21 de novembre de 2011

Joc del Geoplà: definicions i propietats

Repassant, un cop més, una d'aquelles carpetes antigues plenes de fotocòpies per veure què llences, què escaneges o, com normalment passa, què tornes a deixar a la mateixa carpeta fins la propera revisió, hem redescobert aquest joc, proposat per Romberg, Hervey, Moser i Montgomery al 1976.
La proposta és jugar en grups de 2 o 3 alumnes sobre un geoplà isomètric, encara que també es pot realitzar sobre el més conegut de malla quadrada.

Material necessari
  • Un geoplà i gomes elàstiques 
  • Dos daus
  • Paper i llapis per anar apuntant els punts de cada jugador
Instruccions
  • Col·loca la goma al centre del geoplà formant un paral·lelogram
  • Quan sigui el teu torn tira els daus: els dos nombres que surten et donaran les coordenades de la cel·la (veure figura) que porta les condicions que ha de complir la nova figura que has de construir, partint de la que està en aquell moment al geoplà. Has d'intentar passar d'una a l'altre canviant el menor nombre de vèrtexs. Si la figura que hi ha al geoplà ja compleix les condicions, també cal que la canviïs.
Puntuació
  • Quatre punts si solament mous un vèrtex
  • Tres punts si en mous dos
  • Dos punts si en mous tres
  • Un punt si en mous quatre (equival a treure la goma i posar-la de nou)
En acabar, s'anoten els punts i el torn passa al jugador següent. El nombre de voltes aconsellat és de 5, segons els autors.

Comentaris
  • Es pot proposar aquest joc per fer-ho amb tot el grup projectant un geoplà virtual (ja sigui isomètric o de malla quadrada) com els que es poden trobar al NLVM
  • Pot ser aconsellable anomenar un secretari o secretària que reculli el procés del joc dibuixant la figura inicial, anotant la condició que ha de complir la nova figura, dibuixant la figura obtinguda, etc. D'aquesta manera podem seguir el seu treball. Per poder fer això val la pena disposar de paper de geoplà. Us el podeu baixar des de aquí: full geoplà quadriculat o full geoplà isomètric.
  • Aquesta activitat pot inspirar-vos per proposar petits reptes als vostres alumnes, en que partint d'una figura sobre el geoplà han de passar a una altra que compleixi certes condicions, movent la menor quantitat possible de vèrtexs i justificant que la figura obtinguda realment les compleix. Una variant podria ser canviant la consigna "Fes-ho movent la menor quantitat possible de vèrtexs" per aquesta altra: "Fes-ho movent només un vèrtex, movent-ne dos i movent-ne tres. Justifica en cas que no sigui possible aconseguir la figura en alguna d'aquestes condicions".
  • Encara que la proposta original és per a geoplans isomètrics també es pot fer amb geoplans de trama quadrada tal com es veu a la imatge

Trobareu més informació i activitats sobre Geoplà a l'Espai Jordi Esteve, a l'apartat de "geoplans".

19 de novembre de 2011

Un algorisme més transparent per calcular MCD i mcm

No creiem que hagi cap professor de matemàtiques de secundària que no hagi escoltat aquesta pregunta: "Profe, com era que es calculava el màxim comú divisor: fent "comuns i no comuns" al més petit exponent o a l'inrevés?". Un dels motius d'aquesta pregunta és que l'alumne no té on recolzar la seva memòria perquè va aprendre de memòria un procediment de càlcul del MCD i mcm que no entén perquè funciona.
L'applet Árbol de Factores de la National Library of Virtual Manipulatives dóna l'oportunitat de fer una presentació d'aquest procediment de càlcul de MCD i mcm molt més transparent. Prement el botó "Instrucciones" trobareu informació per entendre com funciona l'applet.

Què s'ha de fer per calcular el MCD?
Tots els divisors de 150 s'obtenen combinant, mitjançant multiplicacions, els factors primers de 150 (per ex: 2·5=10, 5·5·3=75, etc) i els divisors de 66 s'obtenen combinant els factors primers de 66. Per tant, per trobar divisors als dos nombres simultàniament s'han de combinar els factors primers que es repeteixin en la descomposició d'aquests dos nombres, en aquest cas: 2 i 3. Per tant el més gran dels divisors comuns, el MCD és 2·3 (el producte dels nombres que apareixen en la part verd del gràfic).


Què s'ha de fer per calcular el mcm?
Tots els múltiples de 150 han de tenir en la seva descomposició un 2, un 3 i dos 5 i tots els múltiples de 66 han de tenir en la seva descomposició un 2, un 3 i un 11. Per ser múltiple dels dos nombres, per tant, en la seva descomposició ha de tenir un 2, un 3, dos 5 i un 11 i el producte d'aquests nombres és el menor de tots els múltiples (o sigui, el mcm és el producte dels nombres que apareixen en la part verd, la blava i la groga).

A més de donar llum sobre perquè fem el que fem per calcular el MCD i el mcm de dos nombres, aquest applet dóna un model perquè l'alumne comuniqui com fa el càlcul. La següent és una fotografia de la llibreta d'una alumna que respon així una pregunta en un control de divisibilitat després d'haver après a fer el càlcul fent servir l'applet.

En aquest post, a l'igual que vam fer en un post previ: Resolució d'equacions amb "cover up", volem destacar la importància de treballar explícitament l’enregistrament escrit per part dels alumnes del treball realitzat amb l'ordinador.

12 de novembre de 2011

Minilliçons i estratègies

Minilliçons a classe
La idea de minilliçons ens ve d'un excel·lent article de Catherin Towney Fosnot i Maarten Dolk on, entre altres reflexions sobre estratègies i models, presenta "tires" d'operacions que anomena minilliçons, on per calcular el resultat d'una operació els alumnes es recolzen en el resultat d'una d'anterior ja coneguda. Seria una mostra més de la dinàmica de "fets coneguts-fets derivats" ja esmentada en altres posts: Applets que fan pensar... si els treballes i Rapidesa d'operacions i paper de les estratègies.

A l'esquerra de la pissarra es veu una d'aquestes minilliçons: un seguit d'operacions en columna on algunes serveixen de fet coneguts i les següents cal deduir-les treballant així estratègies bàsiques. D'aquesta manera es donen eines als alumnes per deixar de calcular comptant per passar a calcular sense comptar.

Gestió de l'activitat i fites amagades
La figura mostra la llista operacions esmentades anteriorment, triades i ordenades per generar la discussió sobre les habilitats o estratègies que volem treballar amb els alumnes
8+2= 10  És un fet conegut.
8+5= 13 A partir de saber que 8+2 fan 10, només cal afegir- els tres que falten del 5: 8+2+3= 13. és el que es coneix com "pas del 10".

18+2= 20 Resolta mentalment amb facilitat
18+5= 23 A partir de 18+2  fent el salt del 10 (en aquest cas el 20)

28 + 5= 33 A partir de 8+5 (resolt anteriorment)  afegint 20 o de 18 + 5 afegint 10. Implica relacionar el canvi en un dels sumands amb el canvi en el resultat.

Treball amb models: la línia numèrica buida (LNB)
Si bé aquestes operacions, a la llarga gairebé s'automatitzen, cal construir-les treballant amb context o amb models com és el cas de la línia numèrica. Intentar-ho treballant solament a nivell simbòlic pot deixar una part de la classe a mig camí. Així, per exemple, en el cas de la suma 15+8 al principi els  alumnes necessitaran utilitzar la LNB
Us recomanem la lectura de l'article (en anglès) o si més no una ullada als diferents exemples que posa i que abasta el treball de forces estratègies com per exemple: quasi dobles (26+26 per exemple partint de 25+25), intercanvi de dígits, estratègia de descomposició, etc.

Gestió a classe: la nostra proposta
Hi ha tres moments diferents en el treball amb aquestes minilliçons: la presentació i discussió col·lectiva, el treball entre iguals i l'avaluació. Les primeres propostes caldria treballar-les a nivell col·lectiu. Cal que  entenguin el que els demanem, que no és simplement que calculin la operació de sota, sinó que dedueixin el resultat de la segona operació a partir de l'anàlisi  relació amb la primera. És per aquesta raó que apareix la pregunta: "per què?" a sota. Donar solament el resultat no dóna cap informació sobre el que ha pensat per arribar a la resposta.

En aquest cas la resposta esperada seria: 28 i un argument del tipus "ja que la distància augmenta una unitat, el resultat augmentarà una unitat". Cal dir que aquest text dibuixat en una línia numèrica és una resposta tan vàlida com una explicació oral o escrita.

Pràctica en grups o treball individual
En aquest moment de l'activitat es presenten quatre situacions que impliquen estratègies diferents i operacions diferents allunyant-nos així del treball repetitiu.


Per deixar clar el que volem, redactem la resposta esperada per a la primera proposta: 48+26 =74 acompanyat d'algun argument com els següents
a) Com que intercanviem les xifres de les unitats dels dos sumands, el resultat no canvia.
b) Si afegeixes dos unitats al primer sumand i treus 2 del segon, la suma no canvia.

Avaluació
Les activitats anteriors eren "de classe" on les respostes obtingudes es matisen a partir de la discussió. Si volem avaluar i recollir informació individual, no solament ens hem de fixar en la correcció del resultat sinó en l'estratègia emprada i el nivell d'explicació dels alumnes. És per aquesta raó que incloem a la tasca una part per explicació, donat-li tanta o més importància que al càlcul fet.


Per acabar: és fàcil incorporar aquest tipus d'activitats a classe, ja que és un treball interessant en un currículum competencial. L'única dificultat que té, és tenir clares quines estratègies de càlcul volem que els alumnes utilitzin, despertar una actitud de descobriment en l'alumna, i treballar a fons la part de la comunicació o el·laboració de textos explicatius coherents i correctes.

8 de novembre de 2011

Jornades de l'ABEAM i Estadística

El dissabte 5 de novembre es van celebrar una nova edició de la jornada anual de l'ABEAM. Aquí parlarem en particular de la part de la presentació de la col·lecció de llibres "El mundo es matemático" de RBA. Trobareu totes les presentacions en el link de les jornades.

Segur que els llibres són bons i en general amens, vista la categoria, el discurs i el sentit de l'humor (sobretot en relació a les explicacions sobre la història dels diferents títols) dels autors.

La presentació del llibre "La certeza absoluta y otras ficciones"
En aquesta presentació vàrem tenir el plaer d'escoltar de nou en Pere Grima amb la seva dèria d'acostar  l'Estadística a la gent. Intenta fer veure que l'estadística és alguna cosa més que fer gràfics o taules i i planteja situacions que, segurament, fan que molts de nosaltres tinguem ganes de fer-les a les nostres classes de Secundària, i fins i tot de Primària.


Un exemple: l'Estadística ens permet que si un dia anem pels carrers de Barcelona o de Nova York tot veient la carrera de la Marató i ens plantegem quants corredors  hi participen, podem trobar una aproximacó molt ajustada anotant els dorsals d'un nombre petit de participants i fent una senzilla operació.

Més sobre el llibre i sobre l'autor

Si el portem aquí és perquè cal destacar la informació "amagada" de la seva feina paral·lela al llibre. Té penjat a la seva pàgina web un apartat anomenat "más sobre el libro", en la que podeu trobar comentaris de l'autor i les fonts consultades. A l'apartat "conferencias", i ja fora l'àmbit del llibre, que no del tema, trobareu transparències, textos i "artefactes" construïts, tant per l'autor com pels seus alumnes.

A la pàgina del Creamat podeu veure una altra xerrada d'en Pere on també  explica aquests temes: Quants peixos hi ha en un llac? Quants taxis en una ciutat? (en particular, aquí trobareu l'exemple dels corredors)

1 de novembre de 2011

Els nombres de cada mes

En un post del mes de setembre parlavem de Crear "ambient matemàtic" amb pòsters; i allí esmentavem com a exemple la publicació de una sèrie mensual de pòsters titolats "Els nombres del mes". En aquests pòsters (tres cada mes) es presenta un nombre i s'analitzen algunes de les seves propietats. En l'experiència que aquí es relata es van triar el nombres 5, 6174 i π per al mes de setembre, 7, 2011 i √2 per al mes d'octubre i 23, 1729 i √3 per al mes de novembre.


Si us interessa conéixer el contingut dels pòsters ja publicats i els que s'aniran publicant en el propers mesos us suggerim buscar-los a http://issuu.com/ccalvopesce