26 de juny de 2016

Pràctica productiva: multiplicacions de nombres de dues xifres

Després d'haver construït juntament amb els alumnes un algorisme per a la multiplicació (l'estàndard o un altre) arriba el moment de practicar la seva execució. Però no cal proposar als alumnes un full sencer amb multiplicacions perquè facin pràctica reproductiva sinó que es pot proposar altre tipus de tasques. En aquest post volem comentar alguns exemples d'aquestes tasques:
  • Calculeu
34x36 i 35x35
73x75 i 74x74
22x24 i 23x23
Què hi observeu? Passarà amb altres nombres? Inventeu una altra parella de multiplicacions a les que passi el mateix.
Aquí teniu les respostes de dos alumnes de 5è a aquesta tasca:



El que han establert els dos alumnes és una conjectura: els creuen que sempre que multipliquin per si mateix un nombre el resultat serà una unitat més gran que el resultat de multiplicar l'anterior per el següent del nombre anterior. Però aquesta conjectura es pot convertir en una propietat si l'acompanyem d'una justificació:
Justificació amb reglets presentada per Simon Gregg
Un segon exemple, molt semblant a l'anterior:
  • Calculeu 
34x35 i 33x36
73x74 i 72x75
22x23 i 21x24
Què hi observeu? Passarà amb altres nombres? Inventeu una altra parella de multiplicacions a les que passi el mateix.
En aquest cas, els dos resultats sempre difereixen en dos unitatsi aquesta podria ser una justificació:


Un tercer exemple inspirat per un post de Don Steward en el seu blog: Median
  • Calculeu 
34x35+36 i 36x35–34
73x74+75 i 75x74–73
22x23+24 i 24x23–22 
Què hi observeu? Passarà amb altres nombres? Inventeu una altra parella de multiplicacions a les que passi el mateix.
Com totes les conjectures involucrades en aquests exemples, la justificació algebraica és senzilla però fora de l'abast dels alumnes als que està dirigida aquesta mena de pràctica de multiplicacions. En aquest cas: sabem que els dos resultats sempre coincidiran perquè n(n+1)+n+2 = n²+2n+2 i (n+2)(n+1)–n²+2n+2.

Però algun alumne interessat en entendre perquè són sempre iguals els dos resultats, pot sentir-se a prop d'una justificació si li comentem 75x74–73 = (73x74+74+74)–73 = 73x74+74+(74–73) = 73x74+74+1 = 73x74+75.

Canviant totalment d'estil, proposem una quarta tasca relacionada amb la pràctica de multiplicacions de nombres de dues xifres:

  • Si multiplico dos nombres de 2 xifres, què és més probable: que el resultat tingui 3 o 4 xifres?

Creiem que aquesta és una tasca per emprendre amb tot el grup. Comencem proposant una taula de 91 files i 91 columnes en la que en la primera fila i primera columna escribim els nombres del 10 al 90 i en les altres cel·les, els alumnes aniran escribint els resultats de la multiplicació del nombre que encapçala la fila pel nombre que encapçala la columna. Demanem als alumnes que acoloreixin la cel·la si el resultat té tres xifres per poder comparar la quantitat de reusltats de tres i quatre xifres.

Hem triat com a primera fila la inferior (els nombres del 10 al 90 apareixen d'esquerra a dreta) i com a primera columna la de l'esquerra (els nombres del 10 al 90 apareixen d'abaix a dalt). La nostra tria ha estat motivada per l'ordre del sistema de coordenades però no hi ha cap inconvenient en triar altre ordre. Aquí teniu una plantilla per imprimir aquesta taula.

És molt interessant quan els alumnes s'adonen que si obtenen un resultat de tres xifres no només han d'acolorir aquesta cel·la sinó totes les de la mateixa fila i columna que generen resultats menors. Encara més, si veuen que 20x40 té tres xifres poden pintar tot el rectangle que té aquest punt com a vèrtex superior dret. Si veuen que 50x50 té quatre xifres poden deduir que cap cel·la que estigui a la dreta i a dalt d'aquesta cel·la apareixerà pintada i per tant no cal fer aquestes multiplicacions per poder classificar les cel·les corresponents.

Imatge final de la taula que deixa molt clar que és molt menys probable obtenir un resultat de tres xifres
(només hi ha 1490 entre els 8100 resultats possibles)

15 d’abril de 2016

Rectangles i quadrats

En aquest post volem analitzar la relació entre la divisibilitat i la formació de rectangles amb tessel·les rectangulars.

Primer cas
Quants rectangles es poden formar amb vint-i-quatre tessel·les quadrades d'1 cm de costat?

Les 24 tessel·les les podem distribuir en rectangles de 1x24, 2x12, 3x8 i 4x6 que deixen en evidència la relació del problema amb la divisibilitat del nombre de tessel·les disponibles. Aquesta relació ja l'vam analitzar al post Descompondre en factors

http://illuminations.nctm.org/Activity.aspx?ID=3511
Segon cas
Quants rectangles es poden formar amb setze fulls DIN A4?

En aquest cas, la quantitat de divisors del 16 (cinc: 1, 2, 4, 8 i 16) coincideix amb la quantitat de rectangles... una de les raons de la diferència d'aquesta resposta amb la del primer cas és que aquí les "tessel·les" no són quadrades.

Aquesta activitat ja l'havíem relatat al post Referències personals per les unitats del sistema mètric destacant la importància de destacar que tots els rectangles obtinguts tenen àrea 1 m2.

Alumnes de la Marta P. a l'escola La Sínia
Tercer cas
Quants rectangles es poden formar amb deu tessel·les de 3 cm d'amplada i 4 de llargada?

Clarament el rectangle tindrà àrea 120 cm2 (10 tessel·les de 12 cm2). Malgrat que els divisors de 120 són: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 i 120 els rectangles que es poden formar amb aquestes tessel·les són "únicament" cinc (el de 1x120, 2x60 i 5x24 no es poden formar perquè és impossible tenir un costat d'1, 2 o 5 cm amb les tessel·les que tenim...el que pot sorprendre és que sí que es pot formar el rectangle de 10x12!!)


7 de desembre de 2015

Fraccions & Geometria

La representació gràfica de fraccions pot anar molt més enllà de exercicis en que demanem als alumnes  quina fracció representa la regió ombrejada en un cercle que s'ha dividit en 8 parts iguals de les que s'han pintat tres.

Podem plantejar als alumnes les mateixes situacions sobre figures una mica més "desafiants" però la tasca no ha variat substancialment perquè la divisió de la figura inicial en parts iguals ja ve donada.
Extret del "Quadern de treball" de "Matemàtiques - 6è" de l'Editorial Barcanova 
Però en aquest post ens interessa anar una mica més enllà i treballar la representació gràfica de funcions fent ús de propietats geomètriques de les figures

Exemple 1: Geofraccionador és un applet preciós dissenyat per J. García Moreno que ens apropa a la línia que volem desenvolupar en aquest post


Es pot portar aquesta idea a l'aula encara que no disposem d'ordinador:
Exemple 2: "What part?" era una proposta de Don Steward que vam trobar en el seu blog Median i la vam proposar a alumnes de 1r d'ESO  (ja no existeix l'entrada on vam veure aquesta proposta encara que la recull aquí)


Exemple 3: Hexagon fractions és una activitat de la mateixa font que l'exemple anterior que torna a reforçar la idea de la importància de dibuixar les línies auxiliars adequades

Proposta original: quina fracció de l'hexàgon està pintada de marró?
Figura original amb línies auxiliars afegides

Podem veure que el primer hexàgon marró és 18/24 = 3/4 de l'hexàgon groc, que el primer triangle marró és 9/24 = 3/8 de l'hexàgon groc, que el segon hexàgon marró és 3/4 del primer hexàgon marró (ho hem vist al primer cas d'aquesta sèrie) i per tant 9/16 de l'hexàgon groc i que el segon triangle marró és 1/2 de l'hexàgon groc.

Trobem un altre exemple a l'article de C. Foster "Avoiding Pythagores"
L'àrea marró és un terç de l'àrea de l'hexàgon groc.

Amb aquesta estratègia de dibuixar les línies auxiliars adequades podem descobrir propietats geomètriques molt interessants:

Exemple 4: si dividim els costats d'un triangle qualsevol en 2, 3 o 4 parts iguals i unim alguns dels punts obtinguts tal com es veu a la imatge, podem determinar quina fracció representen els triangles vermells respecte els triangles grans.

Unint la resta de punts de manera convenient queden determinats nous triangles que en compartir la mida de les seves bases i alçades tenen tots la mateixa àrea.
1er cas: Cada triangle petit  és ¼ del triangle gran, per tant, el triangle vermell és 1- ¾ = ¼ del triangle gran
2n cas: Cada triangle petit és 1/9 del triangle gran, per tant, el triangle vermell és 1- 6/9 = 1/3 del triangle gran
3er cas: Cada triangle petit és 1/16 del triangle gran, per tant, el triangle vermell és 1- 9/16 = 7/16 del triangle gran

Exemple 5: La regió taronja té per àrea dos novens de l'àrea de l'hexàgon (a partir de les línies auxiliars que apareixen en el 3r hexàgon es pot veure que la regió taronja n'ocupa 4 de 18)
Proposat per @matesymas
Les línies auxiliars no sempre són per dividir una figura en parts iguals entre sí tal com  ho veurem  en els següents dos exemples:

Exemple 5: en un octàgon regular si dibuixem dues diagonals com es veu a la imatge, l'àrea del rectangle és 1/2 de l'àrea total i les àrees dels trapezis 1/4 cadascuna.

Les línies auxiliars descomponen l'octàgon en 4 rectangles iguals (pintats de rosa) i 8 triangles iguals (pintats alguns de verd i uns altres de blau). Com el rectangle ocupa dos d'aquests rectangles i 4 dels triangles, la seva àrea és la meitat de l'àrea de l'octàgon i un argument anàleg es pot fer servir per relacionar les àrees dels trapezis amb l'àrea total.

Aquesta idea es pot extendre a altres polígons regulars de n costats (amb n parell): l'àrea del rectangle gris és 4/n de l'àrea total
http://www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/Vortrag97/Puzzle.pdf

Justificacions visuals
http://www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/Vortrag97/Puzzle.pdf

Exemple 6: La següent imatge representa la justificació de que l'àrea del dodecàgon és 3/4 de l'àrea del quadrat que el circumscriu:


Més exemples: 
Aquesta mateixa setmana @Simon_Gregg va publicar aquesta prova visual que explica per qué el quadrat groc representa un cinqué del quadrat gran


El triangle groc té per àrea un cinquè de l'àrea del triangle equilàter a partir del qual es forma, unint un vèrtex amb un punt que triseca el costat oposat. 
Hi ha una demostració molt elegant a la pàgina 34 del llibre Math Made Visual: Creating Images for Understanding Mathematics de Claudi Alsina & Roger B. Nelsen. En aquest mateix llibre apareix com a exercici provar que l'àrea de l'Hexàgon vermell és dos cinquens de 'l'àrea del triangle equilàter a partir del qual es forma unint cada punt mig d'un costat amb punts que trisequen els altres costats.
L'espectacular pàgina GoGeometry és una font inesgotable d'aquest tipus de problemes. Com a mostra, us deixem només un parell d'exemples:
http://www.gogeometry.com/problem/p122_marion_walter_theorem_proof_area.htm 
http://gogeometry.com/school-college/p983-regular-hexagon-point-triangle-area.htm

22 de novembre de 2015

Perímetre i àrea 3: una seqüela

Després de les activitats suggerides al post Perímetre i àrea 3, en aquest post proposem les mateixes activitats que allí proposavem canviant quadrats per triangles. 

Primera activitat: pensament exhaustiu

A la graella que apareix a l'esquerra cada triangle mesura 1cm de costat. Pinta alguns dels seus triangles de manera que quedi una figura (única i sense forats) de 6 cm de perímetre. Quantes solucions realment diferents pots trobar?

Les quatre solucions representades amb peces de Pattern Blocks 
Si en lloc de mantenir constant el perímetre, demanem les figures que es poden fer sobre la mateixa graella cobrint 6 triangles, les solucions són nou (una de perímetre 6 cm i totes les altres de perímetre 8 cm):

Si l'activitat anterior la proposem sobre paper isomètric sense restringirse a una graella el nombre de solucions varia: són els hexamants.

Els hexamants de JJareño
Segona activitat: cerca de patrons i regularitats
En aquestes graelles també cada triangle mesura 1cm de costat.

Al post dedicat a les figures formades per la unió de quadrets vam analitzar com s'alterava el el perímetre d'una figura segons el lloc on afegiem un quadret.

Ara us proposem pensar sobre qué passa en canviar quadrets per triangles:

La idea de canviar triangles per quadrets la vam veure aquí

26 d’octubre de 2015

Nombres en V

Aquest és un altre exemple de d'activitat "rica" del projecte nrich: Magic Vs on s'exerciten sumes de dígits, però la part més potent és  l'estudi de regularitats.

Per fer aquesta activitat és interessant que es fabriquin "cartes" amb els nombres per poder anar provant, per poder manipular. Tal i com es veu en els vídeos que adjuntem al final del post.

Produccions d'alumnes  
Vam proposar els primers tres apartats d'aquesta activitat a alumnes de cinquè de Primària focalitzant en: Quins nombres puc posar a la cel·la grisa de manera que els dos braços sumin el mateix? 

En la imatge superior es veu com l'alumne troba que a la rodona grisa pot posar els nombres 1, 3 i 5  i suggereix que ha trobat la solució a partir de la paritat (hem de col·locar un nombre a la rodona grisa i els altres quatre els hem de repartir en dos grups que sumin el mateix, o sigui, que la suma d'aquests 4 nombres ha de ser parell, això s'aconsegueix únicament si el nombre col·locat a la rodona grisa és senar)

En relació a la pregunta quan els nombres a col·locar són del 2 al 6 s'observa com l'alumne aplica una regularitat entre els nombres 1 al 5 i els nombres 2 al 6: "he fet créixer tons els nombres de la part A 1 número"

En aquesta segona imatge es veu un treball similar al de l'alumne de la imatge anterior en relació als apartats A i B però a més veiem com aplica el mateix raonament per a l'apartat C, per obtenir les solucions quan els nombres a col·locar són del 12 al 16, mira les solucions de l'apartat B i suma una desena a cada rodona.


En cursos superiors (a més de proposar l'apartat D) podem trobar altres raonaments en relació als primers apartats:
  • En relació a l'apartat B: si he de col·locar els nombres 2, 3, 4, 5, 6 com sumen 20 que és parell, si per la rodona grisa trio un nombre senar, per exemple 3, em queden els nombres 2, 4, 5 i 6 per col·locar a les restant rodones i no puc repartir-los en dos grups que suin el mateix. Per tant a l'apartat B el nombre de la rodona grisa ha de ser parell
  • Dresprés de l'apartat C podem fer una generalització: Si entre els cinc nombres consecutius hi ha 2 parells i 3 senars i a la cel·la grisa va qualsevol dels 3 nombres senars Si entre els cinc nombres consecutius hi ha 3 parells i 2 senars i a la cel·la grisa va qualsevol dels 3 nombres parells.
Afegim un parell de vídeos que mostren alguns mestres treballant amb aquest problema:


Extensió a altres lletres
A més de la "V" es pot fer el problema amb altres lletres. Trobem un exemple amb les lletres N, L i W al projecte Nrich:  Magic Letters (a l'apartat de solucions podeu trobar molta informació complementària sobre aquesta activitat)

19 d’octubre de 2015

Llumins i la desigualtat triangular

En una activitat de formació del curs de "Pràctica productiva" dirigida a mestres de Primària del seminari "Gràcia Barri Matemàtic" inspirant-nos en l'activitat Sticks and Triangles del projecte Nrich, varem platejar aquesta activitat


Aquí veieu les tres solucions possibles:

Vam veure que no totes les descomposicions del 9 en tres sumands ens permetien formar triangles. Per exemple, no hi ha cap triangle que tingui un costat format per 7 llumins i els altres dos costats formats per un llumí, perquè amb aquestes mides el triangle no es pot "tancar" (el mateix passa amb les descomposicions 1+2+6, 1+3+5 i 2+2+5).  Aquesta conclusió ens va portar a parlar de la "desigualtat triangular" com a conclusió lògica de l'activitat: en un triangle el costat major no pot superar a la suma dels altres dos costats.

Les descomposicions del 9 que si van donar lloc a triangles van ser: 1+4+4, 2+3+4 i 3+3+3. O sigui que vam obtenir dos triangles isòsceles i acutangles (un d'ells equilàter*) i un tercer triangle que vam classificar fàcilment com a escalè i amb una mica més de dificultats com a obtusangle.

*Nota: creiem que és molt important insistir en que la classificació que utilitzem (en aquest cas, per a triangles segons longitud dels costats) és jeràrquica i no particional, ja que parteix de considerar que a tots els triangles que tenen dos costats iguals els anomenem isòsceles, i dins d'aquests n'hi ha que a més compleixen que el tercer costat també té la mateixa longitud per la qual cosa té els tres siguin iguals. Aquesta és la raó que justifica que al paràgraf anterior hàgim dit que entre les solucions teníem dos triangles isòsceles i acutangles (un d'ells equilàter). 

Ens vam quedar amb ganes d'anar més enllà i per tant, vam proposar-nos resoldre el problema para 11 i 12 llumins.

Vam arribar a la conclusió que amb 11 llumins es poden representar 4 triangles diferents: tres isòsceles (dos acutangles i un obtusangle): 1+5+5, 3+4+4 i 5+3+3 i un triangle escalè (acutangle): 2+4+5

En la propera imatge es veuen els únics tres triangles que van poder representar amb 12 llumins:

Un d'ells és equilàter, un altre és també isòsceles i acutangle però amb un costat més petit que els altres 2 i el tercer triangle és escalè i rectangle.

Val la pena esmentar aquí la proposta del Creamat: Construïm triangles amb llumins on, a més de complementar la discusió sobre la desigualtat triangular, s'analitza el patró entre el nombre de llumins i la quantitat de solucions possibles:

Un cas on separar casos parells i senars pot ser inspirador
i un bon exemple de taules que suggereixen patrons que
s'han de contrastar més enllà d'uns pocs casos particulars 
Ens va sorprendre la alta freqüència de triangles isòsceles entre les solucions i a partir de les solucions que oferia la pàgina del Nrich vam concloure que exceptuant amb el cas de 5 llumins (en el que només es pot representar un triangle i és escalè), fins al cas de 20 llumins com a mínim la meitat de les solucions possibles són triangles isòsceles:

Amb 3, 6, 7, 8 i 10 mistos la totalitat de les solucions possibles són triangles isòsceles
Amb 11 i 14 mistos, els triangles isòsceles són les tres quartes parts de les solucions
Amb 9 i 12 mistos, las dues terceres parts.
Amb 13 i 16 mistos, el 60%
Amb 15 i 18 mistos, una mica menys: el 57%
I amb 17, 19 i 20 mistos, exactament la meitat de les solucions són triangles isòsceles.
Encara que les dades que dona la pàgina del Nrich, no va més enllà dels 20 mistos, la davallada en la proporció de triangles isòsceles ja ens va fer sospitar que no sempre serien majoria.

Qui ens va ajudar amb la solució va ser The on-line encyclopedia of integer sequences: quantitat de solucions possibles i quantitats de solucions isòsceles que ens informa que per a 21 mistos tindríem 12 solucions i d'aquestes només 5 serien triangles isòsceles: 1+10+10, 3+9+9, 5+8+8, 6+6+9 i 7+7+7 davant de les set solucions escalenes: 2+9+10, 3+8+10, 4+7+10, 4+8+9, 5+6+10, 5+7+9 i 6+7+8.

El coneixements involucrats en les reflexions anteriors són a l'abast d'un alumne de cicle superior. Però si volem aprofundir en la classificació d'aquests triangles segons els seus angles el més còmode és recórrer al Teorema de Pitàgores per la qual cosa, aquesta darrera línia d'estudi estaria limitada a alumnes de l'ESO.

El teorema de Pitàgores, malauradament en la seva versió menys utilitzada a les aules de Secundària, ens permet classificar triangles: si el quadrat del costat més llarg:
  • coincideix amb la suma dels quadrats dels altres dos costats estem davant d'un triangle rectangle
  • supera a la suma dels quadrats dels altres dos costats estem davant d'un triangle obtusangle
  • no arriba a la suma dels quadrats dels altres dos costats estem davant d'un triangle acutangle
Amb aquest resultat en ment és fàcil veure que dels 12 triangles de perímetre 12: cinc són acutangles (1+10+10, 3+9+9, 5+8+8, 6+7+8 i 7+7+7) i la resta són obtusangles.

15 d’octubre de 2015

Construir cases: descomposicions del 10

Les descomposicions del 10 com a suma de dos nombres és un contingut fonamental a finals d'infantil i a primer de primària atès que, conjuntament amb les sumes de dígits juguen un paper importantíssim en els primers càlculs. Però anant més enllà de la mera pràctica d'aquesta destressa i treballant en un ambient de resolució de problemes, podem fer activitats espectaculars, com, per exemple, aquesta: 

Volem fer una maqueta d'un barri, on cada cubet representa una casa (o pis). Tenim 10 cubets i la pregunta és la següent:
Poden començar per  un barri d'una sola torre de 10 cubets i preguntem si a algú se li acut un altre disseny d'aquest barri? Pot passar, amb certa facilitat,  que algun alumne en faci un de dos torres de cinc cubets cadascuna, però no podem admetre aquesta solució ja que no n'hi pot haver dos torres iguals. Ara ja queda clar l'enunciat del problema, a partir d'aqui, a treballar! Algunes respostes podrien ser una de 8 i una de 2, o una de 7, una de 2 i una de 1, etc.
    Diem que és una activitat de pràctica productiva, ja que a més de treballar un objectiu de pràctica n'incorpora un de treball sistemàtic, o de pensament exhaustiu. Han de sorgir preguntes que els guiïn cap a aquests tipus de pensament: ens en falta algun? com ens organitzem per saber que no n'hi ha cap de repetit?

    La idea original està treta de la pàgina MathPickle, concretament d'aquest vídeo fantàstic on ho treballen col·lectivament i "contrarellotge"
      http://youtu.be/ImkJEi2aQ80
      Pel que fa al pensament sistemàtic, i ara ens en aniríem a cicle mitjà, un cop entès el problema i fet manipulativament, per assegurar que no ens en deixarem cap, hem de reflexionar, identificar alguna estratègia, i potser "cridar al món del símbols".

      Discutint  podem arribar a identificar dues estratègies diferents.

      a) Començar per el cas d'una sola torre, després buscar totes les possibilitat que es poden fer amb dues torres, amb tres, etc.


      b) Ordenar numèricament començant per la torre més alta: quantes solucions diferents puc fer amb una torre de 10? (una). I amb una torre de 9? (una). I amb una torre de 8? (una). I amb una torre de 7? (dues: 7+3 o 7+2+1), etc...

      Les imatges anteriors són captures de pantalla del vídeo
      Però encara no hem tancat: Com sabem que hem acabat? No podem fer cap "barri" que tingui cinc grups de cases? Per què?

      Què passaria si tinguessim 12 cubets?

      Pensem que és importantíssim que els mestres de cicle mitjà comencin a treballar aquests aspectes que entren de ple a anar estructurant el pensament matemàtic dels nostres alumnes.