26 d’octubre de 2011

Rapidesa d'operacions i paper de les estratègies

Rapidesa d'operacions
La rapidesa d'operacions amb nombres petits ha estat considerada, des de fa molts anys, una de les bases per a un bon domini de l'Aritmètica. Així per exemple a Catalunya als anys 30 tenia un fort arrelament. Prova d'això són les proves que Alexandre Galí va proposar al seu llibre "la mesura objectiva del treball escolar". També cal dir que en aquells temps la professió de contable "de llàpis i paper" era present a la societat i que aquests càlculs ràpids tenien com a objectiu principal estar al servei de la realització correcta i ràpida de sumes llarguíssimes i operacions diverses.

El grup "El Quinzet" als anys 80, en un moment en que en el currículum l'estrella era una proposta anomenada "Matemàtica Moderna" i com a treball de recuperació de la feina ben feta relitzada abans del 1939, va adequar i publicar una proposta que volia recollir aquesta tradició en dos aspectes principals: els problemes de càlcul mental i les sèries de rapidesa d'operacions.

Ara, al 2011, ens preguntem si cal preocupar-se per la rapidesa: això té sentit en el segle XXI?


Les sèries del Quinzet
Un exemple d'aquestes sèries del Quinzet que encara s'utilitzen és el següent:

La manera d'utilitzar aquests fulls era donar-ne un als alumnes, demanar-los que fesin tots els càlculs possibles en dos minuts, revisar quants n'havien fet bé, anotar-ho en un full i periòdicament veure i fer conscients als alumnes de la seva evolució en la rapidesa, així com en les operacions concretes en les que fallaven i en les que no. Aquesta activitat es feia un parell de cops a la setmana per terme mig.

Actualment, pot estar en entredit aquest tipus de tasca (era un aprenentatge per repetició, un entrenament lluny de qualsevol procés constructiu i per tant condemnat a la seva desaparició en el moment que deixava d'entrenar-se) però volem fer-ne veure els seus aspectes positius: es feia a l'entrar al matí, o venint del pati o al tornar del dinar i els alumnes "se serenaven" de cop, solament durava dos minuts, cada nen o nena anava al seu ritme i controlava la seva evolució. La pregunta que ens formulem és: quin sentit té, apart d'aquests aspectes positius, continuar mesurant  la rapidesa,  sigui amb aquest material o un altre. Per exemple, amb applets com els que llistem a continuació:

Com compten els alumnes en acabar P5?
La Carme Barba ja ha estat present en aquest bloc (enllaç al post) on recollia part del seu treball en llicència d'estudis sobre Educació Infantil. Ara presentem un dels seus vídeos on es presenta als alumnes una situació relacionada amb l'operació 4+3.



Què hi veiem en aquest vídeo?
Queda clar que si porposem aquesta tasca per escrit tots ells contestarien 7 i ens quedariem tan amples. Però preguntar als alumnes com ho han fet, o sigui demanant-los "que parlin ells", és la manera d'assabentar-nos sobre com pensen, sobre com calculen. Observant el vídeo, podríem fer una primera classificació dels alumnes:
  1. Un grup de nens i nenes que necessiten comptar: estan els que compen tots els objectes (fins i tot tocant) i els que comencen pel primer (4) per després comptar el segon (3) a partir d'aquest. Aquests alumnes calculen comptant
  2. Hi ha un segon grup d'alumnes que parteixen d'un fet conegut  (4+4, 3+3 o la resposta genial del 5+2) per arribar a un del que no estan segurs, és a dir que calculen sense comptar, recolzant-se no en la memòria sinó en la deducció. De fet l'objectiu més important a final de segon nivell.
Estratègies personals i rapidesa d'operacions
Si continuem fent les series de rapidesa com fins ara: "sèrie, repetició, entrenament" estem deixant de banda un segon punt importantíssim: considerar-les com a indicador de l'ús o no d'estratègies eficients per part dels nostres alumnes.

És cert que els alumnes poden millorar la seva rapidesa per entrenament, però hi ha un sostre. Treballar i discutir amb ells sobre estratègies i "portar-los" del càlcul comptant al càlcul sense comptar, a base de discussions entre ells,  no solament els millorarà la rapidesa de manera notable (cosa no massa important actualment) sinó que convertirà aquesta rutina del segle passat en un treball actual molt proper a "pensar matemàticament" fins i tot als 5 o 6 anys.

23 d’octubre de 2011

Resolució d'equacions amb "cover up"

El model aritmètic
Sense ser-ne conscients, els nostres alumnes resolen equacions des dels primers cursos de primària. Ho han estat fent cada vegada que s’han enfrontat a situacions del tipus “completa la operació: 45 + … = 100” (Aquest va ser un dels apartats de la prova de competències bàsiques per Cicle Mitjà proposada pel Departament d’Educació al curs 2005-2006). En completar aquesta tasca han resolt l’equació 45 + x = 100 recorrent únicament als coneixements aritmètics que en aquell moment tenien.
Amb la intenció d’introduir suaument els nostres alumnes en l'estudi de l'àlgebra, els mestres podem recórrer a les seves experiències aritmètiques prèvies, i a partir d'aquestes experiències, donar sentit a les equacions i als seus mètodes de resolució.
La resolució de l’equació 5x – 3 = 17 la interpretem com la recerca del nombre que multiplicat per 5 genera un valor que al restar-li 3 dóna com a resultat 17.  Per donar sentit a cada pas de la resolució d'una equació com aquesta ens recolzem en les relacions aritmètiques que s'hi estableixen. Preguntem pel nombre al que si li resto 3 em dóna 17. Com que la resposta és 20, preguntem "i quin és el nombre que multiplicat per 5 dóna 20?" arribant al fet que 4 era el nombre buscat i per tant la solució de l’equació.


Un applet
Una forma de treballar aquest mètode és fer servir una tapadora com ho fa l'applet “Solving equations with cover up strategy” desenvolupat pel Freudenthal Institute de la Universitat d’Utrecht.

En la figura 1 es veu la resolució de l’equació 5x-3=17 amb aquesta estratègia. Establim un paral·lelisme entre la manera de resoldre l'equació 5x-3 = 17 recolzant-nos en les relacions aritmètiques i fent servir el recurs digital:

Ens preguntem pel nombre al que si li resto 3 fa 17
-
Ressaltem el terme 5x, passant-hi per sobre el ratolí
La resposta a la pregunta anterior és 20
-
A la pantalla apareix "5x =" i l’hem de completar la igualtat amb un 20
Ens preguntem pel nombre que multiplicat per 5 dóna 20
-
Ressaltem la x passant-hi per sobre el ratolí
La resposta a la pregunta anterior i solució final és 4
-
A la pantalla apareix "x =" i completem la igualtat amb un 4

 Figura 1: Resultat d'aplicar dues vegades l’estratègia “cover up" a l’equació 5x-3 = 17

Tal com ja hem comentat, l’estratègia “cover up” permet resoldre equacions en que la incògnita apareix només un cop, però sota aquesta restricció permet resoldre tant equacions de primer o segon grau (figura 2), com equacions no polinòmiques (figura 3).

Figura 2: Una equació de primer grau no elemental resolta amb l'estratègia “cover up”

Figura 3: Una equació no polinòmica resolta amb l'estratègia “cover up”


Volem destacar que l'applet "revisa" cada pas que fa l'alumne: quan prem return per seguir endavant ho valida amb un llaç si és correcte. En cas contrari  un tic vermell l'idica que ho ha de revisar. Això impedeix que seguixi fins el final arrossegant l'errada, aquesta interacció immediata és pròpia dels ordinadors i  eina important que potencia el treball reflexiu. Això sobre paper no passa, i si t'equivoques al primer pas l'equació ja estarà mal resolta t'equivoquis un o 100 cops.

L’applet no només proposa 20 exercicis per practicar l’estratègia sinó que permet que l’usuari generi les seves pròpies equacions. En prémer el botó "make an equation yourself" que es troba a la part inferior esquerra de la pantalla, s'obre una finestra on es pot introduir una equació per resoldre amb aquesta estratègia. En acabar d'escriure aquesta equació, es prem el botó "add" i l'equació passa a la finestra principal perquè es pugui resoldre mitjançant "cover up". 

S’ha de tenir en compte que si proposem a l’applet una equació amb solucions múltiples com ara: x2 = 25, el recurs donarà per bona la solució x = 5 (o la solució x = - 5) sense donar cap tipus d'advertència en relació a que la solució de l'equació són els dos valors i no un qualsevol dels dos. 
 
Enregistrament per part dels alumnes dels seus processos de resolució d’equacions
Presentem a continuació imatges de les seves produccions escrites.

Notes en la llibreta d’una alumna en acabar la primera classe en que havia fet servir l’applet “Solving equations with cover up strategy”

Un alumne fa servir colors per imitar l’applet “Solving equations with cover up strategy” en la seva llibreta 
Un altre exemple de com els alumnes imiten l’applet per resoldre equacions


Comentaris finals
L'estratègia "cover up" és útil només quan la incògnita apareix una vegada en l’equació. Però aquesta limitació es veu compensada pel fet que no es limita a resoldre equacions de primer o segon grau, sinó que permet resoldre equacions molt abans d'introduir aquest tipus particulars d'equacions.

Aquesta estratègia a més de resoldre equacions suggereix una manera d’enregistrar el raonament que hi ha darrera de la resolució. Això no és un detall menor considerant la dificultat que presenten els alumnes en l'explicitació dels seus raonaments, especialment quan fan servir mètodes "intuïtius" com els habituals del model aritmètic.

En setembre de 2017 @mmart659 va compartir via Twitter aquesta imatge que resumeix l'estratègia:

21 d’octubre de 2011

Visualtzació amb cubets


Un "llistat comprimit" de fites que pot ser molt útil
Ja fa força anys que la "visualització" es considera un camp important en l'aprenentatge de la Geometria. Una referència la trobem al document "Educación matemàtica en los paises Bajos, un contenido guiado", aquí hi ha una taula molt interessant anomenada "Fites bàsiques a l'escola primària holandesa" que resumeix en 23 ítems tot el que han d'aprendre els alumnes en aquesta etapa. L'ítem 22 està dedicat a Geometria, concretament a Visualització i diu el següent: "Pueden razonar geométricamente utilizando bloques de construcción, planos de planta". Hem pensat que un post dedicat a aquest punt us podria ser d'utilitat.

Applets
Si cliqueu a la imatge accedireu a un conjunt de 7 propostes diferents que treballen diferents aspectes. Fins i tot la possibilitat de decidir que es faci de nit per així presentar les "vistes".
Representacio per vistes
L'últim apartat de la llista anterior, presenta activitats en les que a l'esquerra dóna tres vistes d'una construcció realitzada amb cubets: des de dalt, des de davant i des de la dreta, i l'usuari clicant sobre el tauler que està part dreta de la pantalla ha de construir la figura corresponent. La part superior l'informa sobre com són les vistes de la construcció a mesura que la va fent.



La materialització.

Ja hem parlat de materialitzacions en altres posts (busqueu per la seva etiqueta si en voleu localitzar més) en relació a la possibilitat de convertir un applet en un material manipulatiu.

Quan vàrem plantejar fer aquesta activitat en una classe de 3r, es va pensar que el millor era començar manipulativament, i per tant es va convertir l'applet en un material "de taula", aprofitant els cubets encaixables (o Multilink) dels que disposava l'escola. Es van imprimir en fulls A4 còpies de pantalla dels exercicis resolts (figura de la dreta), es van plegar per la meitat aquests fulls i es  van plastificar. Aleshores, es van obtenir unes fitxes de treball que presenten en una de les seves cares les tres vistes, a partir de les quals els alumnes han de construir amb cubets encaixables la figura, i a l'altra cara la solució per poder comprovar si ho han fet correctament. S'ens acut que informar també als alumnes sobre el nombre total de cubets necessaris podria ser una bona idea.


Un material per petits.
Existeixen al mercat alguns jocs, de cara als més petits, que treballen aquest aspecte de la visualització. El que nosaltres coneixem és el de la casa Nathan "Atelier Tours cachées". Realment és interessant i es troba fàcilment al mercat. El problema és el seu preu, encara que sempre es pot materialitzar, però cal ser una mica "manetes".

Foto: Catàleg Nathan
  
El joc consisteix en donades les cartolines amb les imatges de les vistes, fer que els alumnes col·loquin les torres, que donades les torres els alumnes busquin les vistes, o qualsevol altre combinació que us vingui al cap.

Una mena de tuit final
Si els holandesos resumeixen les idees principals de les Matemàtiques de Primària en 23 punts, no ens aniria bé disposar  d'una "cosa" com aquesta aquí?

14 d’octubre de 2011

Applets que fan pensar... si els treballes

 L'applet
Aquest és un applet del Freudenthal Institute. La granota et demana que escriguis una multiplicació amb el seu resultat, aleshores en planteja una altra que cal que contestis. Podeu jugar-hi una estona si voleu, clicant la imatge. L'applet va deixant constància de les operacions realitzades a la barra dreta de la imatge

Obert 19/10/2011

Què és el que l'applet ens planteja?
L'objectiu de l'applet consisteix en deduir el resultat de la segona multiplicació utilitzant el resultat conegut de la primera. 
Aquesta imatge il·lustra una "partida". Els resultats obtinguts estan a la dreta. cal dir que si el resultat obtingut no és correcte, no és admès i hi has de tornar.

Com incidir?
Exigir als alumnes que no solament juguin amb l'applet, sinó que en un treball posterior o paral·lel, justifiquin el raonament o explicitin la propietat utilitzada, és el que "tanca" la sessió havent fet un treball a fons de Matemàtiques.
Presentem uns  exemples del tipus de resposta que esperem dels alumnes, agafant els resultats de la imatge superior.
  1. Si 5x8= 40, 5x4 serà igual a 20 ja que 4 és la meitat de 8
  2. SI 15x8= 120, 15x80= 1200, ja que multipliquem el segon terme per 10 i aleshores el resultat de la multiplicació quedarà multiplicar per 10 (en aquest cas expressions del tipus "poso un zero al darrera" haurien de ser evitades)
  3. Si 8x12= 96 aleshores 9x12= 108, ja que fer 9 vegades 12 és fer 8 vegades 12 i afegir un grup més (de 12). Aleshores 96+12= 108
  4. 8x8=64, 8x16=128 . Com que 16 és el doble de 8 aleshores el resultat serà el doble de 64.
Una pregunta per als lectors:
Si 16x25= 400, quin és el resultat de 8x50?

Quina idea hi ha al darrera?

Darrera de tot això hi ha una idea que creiem molt potent a l'hora de fer matemàtiques i que podríem anomenar "fets coneguts/ fets derivats" és a dir a partir de resultats sabuts poder deduir resultats dels qual no se n'està segur.
Aquesta mateixa idea la trobem en aquest joc de cartes en el catàleg de K2.

Com veureu cal omplir o contestar quin és el nombre que ha d'anar als tres espais blancs, partint del coneixement de la primera multiplicació. Donar-ho als alumnes recollir els resultats i qualificar bé o malament és perdre l'oportunitat de treballar les propietats de les operacions.

Us suggerim que per conèixer a fons el que treballa resoleu els exercicis d'aquí al costat. Si un cop fet veieu que són unes deduccions interessants pels vostres alumnes aleshores aquest post ha estat útil. Si us fa mandra comptar l'altra opció és decidir quin és l'ordre lògic de resolució de cada una de les cartes: de dalt a baix o d'una altra manera.





11 d’octubre de 2011

Buster Keaton, cicloides i carreteres

L'animació de sota genera una línia que molta gent coneix, altra no. Si encens el llum veuràs com està generada

                                                                                                                                               J.Jareño 2002

No sabem si en Buster Keaton sabia de la seva existència, el que no hi ha dubte és que aquesta trista seqüència  de la seva pel·lícula "El maquinista de la General"ens pot servir per a parlar de la cicloide.


Podem passar la pel·lícula i demanar que intentin imaginar i dibuixar quina és la trajectòria que recorren els seus peus.
També podem preguntar quina els sembla que es la distància recorreguda entre dues tocades consecutives al terra, en funció de la mida  de la roda, que podem estimar comparant-la amb l'alçada dels personatges.

Els peus van "marxa endarrere" ?
Tenint en compte que les rodes de tren estan sobre la via i que per tant no toquen al terra la trajectòria del peus, no serà una cicloide sinó que descriurà una línia com la següent.

                                                                                                                                                                                    J.Jareño2002
                                                                                                                                              
Per tant podríem dir que hi ha un moment en que els peus van marxa endarrere?

Rodes, bicicletes i carreteres
Si enlloc del tren ens fixem en la vàlvula d'una bicicleta el moviment seria el següent

                                                                                                                                              J.Jareño2002
La roda és un bon invent per anar assegut còmodament en una bicicleta o un cotxe, ja que et manté sempre a la mateixa distància del terra, no com el viatge del pobre Buster. Però això és perquè les carreteres són planes. Però i si no ho fossin? deuen ser cicloides? Si algú ens vol fer un comentari aclarint-ho li estarem agraïts.

9 d’octubre de 2011

Noves entrades a l'Espai Jordi Esteve

Us informem de les noves entrades a l'EJE

Polydron: Albarans
Activitat realitzada amb alumnes de segon d'ESO amb l'objectiu de treballar les nocions de cares, arestes i vèrtexs d'un poliedre. S'utilitzen dos tipus de materials: "construcció de poliedres: cares" i "construcció de poliedres:  arestes".
enllaç

Polydron: desenvolupament d'un cub
Activitat realitzada per Maite Ribes a sisè de Primària utilitzant el material "al reves": enlloc de per construir, per analitzar els desenvolupaments possibles d'un cub. Volem destacar la manera d'explicar la classe de l'autora, ja que recull les conclusions parcials a les que es va arribant amb els alumnes i això ens permet "imaginar" la sessió de manera molt més propera
enllaç


Cuc Numèric
Hem editat la fitxa del material anomenat "cuc numèric" dins de  la família "Línia Numèrica". El contingut de les activitats és bàsicament de Cicle Inicial de Primària. Hi podeu trobar propostes d'activitats amb el cuc, document per imprimir i construir la "serp" i un applet.
enllaç



Geoplà
En aquesta proposta, presentada pel professor Bujosa al gener de 2011 durant unes jornades organitzades per la UPF, trobareu un enllaç a un simulador de Geoplà de malla quadrada i un altre isomètric creats amb Geogebra i algunes activitats en relació al primer d'aquests dos materials. El nivell és per a l'ESO.
enllaç.

5 d’octubre de 2011

Avís: Cicle de conferències per a Primària

Us volem anunciar que el Creamat ha encarregat a la gent de PuntMat, un cicle de tres conferències sobre el càlcul a Primària. Les xerrades seran d'una hora i es realitzaran a la seu del Departament d'Ensenyament. 

En aquestes tres hores intentarem donar una visió general sobre les bases sobre les que seria interessant organitzar el càlcul en els nostres temps. Parlarem del paper de les estratègies i les habilitats bàsiques, la seva inclusió en el currículum i la relació amb els algorismes. Tal com diu el programa, ens preguntarem: què fem a les classes de mates abans, mentre i després d'haver tractat els algorismes? Han de continuar sent els algorismes els continguts organitzadors del Càlcul? I si no fem algorismes... quina és l'alternativa?

Els títols de les conferències són:
  • 1a conferènciaAritmètica abans dels algorismes: Càlcul a Cicle Inicial (26-10-2011)
  • 2a conferència: Aritmètica: entre les estratègies i els algorismes. Càlcul a Cicle Mitjà (9-11-2011)
  • 3a conferènciaAritmètica més enllà dels algorismes: Càlcul a Cicle Superior (23-11-2011)


2 d’octubre de 2011

Collarets: lliçons i propostes a l'eje


Els collarets de dos colors són un material força utilitzat a nivells baixos de Primària com a model estructurador per treballar aspectes de numeració i per a l'adquisició de les descomposicions de nombres i les primeres operacions. Prova d'això ho veiem en el textos de Matemàtiques holandesos, on ens sembla interessant el fet que enlloc de demanar que els alumnes escriguin el símbols, com en la majoria de textos d'aquí,  el que demanen és la representació sobre el collaret, com es veu a la part inferior del dibuix.


Si entreu a l'apartat collarets de l'Espai Jordi Esteve trobareu  les lliçons  fetes amb alumnes de primer, us mostrem dos exemples. Per accedir a aquest recull de lliçons cliqueu aquí

 
La discussió sobre com marquem el nombre al collaret 


 L'us com a instrument de càlcul (collaret del 20) 

Nova entrada a l'EJE
Parlant de collarets i ampliant la proposta anterior (que ja fa temps que està penjada a l'eje)  us fem saber que amb data d'avui hem inclòs una proposta nova: quatre activitats amb ús de collarets per a plantejar problemes a nivells més alts, de les  que mostrem un exemple


Localitzar nombres en aquest collaret, per exemple el 32, d'una manera ràpida és un bon recurs per treballar la taula del quatre. Però anem més enllà i plantegem: 
  • De quin color serà la bola 156?
Foto: 3x6.mat.
Ed Barcanova

Cal assenyalar que no en tenim prou amb la resposta puntual, sinó que com a últim pas demanem que donin les instruccions a un robot perquè seguint-les sigui capaç de contestar correctament la solució, sigui quin sigui el nombre d'entrada


Us convidem a fer-ho amb alumnes i a que ens envieu les instruccions que han escrit que us semblin més interessants per la seva manera d'explicar-ho, o perquè ens donen exemples paradigmàtics, informacions interessants sobre la manera de pensar dels nostres alumnes.