el parèntesi de sumes, com per exemple (48+16):8 = 48:8 + 16:8 aleshores sí que es compleix. Aquest punt ens remet un altre cop a la relació de la propietat distributiva amb les estratègies de càlcul, ja que el procés emprat és el mateix que en la multiplicació: descompondre per calcular. La diferència està en que mentre en la multiplicació la descomposició és sempre del tipus 373 = 300 + 70 + 3, a la divisió cal buscar nombres que siguin múltiples del divisor.

Per cert, aquesta és una bona estratègia de resoldre divisions per una xifra que ens aporta l'ús d'eines molt importants en càlcul: descompondre un nombre en múltiples d'un altre, multiplicar per nombres acabats en zero i a més, treballar en un "ambient de resolució de problemes" fins i tot a l'hora de resoldre una divisió.

Afegim a continuació fotografies d'alumnes de 6è (@escolasadako) explicant les seves estratègies de càlcul per descomposició