Resolució d'equacions amb "cover up"

El model aritmètic

Sense ser-ne conscients, els nostres alumnes resolen equacions des dels primers cursos de primària. Ho han estat fent cada vegada que s’han enfrontat a situacions del tipus “completa la operació: 45 + … = 100” (Aquest va ser un dels apartats de la prova de competències bàsiques per Cicle Mitjà proposada pel Departament d’Educació al curs 2005-2006). En completar aquesta tasca han resolt l’equació 45 + x = 100 recorrent únicament als coneixements aritmètics que en aquell moment tenien.
Amb la intenció d’introduir suaument els nostres alumnes en l'estudi de l'àlgebra, els mestres podem recórrer a les seves experiències aritmètiques prèvies, i a partir d'aquestes experiències, donar sentit a les equacions i als seus mètodes de resolució.
La resolució de l’equació 5x – 3 = 17 la interpretem com la recerca del nombre que multiplicat per 5 genera un valor que al restar-li 3 dóna com a resultat 17.  Per donar sentit a cada pas de la resolució d'una equació com aquesta ens recolzem en les relacions aritmètiques que s'hi estableixen. Preguntem pel nombre al que si li resto 3 em dóna 17. Com que la resposta és 20, preguntem "i quin és el nombre que multiplicat per 5 dóna 20?" arribant al fet que 4 era el nombre buscat i per tant la solució de l’equació.

Un applet

Una forma de treballar aquest mètode és fer servir una tapadora com ho fa l'applet “Solving equations with cover up strategy” desenvolupat pel Freudenthal Institute de la Universitat d’Utrecht.

En la figura 1 es veu la resolució de l’equació 5x-3=17 amb aquesta estratègia. Establim un paral·lelisme entre la manera de resoldre l'equació 5x-3 = 17 recolzant-nos en les relacions aritmètiques i fent servir el recurs digital:

Ens preguntem pel nombre al que si li resto 3 fa 17	-	Ressaltem el terme 5x, passant-hi per sobre el ratolí
La resposta a la pregunta anterior és 20	-	A la pantalla apareix "5x =" i l’hem de completar la igualtat amb un 20
Ens preguntem pel nombre que multiplicat per 5 dóna 20	-	Ressaltem la x passant-hi per sobre el ratolí
La resposta a la pregunta anterior i solució final és 4	-	A la pantalla apareix "x =" i completem la igualtat amb un 4

 Figura 1: Resultat d'aplicar dues vegades l’estratègia “cover up" a l’equació 5x-3 = 17

Tal com ja hem comentat, l’estratègia “cover up” permet resoldre equacions en que la incògnita apareix només un cop, però sota aquesta restricció permet resoldre tant equacions de primer o segon grau (figura 2), com equacions no polinòmiques (figura 3).

Figura 2: Una equació de primer grau no elemental resolta amb l'estratègia “cover up”

Figura 3: Una equació no polinòmica resolta amb l'estratègia “cover up”

Volem destacar que l'applet "revisa" cada pas que fa l'alumne: quan prem return per seguir endavant ho valida amb un llaç si és correcte. En cas contrari  un tic vermell l'idica que ho ha de revisar. Això impedeix que seguixi fins el final arrossegant l'errada, aquesta interacció immediata és pròpia dels ordinadors i  eina important que potencia el treball reflexiu. Això sobre paper no passa, i si t'equivoques al primer pas l'equació ja estarà mal resolta t'equivoquis un o 100 cops.

L’applet no només proposa 20 exercicis per practicar l’estratègia sinó que permet que l’usuari generi les seves pròpies equacions. En prémer el botó "make an equation yourself" que es troba a la part inferior esquerra de la pantalla, s'obre una finestra on es pot introduir una equació per resoldre amb aquesta estratègia. En acabar d'escriure aquesta equació, es prem el botó "add" i l'equació passa a la finestra principal perquè es pugui resoldre mitjançant "cover up". 

S’ha de tenir en compte que si proposem a l’applet una equació amb solucions múltiples com ara: x² = 25, el recurs donarà per bona la solució x = 5 (o la solució x = - 5) sense donar cap tipus d'advertència en relació a que la solució de l'equació són els dos valors i no un qualsevol dels dos. 

 
Enregistrament per part dels alumnes dels seus processos de resolució d’equacions
Presentem a continuació imatges de les seves produccions escrites.

Notes en la llibreta d’una alumna en acabar la primera classe en que havia fet servir l’applet “Solving equations with cover up strategy”

Un alumne fa servir colors per imitar l’applet “Solving equations with cover up strategy” en la seva llibreta 

Un altre exemple de com els alumnes imiten l’applet per resoldre equacions

Comentaris finals

L'estratègia "cover up" és útil només quan la incògnita apareix una vegada en l’equació. Però aquesta limitació es veu compensada pel fet que no es limita a resoldre equacions de primer o segon grau, sinó que permet resoldre equacions molt abans d'introduir aquest tipus particulars d'equacions.

Aquesta estratègia a més de resoldre equacions suggereix una manera d’enregistrar el raonament que hi ha darrera de la resolució. Això no és un detall menor considerant la dificultat que presenten els alumnes en l'explicitació dels seus raonaments, especialment quan fan servir mètodes "intuïtius" com els habituals del model aritmètic.

En setembre de 2017 @mmart659 va compartir via Twitter aquesta imatge que resumeix l'estratègia:

Traducció de l'esquema visual fet pel Doug Neill