17 d’abril de 2017

Projecte Espiral: recuperem cert passat?

Mirar el passat, des del present

L'anècdota

No fa massa temps vàrem rebre un correu d'en Dani Ruiz: tant ell com na Maria Ángels Rueda, van sortir emocionadíssims de la seva visita al "Gamar" i no sense raó, la Maria Antònia Canals és una crack.






Una de les activitats que els va agradat molt era la següent:

Pel seu disseny, una representació gràfica enlloc d'enunciat, i pel tipus d'activitat presentada, en veure-la ens va venir a la memòria la magnífica proposta que l'Editorial Vicens Vives va publicar al 1976, una col·lecció de llibres de text per primària, amb autors de primera fila d'aquell moment en Didàctica de les Matemàtiques: el projecte "Espiral".

Nota: Ens referim aquí a la col·lecció escrita per Agustí, Kauffman, Klein, Martin, Papy i Vanderput. 
No confondre-la amb les col·leccions posteriors de llibres de text de l'editorial que tenen el mateix títol. 

Aquest projecte presenta un canvi radical, on una de les principals característiques de canvi (cal tenir en compte que era la època en la que la "teoria de conjunts" va fer acte de presència) va consistir en la utilització de llenguatges gràfics per fer arribar aquelles idees abstractes als alumnes de Primària, com per exemple:
  • Els diagrames de Venn com a representació gràfica dels conjunts (utilitzada, encara avui, per treballar certs aspectes com per exemple la idea de màxim comú divisor, tal com ho vam comentar al post Un algorisme més transparent per calcular el MCD i el mcm)
  • La reflexió sobre què és un sistema de numeració treballant amb bases diferents (d'aquí l'aparició del material multibase). En aquest sentit, la minicomputadora de Papy (una barreja entre base 10 i base 2) és un dels punts forts de la proposta
  • La utilització de fletxes per representar les relacions, en el sentit de teoria de conjunts, i que identificaríem actualment amb les classificacions i les ordenacions
En aquest post ens centrarem, solament, en les activitats en que s'utilitza el llenguatge gràfic de les fletxes.

 

ACTIVITAT 1: ESPIRALS

Aquest és un exemple d'una activitat del llibre, en el que l'aspecte gràfic hi jugava un paper important. Prova d'això és que aquesta activitat del llibre de primer de ocupava tota la pàgina. 
Segueixen sent vàlides aquest tipus d'activitats? Segurament si ja que planteja seguir una sèrie, i aquest tipus d'activitats de pràctica continuen fent-se. Però l'activitat pot anar molt més enllà: plantejant-la d'una manera que ara anomanaríem "més rica" enfocant-la com a repte a resoldre, dinamitzant la classe a partir de preguntes:
  • El 21 estarà amagat en aquesta espiral? i el 23?
  • El 366 hi estaria amagat si l'allarguem?
  • Quins nombres no hi sortiran? Per què?
L'estratègia d'anar escrivint els nombres que falten a l'espiral és vàlida, però poc "matemàtica". Cal buscar estratègies diferents més eficients, per exemple en aquest cas: esbrinar què passa quan et fixes en quins són els nombres que surten al final de les fletxes vermelles o de les verdes. No és complicat descobrir un patró: els nombres que ocupen la punta de les fletxes verdes són els de la taula del 3, i fins i tot poden arribar a justificar-lo: "si sortim del 0, i la fletxa vermella val 1 i la verda 2, les dues juntes arriben al 3". Sabent això, alguns dels alumnes poden arribar a intuir que una divisió els pot ajudar a decidir de manera segura si el nombre surt o no a l'espiral i plantejar una conjectura
  • si dividit per tres dóna residu zero, segur que estarà a l'espiral al final d'una fletxa verda
  • si dona residu 1, estarà a l'espiral al final d'una fletxa vermella
  • si dóna residu 2, el nombre no apareixerà a l'espiral

ACTIVITAT 2: QUADERNS COMPLEMENTARIS

Aquests quaderns que acompanyen al llibre són activitats setmanals de pràctiques que giren entorn d'un nombre, al que han de localitzar en cadascuna de les pàgines. Presentem dos exemples:

El quadern del 20

Aquest quadernet comença amb la següent activitat "El nombre 20 està amagat en algunes de les pàgines d'aquest quadern i en algunes altres no. Intenta trobar el seu amagatall. Si no pots completa el dibuix fins trobar-lo". Trobem genial la idea que el nombre hi pugui estar o no en una pàgina!!
Com seria la discussió? Quines preguntes s'haurien de plantejar els alumnes? Si el que volem es treballar en un ambient de resolució de problemes i no solament exercitar sèries, la idea seria plantejar-se en quin dels dos camis podria estar el 20 i una resposta podria ser "a la de dalt no hi pot estar perquè si sortim del 3 i sumem sempre 2 ens sortiran sempre nombres senars i el 20 es parell" A partir d'aquí ens plantegem: sabem que pot estar, a la del 6, però hi serà? Aquí poden comptar de dos en dos o veure que hi ha 5 punts després del 6 que representen un salt de 10 i per la qual cosa arribaran al 16... però el 20 no hi és!

El quadern del 37

El mateix tipus d'activitat pot ser més complexa, com veiem en aquestes dues pàgines del quadernet dedicat al número 37

  • Activitat "+3": El "detall" de donar com a dada nombres consecutius posats a la mateixa altura en camins diferents (29 i 30, 32 i 33) no és innocent, ja que suggereix el patró: els nombres consecutius apareixen sempre a la mateixa altura, per tant, podran conjecturar que el 37 estarà al camí de la dreta al costat del 36 i confirmar-lo comptant enrere de 3 en 3 a partir del 46.
  • Activitat "+5": Els nombres que apareixen al primer camí acaben en 0 o 5, al segon, en 1 o 6, al tercer, en 2 o 7, etc. Per tant, si el 37 està amagat en aquesta pàgina estaria en el tercer camí. Partim del 57 i saltem enrere considerant que cada dos punts retrocedim deu unitats: 57, 47, 37 i trobem l'amagatall.

Com activitat d'ampliació, podem demanar que s'inventin un problema en el que calgui localitzar un nombre amagat. En els "camins del +6" per exemple, quants camins cal dibuixar? La resposta a aquesta pregunta ens portarà a pensar en els possibles residus de la divisió entre 6 i que en aquest cas, evidentment seran 6. Podeu veure més activitats amb fletxes dels quaderns premeu aquest enllaç

I PARLANT D'ESPIRALS...

Una de les activitats de "pràctica" (que podríem qualificar com a pràctica lúdica) per a treballar ordenació de nombres és un joc per dos jugadors consistent en: donada una llista de nombres decimals,

  • el primer jugador en tria un i col·loca (aproximadamanent) una marca en una línia, escrivint el nombre. 
  • el segon jugador tria un segon nombre i el col·loca a la dreta o l'esquerra del nombre que ha col·locat el primer, 
  • després torna a jugar el primer, i el segon, etc. Guanya qui posa tres marques seguides. 
El joc és entretingut i permet analitzar l'existència d'estratègies però l'altre dia vàrem plantejar als alumnes de 6è la versió que el projecte Nrich proposa a Spiralling Decimals. Allí es canvia una línia numèrica habitual per una espiral i, potser per la novetat o pel major repte involucrat, el resultat va ser molt més interessant!







24 de març de 2017

Polígons convexos & Tangram

La Sílvia Margelí va deixar clar que la noció de convexitat en polígons es pot treballar de manera molt natural des de primària, quan va dissenyar aquest mòdul en que defineix el concepte a partir de la mida dels angles del polígon, de la posició de les seves diagonals i de l'anàlisi del recorregut de la vora del polígon.



A més d'entendre què vol dir que un polígon sigui convex podem posar en pràctica aquesta noció. Per exemple, jugant amb les peces del tangram més conegut.

Encara que aquest material és molt fàcil de construir (amb regle i compàs, sobre paper quadriculat, amb Geogebra), si us interessa construir un tangram fent servir només un full de paper i unes tisores, feu clic aquí.


La tasca és molt senzilla d'enunciar: obtenir tots els polígons convexos possibles combinant les 7 peces del tangram.

Així ho vam proposar als mestres de @escolatecnos


Amb un resultat fantàstic:

Malgrat que aquest tangram té només set peces permet construir 13 polígons convexes!! La demostració de que només existeixen aquests 13 polígons la van publicar Fu Traing Wang i Chuan-Chih Hsiung en 1942 i es pot trobar a las pàgines 10-13 del llibre “Selected Papers of Chuan-Chih Hsiung”.



Si voleu proposar el repte de la construcció de polígons convexes d'una manera més guiada aquí podeu trobar un document amb fitxes que, si les plegueu por la meitat, orienten a l'alumne en la construcció del polígons en qüestió (per una cara tindran el contorn del polígon i per l'altra la disposició de les set peces del tangram que permeten construir aquell polígon)





Més informació:

  • sobre simuladors de tangrams al blog d'applets del Puntmat: Tangrams
  • si el que demanem és construir un tipus particular de polígons convexos i permetem que no s'hagin de fer servir totes les peces, les solucions són també més de 10.
  • sobre el tangram del Median en aquest mateix blog: primera part i segona part 
  • sobre tangrams de Brugner al blog del @calaix2: primera part i segona part La referència a aquests posts del Joan Jareño són especialment pertinents perquè ell també relaciona els tangrams amb la formació de polígons convexos. Amb una sorpresa: malgrat tenir només tres peces un d'aquests tangrams permet obtenir més polígons convexos que el tangram estàndard. Per a aquest tangram també tenim un document amb fitxes que, si les plegueu por la meitat, orienten a l'alumne en la construcció del polígons en qüestió (per una cara tindran el contorn del polígon i per l'altra la disposició de les tres peces del tangram que permeten construir aquell polígon)
  • també sobre tangrams de Brugner: al @creamat1 han fet servir una impressora 3D per obtenir-los i així poder manipular-los.
 

17 de març de 2017

Patrons a les taules de multiplicar

Ja vam tractar aquest tema als posts Més activitats relacionades amb la graella del 100 i Graella multiplicativa i especialment a l'article: "Tareas ricas para practicar las tablas" de la secció "Ell@s tienen la palabra" que escrivim a cada número de la revista SUMA.


El patró més famós que podem comentar sobre la taula del 9 ja el va presentar Miliki:


I d'aquest patró deriva un truquet que molts dels nostres alumnes utilitzen per memoritzar la taula i que nosaltres podem ajudar-los a entendre d'on surt.

En la xerrada que va fer el John Mighton en Barcelona l'1 de març també es va comentar la importància d'analitzar a l'aula els patrons que amaguen les taules per ajudar a la seva memorització. Justament inspirat en una proposta de Jump Math en el blog Mathrecreation trobem el post Squashing multiples on s'anailitzen els patrons que resulten de sumar els dígits del resultat d'una multiplicació fins a aconseguir un nombre d'una xifra (per exemple, el resultat de 8x7 = 56 i a partir d'aquest resultat fem: 5+6=11 → 1+1=2)

En la imatge següent del post abans esmentat es veu el patró resultant de sumar dígits en els resultats de les taules del 3, del 6 i del 12:


A la Wikipedia trobem un patró curiós relacionat amb la taula del 7:
  • Sortim del 7
  • El següent nombre seguint la fletxa és 4 i el primer nombre major que 7 que acaba en 4 és 14
  • El següent número seguint la fletxa és 1 i el primer nombre major que 14 que acaba en 1 és 21
  • El següent número seguint la fletxa és 8 i el primer nombre major que 21 que acaba en 8 és 28
  • ...
Multiplication mnemonic 7.svg
By Cmglee - Own work, CC BY-SA 3.0, Link

El @jimmybcn2 explica en el post Patterns in tables una d'aquestes tasques analitzant patrons amb alumnes de 3r de primària. Allí comenta que va partir de la proposta de @Nrich Tables Without Tens i la va complementar amb una adaptació del vídeo de @mickaellaunay La face cachée des tables de multiplication

Cada cercle correspon a una taula i en cada cercle apareixen els nombres del 0 al 9, els alumnes havien d'unir cada nombre amb la xifra de les unitats del resultat (per exemple, en el cercle de la taula del 6 els 3 s'uneix amb el 8 perquè 3x6 acaba en 8). Aquí hi ha dos mostres del que van fer els alumnes:



I aquí una plantilla per si voleu proposar aquesta tasca als vostres alumnes.

La Laia Fonts i el Daniel Solera de l'escola Josep Maria Jujol de Gràcia van proposar als seus alumnes de 3r de Primària que analitzessin uns altres patrons presents a les taules. 

Aquí també cada cercle correspon a una taula i en cada cercle apareixen els nombres del 0 al 9, però els alumnes havien d'unir nombres seguint la sèrie que descriuen les xifres de les unitats dels resultats d'aquesta taula (per exemple, en el cercle de la taula del 6, s'uneix el 6 amb el 2, aquest amb el 8, després amb el 4, amb el 0 i per últim amb el 6 perquè els resultats de la taula del 6 acaben en 6, 2, 8, 4, 0, 6, 2, 8, 4, 0,...). Ho van fer sobre rodes, després ho van passar a paper i per últim van descriure les seves conclusions!!







El @jimmybcn2 després de veure aquesta proposta va ampliar la que havia fet als seus alumnes de 3r de @escolasadako obtenint resultats igualment bons (ho explica en el post Even more patterns in tables)


12 de març de 2017

Quadrats màgics: Durero & Subirachs

En el post Quadrats i altre figures màgiques del nostre blog d'applets vam comentar un applet que tracta de deteminar totes les quaternes diferents que donen 34 sobre el quadrat màgic que va representar A. Durero en el seu gravat "Melencolia I"
Podeu veure les 86 solucions aquí

Però com que el de Durero no és l'únic quadrat màgic que apareix relacionat a l'art vam proposar als alumnes recrear la feina de l'applet esmentat abans sobre la base del quadrat màgic que Subirachs ha incorporat a la Façana de la Passió de la Sagrada Família


Val a dir que a diferència del quadrat màgic de Durero, el de Subirachs repeteix dos nombres el 10 i el 14 però no fa servir el 12 ni el 14 (això fa que la suma constant de files columnes i diagonals sigui 33 i no 34)

El mateix Subirachs va dissenyar un post destacant 33 quaternes que sumen 33, en ell afirma que hi ha "310 combinacions que sumen sempre els anys de Jesús (33) en el criptograma de la façana de la Passió". Ho podem veure en aquesta imatge de Esquemat
Vam proposar la feina a alumnes de 6è de primària de @escolasadako


Un d'aquests alumnes es va preguntar si podia representarles solucions de manera que tessel·lin el quadrat:

Encara que en el moment de la fotografia només havia aconseguit tessel·lar 5 quadrats, es poden tessel·lar uns quants més:

Aquesta pregunta també se la va plantejar Anthony Sudbery respecte al quadrat màgic de Durero a l'article ‘DÜRER’S MAGIC TESSERACT’ on va demostrar que amb les 86 cuaternas podia tessel·lar 13 quadrats:
 

La Guimar de l'escola Univers de Barcelona va compartir la feina dels seus alumnes de 4t!!




Quan Subirachs esmenta l'existència de 310 combinacions de suma 33 no està parlant de quaternes, sinó de qualsevol subconjunt de cel·les del seu quadrat màgic que sumen 33. Les quaternes que s'hi poden trobar són només 88 tal com es veu en aquest applet fet amb Geogebra per @jfontgon

Però també s'hi poden trobar:
  • 17 ternes que sumen 33
  • 131 quíntuples (via @jfontgon)
  • 66 sèxtuples (via @jfontgon)
  • i 8 sèptules (via @pirusedano):

El @pirusedano ens ha comentat que el seu raonament per assegurar l'exhaustivitat no va ser diferenciant quantitat de cel·les sinó diferenciant la quantitat de 10's i 14's que hi intevenien. Aquí podeu veure les 310 combinacions classificades segons aquest criteri.

Al MMACA hi ha un mural on s'explica una relació entre els dos quadrats màgics que donen títol al nostre post "Una connexió de cinc segles a la façana de la Sagrada Família" però no volem acabar sense esmentar un tercer quadrat màgic, que fins al moment no sabem que estigui relacionat amb els anteriors.

Al video Ars qubica de Cristobal Vila n'apareix un de constant 192 “Cuadrado Mágico Zaragoza 2015” creat pel Luis Rández de la Universidad de Zaragoza sobre el que els alumnes també poden jugar a trobar quaternes de suma constant.


Altres comentaris:
  • El @Joan_Urgelles ens va comentar que sumant els nombres repetits en el quadrat: dos 14's i dos 10's, ens dona 48, que és el valor numèric de la paraula INRI en llatí (Iesus Natzarenus Rex Iudeorum) Quan es fa el càlcul hem de recordar que a l'alfabet llatí no hi ha la "J" (I=9, N=13, R=17) : 9+13+17+9=48
  • Al quadrat màgic de Durero es poden verificar les següents particularitats numèriques
    • Tota parella de nombres simètrics respecte al centre del quadrat sumen 17
    • La suma dels quadrats dels nombres de la primera fila és igual a la suma dels quadrats dels nombres de la quarta fila: 256+9+4+169 = 438 = 16+225+196+1
    • La suma dels quadrats dels nombres de la segona fila és igual a la suma dels quadrats dels nombres de la tercera fila: 25+100+121+64 = 310 = 81+36+49+144
    • La suma dels quadrats dels nombres de la primera columna també és igual a la suma dels quadrats dels nombres de la quarta columna. La suma dels quadrats dels nombres de la segona columna és igual a la suma dels quadrats dels nombres de la tercera columna.
    • La suma dels quadrats dels nombres de les diagonals és igual a la suma dels quadrats dels nombres que no són a les diagonals i també és igual a la suma dels quadrats dels nombres de la segona i quarta fila i a la suma dels quadrats dels nombres de la primera i tercera fila
  • Al blog del PuntMat hi ha altres dues entrades que parlen de quadrats màgic Quadrats màgics amb retenció de líquid i Quadrat màgics i nombres enters