29 de juny de 2011

Dia de Tau

 
Entrem a vacances i per tant, enviem un vídeo refrescant: la reivindicació de celebrar el  dia de tau, precisament avui 28 de juny, davant la fama potser exagerada que se li dona a π, que ja té el seu dia, però tau no sabíem que el tenia, fins ara.


Obert el 28/06/2011. en cas que no hi podeu accedir ens envieu un comentari a PuntMat.

26 de juny de 2011

Càlcul d'altures i comunicació

Si ens rebeu per mail, us demanem que cliqueu al títol per llegir directament el bloc: tindreu més informació i a més us podrem "comptar"

Introducció PuntMat
Laura Morera, professora de Secundària ens ha enviat la seva experiència: una activitat de la que cal destacar que no dóna una estratègia "oficial" d'entrada per a solucionar un problema, sinó que qualsevol estratègia és acceptada. No se'n demana solament una sinó que se'ls convida a trobar-ne de diferents i a més com es promociona l'aspecte de comunicació o justificació raonada de les respostes, en aquest cas completament imprescindible, atès que s'havia de presentar en un vídeo. 
Des de PuntMat volem felicitar a tots els nois i noies que han participat en aquesta feina.  


Càlcul de l'altura de l'edifici de l'Escola per Laura Morera
A les classes de Geometria de 3r d’ESO, m’agrada que els alumnes facin activitats que els facin viure el que estudien. Tot va començar fa 5 anys, quan vaig proposar-los una petita pràctica molt guiada, que consistia en mesurar l’alçada de l’edifici de l’escola amb un nou instrument: un teodolit casolà. Els alumnes tenien els procediments que havien de fer, per trobar la mida buscada i una indicació dels càlculs que havien de realitzar.

De cara a l’any següent, vaig veure, que era una llàstima donar d’una forma tan pautada la pràctica, i quedar-nos només amb l’aplicació d’un sol mètode (el de trigonometria). A mida que han anat passant els anys, la cosa s’ha anat animant fins que, amb els alumnes d’enguany, hem realitzat una pràctica totalment diferent a aquella del primer any. Ells havien de pensar totes les maneres possibles que utilitzarien per aconseguir l’alçada de l’edifici, sense cap restricció de temari (se’ls animava a recórrer a altres temes com proporcionalitat i fins i tot a mesuraments reals com podria ser pujar a l’edifici i llançar una corda per poder saber la mida real).
La classe començava fent una pluja d’idees per part dels alumnes de totes les formes que havien pensat (podien buscar per internet). Un cop van sortit totes les formes, les vem classificar, sobretot les que incorporaven coneixements de proporcionalitat i les de trigonometria, i van haver de realitzar la pràctica almenys amb un mètode de cada.

Una altra novetat d’aquest any ha estat que en comptes d’entregar un treball clàssic en format paper, l’havien d’entregar mitjançant un muntatge de vídeo, i els resultats han estat increïbles, combinant un domini de les noves tecnologies amb una capacitat de síntesi, i sobretot sense perdre rigorositat matemàtica.
Per qüestions d'espai presentem solament dos dels vídeos incrustats en el bloc, podeu accedir als altres clicant els enllaços que trobareu més avall.






De cara a un altre any, una possible activitat posterior que es podria fer seria el tractament de les dades estadísticament, fent un petit estudi de les diferents solucions dels diversos grups i mètodes. Podria ser una bona introducció a aquest altre tema.
Per visionar els altres treballs cliqueu aquí   aquí i aquí.

22 de juny de 2011

La taula del 17 apresa en 10 minuts

Un es queda amb la boca oberta quan veu gent capaç de convertir una activitat, en principi, tan rutinària com pot ser la memorització d'una taula de multiplicar, en un espectacle divertit. Mirat més a fons ens dóna una demostració de com una classe "magistral" pot implicar la participació activa dels assistents.


Fent un resum i deixant de banda les habilitats comunicatives de la ponent, que no són poques, volem destacar el procés de memorització plantejat, que es recolza en un procés de construcció intel·ligent, organitzant la memorització seguint certs itineraris. En començar, per exemple, es centra en els dobles, a partir d'un "resultat fàcil" 17x1=17 dedueix uns altres que ja no ho són tant: 17x2=34 (el doble de 17) 17x4= 68 (el doble de 34), 17x8=136, (el doble de 68). En acabar, per saber el resultat de 17x5 posa sobre la taula dues maneres d'arribar-hi.

Us proposem que intenteu memoritzar la taula del 13 en un temps curt. Un cop aconseguit ens podeu enviar un comentari explicant quin procés heu seguit per memoritzar-la.
    Algunes consideracions
    Deixant de banda l'habilitat de la persona en portar la presentació, com per exemple utilitzar materials de fabricació casera per facilitar el seguiment de l'explicació, aquest vídeo ens fa reflexionar sobre la manera que normalment s'ataca la memorització de les taules de multiplica. Normalment la memorització es proposa, recitant ordenadament "els productes" (3x1, 3x2, 3x3, 3x4...) fins que s'aprenguin (o no). Si ens fixem en la trajectòria seguida en el vídeo, el que es fa és una altra cosa completament diferent: parteix d'assegurar uns resultats fàcils per a utilitzar-los com a "fets coneguts" per deduir-ne els altres,  que anomenem "fets derivats".

    La mateixa idea en un text
    Versió modificada d'una'activitat del projecte  "Mathe 2000" (Universitat de Dormunt) tal com apareix a un dels quaderns del projecte "3x6.mat" (editorial Barcanova)

    L'activitat consisteix en que a partir de conèixer un resultat (3x4=12) es puguin deduir els demés. Fixeu-vos que, partint del quadrat central, si saps que 3 vegades 4 són 12, el pas al 4x4 és immediat (un grup més de 4 s'afegeix al 12) mentre que 3x5 pot no ser-ho. Això fa que els alumnes facin un "itinerari" determinat per treure-les totes, i si el dibuixen sobre el gràfic permetrà per poder-ne parlar desprès en un discussió amb tot el grup.

    I finalment en un applet
    L'exercici dels quadrats és adequat en el moment d'aprendre les taules, un cop sabudes perd sentit, però la idea de deducció es continua. L'applet que presentem ara treballa directament aquesta idea. L'usuari anota una multiplicació de la que coneix el resultat, per exemple 16x25=400, l'operació surt anotada a la "pissarra" i aleshores el programa proposa una altra que cal respondre partint del resultat de la primera, en aquest cas, podria ser: 32x25.
    Avis: la granota és holandesa però al cap de dos o tres cops ja ho entens tot.

    Per accedir a la pàgina cliqueu a la imatge (21/06/2011)  si no podeu entrar ens envieu un comentari a PuntMat


    Aconsellem jugar-hi una estona pujant la dificultat de la multiplicació proposada. Fins i tot, podeu utilitzar la calculadora per posar una multiplicació inicial realment difícil, veureu la potencialitat de l'activitat i tindreu un llistat d'estratègies de càlcul multiplicatiu molt complet.

    Un parell de preguntes finals
    1. En l'activitat proposada anteriorment sobre aprendre la taula del 13 de memòria, la vostra estratègia de memorització ha consistit en recitar la taula un munt de vegades per memoritzar-la? Si la resposta és no, aleshores, quina és la raó per la qual la majoria d'alumnes les estudien "recitant-les"?
    2. Per quina raó fem que els alumnes s'aprenguin les taules "seguides" si el que volem és que se les sàpiguen "saltades"? Dit d'una altra manera, creiem que aquest és el mètode més eficient per memoritzar les taules o és únicament una tradició?

        19 de juny de 2011

        Triar Materials Manipulatius

        Si ens rebeu per mail, us demanem que cliqueu al títol per llegir directament el bloc: tindreu més informació i a més us podrem "comptar"
        El 31 de maig de 2011 va tenir lloc un nou  "dimarts de l'EJE", durant el qual es va presentar el projecte "Deu materials per a l'aprenentatge de les matemàtiques". El projecte consisteix en la cerca de la resposta a la pregunta de quins són els materials que "no poden" faltar a l'armari de materials de matemàtiques d'un centre escolar. En una primera aproximació a aquesta resposta es va presentar un llistat de deu materials i un fitxer d'activitats relacionades amb cadascun d'ells.
        Aquest materials van ser triats després de passar un qüestionari des de la pàgina de l'EJE (espai jordi esteve) editar una llista de 25, per finalment triar els 10 que podríem dir imprescindibles.

        Aquesta és una mostra d'una de les activitats del fitxer que acompanyava la presentació dels material
          
        Els 10 materials triats han estat: 
        1. Línia Numèrica (implica també els collarets)
        2. Graella
        3. Cubets encaixables
        4. Assortit de cossos
        5. Construcció de poliedres: cares
        6. Construcció de poliedres: arestes
        7. Construcció de polígons: costats
        8. Geoplans
        9. Assortit de figures planes
        10. Diners
        Els títols de les fitxes porten el nom genèric del material emprat i que és el mateix, amb el que estan classificats a la pàgina web de l'Espai Jordi Esteve, facilitant així  la recerca de recursos associats als materials a l'esmentada pàgina. 
        Trobareu una mostra de les fitxes de classe (una per material)  a la secció de notícies de la pàgina de l'EJE aquí.
        Cal dir per acabar que acompanyant aquests materials també s'han dissenyat tres maletes  és a dir col·leccions d'objectes o instruments necessaris per tenir a l'abast i que en la majoria dels casos sn objecte d'ús  quotidià. Les maletes són
        • Mesura
        • Probabilitat
        • Instruments de càlcul
        Les dues primeres ja han estat presentades en dos tallers (veure apartat notícies de l'eje) mentre que la d'instruments de càlcul es presentarà el curs vinent.

        13 de juny de 2011

        Professorat "fashion"

        Si ens rebeu per mail, us demanem que cliqueu al títol per llegir directament el bloc: tindreu  més informació i a més us podrem "comptar"
        Els dies 3,4,5 i 6 del proper juliol es celebren a Gijón les JAEM (Jornadas de Aprendizaje y Enseñanza  de las Matemáticas) que convoca la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM) cada dos anys i a la que acudeixen docents d'Espanya i d'Amèrica Llatina, interessats en aquesta matèria. Creiem que és una bona ocasió per formar-se, intercanviar opinions i passar-s'ho bé. Ens veurem allà.
        De totes maneres hi ha una cosa que ens preocupa i que volem comentar.

        Un dels actes socials centrals (en la figura encerclat en vermell)  és la "Cena de Gala" que com els seu nom ja suggereix és un sopar al que no es del tot aconsellable anar-hi amb "l'uniforme de profe" sinó que cal que la gent es  posi guapa. Hem pensat que el millor que podríem fer des d'aquest bloc és aportar alguna idea, aprofitant un suggeriment que ens va fer arribar  Laura M, la nostra "Tafanera Oficial", que deia el següent:  
        estaria molt bé que els profes entressin així a classe, no? je je je.

        Per tant hem triat un parell de complements que poden ajudar-vos a acabar de definir la vostra imatge. 

        Per a "ells"
        Una elegant corbata amb motius geomètrics i/o cristal·logràfics serà el complement ideal per a una nit com aquesta.


        Per accedir a la pàgina cliqueu a la imatge (5/06/2011)  si no podeu entrar ens envieu un comentari a PuntMat 
        .
        Per a "elles"
        Què millor que unes arracades en homenatge a un dels nombres més famosos de la història.

        Per accedir a la pàgina cliqueu a la imatge (5/06/2011)  si no podeu entrar ens envieu un comentari a PuntMat

        Nota: si alguna "ella" es vol posar la corbata o un "ell" les arracades que ho faci, "PuntMat" solament suggereix l'ús més generalitzat socialment.

        Ens agradaria molt poder seguir col·laborant a millorar, si és possible, la imatge del professorat de Matemàtiques, així com trobar suggeriments de regals en general que puguin ser ben rebuts per la gent del nostre gremi. Convidem als nostres lectors a que ens enviïn suggeriments de possibles obsequis indicant on o com comprar-los, els publicarem (seguint un cert criteri, no tot s'hi val)  sota l'etiqueta "Objectes de regal".

        En relació a  les JAEM i als mestres de Primària que pugueu estar interessants en Matemàtiques, i tot i que un tant per cent elevat d'assistents a la jornada són de Secundària, us recomanaríem que hi aneu, sinó ara d'aquí a dos anys  ja que part del seu programa està dirigit als mestres, i una de les  preocupacions dels organitzadors és aconseguir la vostra assistència.  De ben segur que tornareu amb noves idees per classe.

        9 de juny de 2011

        Conjectura de Collatz: una activitat de classe

        Com es veu a la imatge aquesta conjectura és fàcil d'enunciar: Agafem qualsevol nombre enter N més gran que zero. Si és parell, es divideix per 2. Si és senar, ho multipliquem per 3 i sumem 1. Repetim aquest procés. La conjectura sosté que sempre al final s'obté el nombre 1. Encara no es coneix contraexemple o prova d'aquesta afirmació. Al 2011 es va pensar que l'alemany Opfer, un exalumne de Collatz, havia aconseguit provar-la però no va ser així. Podeu veure la notícia aquí (06/06/2011).

        Font: http://es.xkcd.com/site_media/strips/collatz_conjecture.png

        Podeu jugar a verificar casos particulars clicant aquí (06/06/2011) Malgrat l'enunciat tan simple, el problema, presentat pel matemàtic alemany Lothar Collatz en 1937, fins a la setmana passada no tenia solució. Ara s'ha d'esperar que la revista a la que ha enviat Opfer la seva demostració la validi (aquí trobareu la demostració enviada) per saber si ara ja en té.

        D'un problema "potent" a una activitat d'escola
        Aquests tipus de problemes poden inspirar activitats de classe molt riques tant per Primària com per Secundària.

        Un exemple
        Per exemple, per a alumnes de vuit anys, es pot presentar una versió modificada com aquesta: "Triar un nombre entre 0 i 100. Si és parell, es divideix per 2. Si és senar, li sumem 1" (s'ha anul·lat la multiplicació per 3 i acotat a 100). Repetim aquest procés fins a arribar a 1. Amb quin nombre aconsegueixo fer la seqüència més llarga? L'Ana va portar aquest problema a la seva classe de 3r de primària de l'escola "Can Sorts" de Sentmenat. Per explicar les instruccions va partir d'un cuc en el que el primer nombre era el 24 plantejant que el cuc "s'acabaria" quan arribessin al nombre 1.
        La primera discussió ja va ser com calcular la meitat de 24, cosa no elemental a 3r. Les intervencions varen ser moltes i en destaquem una que mai haguéssim imaginat.
        Alumna: 12
        Mestra: Com ho has calculat?
        Alumna: Doncs com que un dia té 24 hores però els rellotges en tenen dotze i han de donar dues voltes, la meitat de 24 és 12.

        Poc a poc es va arribar a completar el cuc i a comptar que tenia 7 anelles
        Arribats aquí i un cop més familiaritzats amb el càlcul de meitats, en una altra sessió la mestra va plantejar trobar un cuc més llarg, amb la condició que el primer nombre no podia ser més gran de 40. Molts alumnes van pensar que seria el 40, es va dibuixar a la pissarra: tenia 9 anelles.
        Es va començar a discutir a partir de preguntes de la mestra si realment era el més llarg. Hem triat dues intervencions d'alumnes d'aquelles que sorprenen per la seva "qualitat matemàtica":

        Mestra: El cuc té 9 anelles. Es el més llarg? Serà el més llarg perquè el 40 és el nombre més gran?
        La resposta majoritària va ser si, fins que...
        Alumna: jo no hi estic d'acord ja que si el nombre és més gran quan li fas meitat aleshores n'hi treus més que no si el nombre és més petit
        Mestra: Voleu provar a veure si en en trobeu un de 10 anelles?
        Gairebé immediatament un alumne va aixecar la ma i va dir: El 39 ja que si li sumo 1 vaig al 40, i aleshores com que el de 40 en té 9 el de 39 en tindrà 10

        A partir d'aquí van anar fabricant cucs en grup fins que van trobar el més llarg, però això es feina que us deixem per vosaltres. I és que una bona activitat i unes bones preguntes, uns alumnes educats en el repte, i una mestra que els estiri poden fer meravelles.

        Cloenda: els grups pengen el cuc que han estudiat


        Els resultats finals

        Us posem feina: primer acabeu el problema plantejat als alumnes de tercer i trobeu quin és el nombre més petit que 40 que genera una fila més llarga? Després el completeu amb aquest: Si no posem el límit de 40 i anem tirant amunt, quin serà el primer nombre que superarà en llargada al cuc de major nombre d'anelles trobat anteriorment? I el que superarà a aquest segon?

        Un altre exemple
        Amb alumnes més grans podem analitzar com altres petites variacions en la regla de formació del "cuc" alteren les conclusions a les que podem arribar, inspirant-nos en la proposta de MathPickle (una pàgina que ja vam comentar al post Problemes irresolubles a l'ensenyament obligatori?)
        • Si el nombre és parell, el dividim per 2. Si el nombre és senar, el tripliquem i li restem una unitat. Es poden trobar exemples de nombres que triguin més en arribar a l'1 amb aquesta llei que amb la convencional? I que triguin el mateix? I que triguin menys? (solució). Es poden trobar exemples de nombres que amb aquesta llei no arribin mai a l'1? (resposta a la imatge de la dreta)
        Per altre banda, al vídeo "Full Integer Collatz" dels mateixos autors, es fa una proposta per fer pràctica productiva amb enters fent unes altres modificacions:
        • Si el nombre és parell, el dividim per -2. Si el nombre és senar, el tripliquem i li afegim una unitat.  Quin és el nombre entre 1 i 20 que triga més en arribar a l'1?  (solució)
        • Si el nombre és parell, el dividim per 2. Si el nombre és senar, el multipliquem per -3 i li sumem 1. Quin és el nombre entre 1 i 20 que no arriba mai a l'1? (solució)
        Informació complementària:

        5 de juny de 2011

        Materialitzacions d'applets

        Si ens reps per mail, demanaríem que cliqueu al títol per llegir directament el bloc: tindreu  més informació i a més us podrem "comptar"
        Un repte
        Una dels reptes clàssics jugant amb nombres és aquell que a partir de quatre nombres, i les operacions necessàries, planteja obtenir-ne un cinquè predeterminat. El problema dels quatre quatres és un exemple d'això: amb quatre quatres aconseguir els nombres de l'1 al 100.

        Un applet
        La pàgina d'applets del Freudenthal Institute, presenta forces exemples d'aquest tipus d'activitats. En aquest post ens centrarem en el més elemental: completar un un llibret en el que a cada pàgina cal obtenir un dels nombres del 31 al 40.
        El joc consisteix en que a partir dels quatre nombres (5,6,7 i 8) de la pàgina de l'esquerra i  combinant les operacions bàsiques, cal aconseguir el nombre que apareix a la pàgina  de la dreta, en aquest cas el 31, amb la condició que cal utilitzar tots el nombres, un sol cop cadascun.  Quan aconsegueixes el nombre passes pàgina, el llibre et té 10 i cal aconseguir els nombres del 31  fins al 40.

        Clicar imatge. Obert el 4/06/2011. en cas que no hi podeu accedir envieu un comentari a PuntMat.

        Us aconsellem entrar-hi i completar un dels llibres per veure la potencialitat que pot tenir per a alumnes de 3r de primària en endavant i "experimentar" alguna de les instruccions ja que són en holandès.
        És de destacar i per això diem que és de nivell baix, que l'applet organitza la feina pas per pas, anotant totes les operacions i fent desaparèixer els nombres utilitzats, cosa que més endavant, en applets dirigits a alumnes més grans,  es deixarà com a part del treball de l'alumne.

        Applets sense ordinadors: "materialitzacions"
        Els applets a part de ser un recurs important tenen una segona lectura: si sabem trobar "bones pàgines" esdevenen un banc de recursos i de bones idees que ens suggereixen activitats per a ser portades a classe tot i sense ordinador, convertint-los en una activitat de classe o en un joc o material per treballar.
        Amb aquesta idea i a partir del curs  2005/2006 en  l'assignatura  "Didàctica del Càlcul" dels estudis de Mestre de Primària de la UAB , es va decidir incorporar el coneixement de l'ús d'applets per a l'ensenyament de les Matemàtiques, amb un treball final, consistent en fer una materialització (joc o material de taula)  d'un d'ells. Aquesta materialització havia de complir certes condicions: ser estèticament bonic. és a dir pensant en els nens i havia de ser presentat en una capsa, amb instruccions per ser portat a terme, és a dir pensant en els mestres. De fet la idea és simular que es fabricava un material o joc que es pogués comercialitzar de cara a centres docents.

        Un exemple: La pissarra màgica
        Feta pels alumnes Pilar de la Asunción Molina, Eva Barrachina i Vicenç Màrquez, aquesta materialització de l'applet anterior,  consisteix en una pissarra magnètica de mida DIN A3, la creació de tres llibrets d'exercicis" per poder treballar per grups o  individualment. i els materials complementaris (cartes de nombres)  i que físicament està dipositada als armaris de l'ADRE de la facultat de Ciències de l'Educació,de la UAB conjuntament amb d'altres materialitzacions, algunes dels quals veureu en propers posts, d'aquest bloc.


        Clicar imatge. Obert el 4/06/2011. en cas que no hi podeu accedir envieu un comentari a PuntMat.

          Si l'appplet us agrada i a més voleu crear un material per fer un racó, cliqueu a la imatge de de dalt (la que es veu el tauler i les fitxes) i us baixarà una zip en el que hi trobareu tot el material necessari per poder fabricar-lo:
          • Instruccions del joc: un power point on les explica, pot servir pel mestre però està pensada per que la vegin els alumnes.
          • Els tres llibrets en un document pdf.
          mostra d'un dels fulls


          • Cartes de nombres (dígits) 
          • Carles de nombres per fer els resultats 
          • Tauler de joc, que de fet és la plantilla DIN A3 per fer la pissarra magnètica, però que pot ser un tauler de sobretaula
            Per acabar volem destacar que el més important d'aquesta experiència ha estat la il·lusió, esforços i qualitat  que tots i cadascun dels grups de treball dels alumnes de segon de Magisteri UAB tant de matí com de tarda, varen posar en les seves materialitzacions respectives de les quals farem públiques, les que siguin fàcilment "empaquetables". Des d'aquí el nostre agraïment pel seu esforç.

            2 de juny de 2011

            El con d'Apol·loni

            Si ens reps per mail, per no perdre informació,vídeos per exemple, recomanem entrar al bloc clicant sobre el títol.
            El 31 de maig, vàrem presentar un nou taller de l'Espai Jordi Esteve" que anomenem "10 materials per a l'ensenyament de les Matemàtiques" en que proposem quins serien els primers deu  materials manipulatius que escolliríem nosaltres per tenir al nostre centre, en cas de partir de zero. 
            Hem presentat la proposta en una sessió feta  a la Universitat Autònoma de Barcelona que  ha consistit en una xerrada sobre l'ús d'un dels materials: la "capsa de cossos geomètrics" i una exposició dels 10 materials per que els assistents els puguin conèixer i provar.
            Com a punt i final de la xerrada i ja fora del tema,  aprofitant l'última adquisició feta pel Departament de Didàctica de les Matemàtiques de la UAB, hem presentat en societat un model de l'anomenat con d'Apol·loni, un con que es pot desmuntar, en el que es es pot observar com s'obtenen les còniques a partir de les seccions realitzades sobre ell.

            Aquest con ha esdevingut famós de nou gràcies a la pel·licula Àgora, ja que és protagonista en aquestes dues seqüències, que poden ser de gran ajuda el dia que vulgueu parlar de còniques amb els vostres alumnes.

            Cliqueu a les imatges per veure els vídeos (1/06/2011)

            Cliqueu a les imatges per veure els vídeos (1/06/2011)



            Un advertiment: en començar els vídeos hi ha una publicitat que us podeu saltar, i que canvia el anunci de tant en tant. Us aconsellem que una estona abans de passar-ho a una classe d'adolescents us mireu l'anunci, no sigui que us passi el que quasi ens va passar a nosaltres.

            La compra: segurament el millor del procès
            Navegant per internet vàrem descobrir la  pàgina d'un torner de Tordesillas, que fabricava artesanalment el con de la pel·lícula: en Francisco Treceño. Quina no ha estat la nostra sorpresa en parlar amb ell, ja que durant el procés: va demanar perquè el volíem per així atendre millor la demanda, va avisar que si agafàvem el de 40cm se'ns faria "bola de pelotari" (sic) , que ens en aconsellava que pel que el volíem millor un de més petit,  va enviar fotografies per mostrar-nos com quedaria el resultat final, ens vàrem assabentar que era arqueòleg reconvertit a torner i realment les converses amb ell van ser una delícia.

            Si voleu saber condicions de compra us adrecem a la seva pàgina clicant sobre la fotografia

             Cliqueu a les imatges per accedir a la pàgina

            Francisco: aprovechamos la ocasión para enviarte nuestros mejores deseos.