17 de març de 2017

Patrons a les taules de multiplicar

Ja vam tractar aquest tema als posts Més activitats relacionades amb la graella del 100 i Graella multiplicativa i especialment a l'article: "Tareas ricas para practicar las tablas" de la secció "Ell@s tienen la palabra" que escrivim a cada número de la revista SUMA.


El patró més famós que podem comentar sobre la taula del 9 ja el va presentar Miliki:


I d'aquest patró deriva un truquet que molts dels nostres alumnes utilitzen per memoritzar la taula i que nosaltres podem ajudar-los a entendre d'on surt.

En la xerrada que va fer el John Mighton en Barcelona l'1 de març també es va comentar la importància d'analitzar a l'aula els patrons que amaguen les taules per ajudar a la seva memorització. Justament inspirat en una proposta de Jump Math en el blog Mathrecreation trobem el post Squashing multiples on s'anailitzen els patrons que resulten de sumar els dígits del resultat d'una multiplicació fins a aconseguir un nombre d'una xifra (per exemple, el resultat de 8x7 = 56 i a partir d'aquest resultat fem: 5+6=11 → 1+1=2)

En la imatge següent del post abans esmentat es veu el patró resultant de sumar dígits en els resultats de les taules del 3, del 6 i del 12:


El @jimmybcn2 explica en el post Patterns in tables una d'aquestes tasques analitzant patrons amb alumnes de 3r de primària. Allí comenta que va partir de la proposta de @Nrich Tables Without Tens i la va complementar amb una adaptació del vídeo de @mickaellaunay La face cachée des tables de multiplication

Cada cercle correspon a una taula i en cada cercle apareixen els nombres del 0 al 9, els alumnes havien d'unir cada nombre amb la xifra de les unitats del resultat (per exemple, en el cercle de la taula del 6 els 3 s'uneix amb el 8 perquè 3x6 acaba en 8). Aquí hi ha dos mostres del que van fer els alumnes:



I aquí una plantilla per si voleu proposar aquesta tasca als vostres alumnes.

La Laia Fonts i el Daniel Solera de l'escola Josep Maria Jujol de Gràcia van proposar als seus alumnes de 3r de Primària que analitzessin uns altres patrons presents a les taules. 

Aquí també cada cercle correspon a una taula i en cada cercle apareixen els nombres del 0 al 9, però els alumnes havien d'unir nombres seguint la sèrie que descriuen les xifres de les unitats dels resultats d'aquesta taula (per exemple, en el cercle de la taula del 6, s'uneix el 6 amb el 2, aquest amb el 8, després amb el 4, amb el 0 i per últim amb el 6 perquè els resultats de la taula del 6 acaben en 6, 2, 8, 4, 0, 6, 2, 8, 4, 0,...). Ho van fer sobre rodes, després ho van passar a paper i per últim van descriure les seves conclusions!!







12 de març de 2017

Quadrats màgics: Durero & Subirachs

En el post Quadrats i altre figures màgiques del nostre blog d'applets vam comentar un applet que tracta de deteminar totes les quaternes diferents que donen 34 sobre el quadrat màgic que va representar A. Durero en el seu gravat "Melencolia I"
Més solucions aquí

Però com que el de Durero no és l'únic quadrat màgic que apareix relacionat a l'art vam proposar als alumnes recrear la feina de l'applet esmentat abans sobre la base del quadrat màgic que Subirachs ha incorporat a la Façana de la Passió de la Sagrada Família


Val a dir que a diferència del quadrat màgic de Durero, el de Subirachs repeteix dos nombres el 10 i el 14 però no fa servir el 12 ni el 14 (això fa que la suma constant de files columnes i diagonals sigui 33 i no 34)

El mateix Subirachs va dissenyar un post destacant 33 quaternes que sumen 33, en ell afirma que hi ha "310 combinacions que sumen sempre els anys de Jesús (33) en el criptograma de la façana de la Passió". Ho podem veure en aquesta imatge de Esquemat
Vam proposar la feina a alumnes de 6è de primària de @escolasadako


La Guimar de l'escola Univers de Barcelona va compartir la feina dels seus alumnes de 4t!!





Quan Subirachs esmenta l'existència de 310 combinacions de suma 33 no està parlant de quaternes, sinó de qualsevol subconjunt de cel·les del seu quadrat màgic que sumen 33. Les quaternes que s'hi poden trobar són només 88 tal com es veu en aquest applet fet amb Geogebra per @jfontgon

Però també s'hi poden trobar:
  • 17 ternes que sumen 33


  • 131 quíntuples (via @jfontgon)
  • 66 sèxtuples (via @jfontgon)
  • i 8 sèptules (via @pirusedano):


El @pirusedano ens ha comentat que el seu raonament per assegurar l'exhaustivitat no va ser diferenciant quantitat de cel·les sinó diferenciant la quantitat de 10's i 14's que hi intevenien. Aquí podeu veure les 310 combinacions classificades segons aquest criteri.

Al MMACA hi ha un mural on s'explica una relació entre els dos quadrats màgics que donen títol al nostre post "Una connexió de cinc segles a la façana de la Sagrada Família" però no volem acabar sense esmentar un tercer quadrat màgic, que fins al moment no sabem que estigui relacionat amb els anteriors.

Al video Ars qubica de Cristobal Vila n'apareix un de constant 192 “Cuadrado Mágico Zaragoza 2015” creat pel Luis Rández de la Universidad de Zaragoza sobre el que els alumnes també poden jugar a trobar quaternes de suma constant.


Altres comentaris:
  • El @Joan_Urgelles ens va comentar que sumant els nombres repetits en el quadrat: dos 14's i dos 10's, ens dona 48, que és el valor numèric de la paraula INRI en llatí (Iesus Natzarenus Rex Iudeorum) Quan es fa el càlcul hem de recordar que a l'alfabet llatí no hi ha la "J" (I=9, N=13, R=17) : 9+13+17+9=48
  • Al quadrat màgic de Durero es poden verificar les següents particularitats numèriques
    • Tota parella de nombres simètrics respecte al centre del quadrat sumen 17
    • La suma dels quadrats dels nombres de la primera fila és igual a la suma dels quadrats dels nombres de la quarta fila: 256+9+4+169 = 438 = 16+225+196+1
    • La suma dels quadrats dels nombres de la segona fila és igual a la suma dels quadrats dels nombres de la tercera fila: 25+100+121+64 = 310 = 81+36+49+144
    • La suma dels quadrats dels nombres de la primera columna també és igual a la suma dels quadrats dels nombres de la quarta columna. La suma dels quadrats dels nombres de la segona columna és igual a la suma dels quadrats dels nombres de la tercera columna.
    • La suma dels quadrats dels nombres de les diagonals és igual a la suma dels quadrats dels nombres que no són a les diagonals i també és igual a la suma dels quadrats dels nombres de la segona i quarta fila i a la suma dels quadrats dels nombres de la primera i tercera fila
  • Al blog del PuntMat hi ha altres dues entrades que parlen de quadrats màgic Quadrats màgics amb retenció de líquid i Quadrat màgics i nombres enters

19 de febrer de 2017

Onze pomes

Vam conèixer aquest joc a les jornades sobre materials manipulatius i jocs que està organitzant la UAB per celebrar els 25 anys de la Facultat de Ciències de l'Educació.


Gaire bé en simultani vam escoltar al Jordi Deulofeu parlant d'aquest joc en el programa sobre "Aprenentatge i Joc" de DEUWATTS (Btv)


Es tracta d'un joc dissenyat per Juan Carlos Pérez Pulido que s'ha comercialitzat amb noms com "22 pommes" o "11 Äpfel". Les seves regles de joc estan descrites aquí en francès:


Aquí les trobareu en català. I aquí en castellà. Com veieu es tracta d'una manera fantàstica de practicar les descomposicions de l'11, al mateix temps que es desenvolupen estratègies de joc.

El podem materialitzar amb un click i cubets encaixables: quatre torres de 5 cubets verds, quatre torres de 5 cubets vermells, tres torres de 3 cubets verds, tres torres de 3 cubets vermells, dos torres de 2 cubets verds, dos torres de 2 cubets vermells, tres cubets verd i tres cubets vermells.


16 de gener de 2017

El nom dels nombres

Us proposem aquesta tasca inspirada en l'applet Four Ever de @Transum
Tria un nombre entre 2 i 20 per començar i completa la sèrie en que cada terme és la quantitat de lletres que es fan servir per escriure l’anterior (en català)
12        5         4         6         3         4         6         3    ...
dotze   cinc    quatre  sis      tres     quatre  sis      tres
Fes-ho començant amb altres nombres. Què hi observes?

En anglès la regularitat que exhibeixen els noms dels nombres és encara més sorprenent: començant amb qualsevol nombre sempre s'acaba en el 4

Encara que en aquest gràfic es veu que tots els nombres fins al 20 acaben en el 4, el cert és que tots els nombres fins al 100 també ho fan (el nom de cada nombre entre 20 i 100 requereix menys de 20 lletres), tots els nombres fins al 1 000 000 també ho fan (el nom de cada nombre entre cent i un milió requereix menys de 100 lletres) i així successivament.

Tal com es veu en el treball d'uns alumnes de primer d'ESO, en castellà la regularitat té semblances amb la del català:

La Marta Presseguer va proposar aquesta tasca a la seva, multicultural, classe de 6è a l'Escola La Sínia de Vic. Van estudiar les regularitats en els  idiomes "presents" a la classe: romanés, edo, pular, etc.
      

      

      

El nom dels nombres en anglès tenen una altra particularitat: el nom de cada nombre comparteix una lletra amb el nom del nombre que li segueix:

Això no passa amb altres llengües com el català, el castellà, el francès. En quin nombre es trenca la sèrie en aquestes llengües?

26 de juny de 2016

Pràctica productiva: multiplicacions de nombres de dues xifres

Després d'haver construït juntament amb els alumnes un algorisme per a la multiplicació (l'estàndard o un altre) arriba el moment de practicar la seva execució. Però no cal proposar als alumnes un full sencer amb multiplicacions perquè facin pràctica reproductiva sinó que es pot proposar altre tipus de tasques. En aquest post volem comentar alguns exemples d'aquestes tasques:
  • Calculeu
34x36 i 35x35
73x75 i 74x74
22x24 i 23x23
Què hi observeu? Passarà amb altres nombres? Inventeu una altra parella de multiplicacions a les que passi el mateix.
Aquí teniu les respostes de dos alumnes de 5è a aquesta tasca:



El que han establert els dos alumnes és una conjectura: els creuen que sempre que multipliquin per si mateix un nombre el resultat serà una unitat més gran que el resultat de multiplicar l'anterior per el següent del nombre anterior. Però aquesta conjectura es pot convertir en una propietat si l'acompanyem d'una justificació:
Justificació amb reglets presentada per Simon Gregg
Un segon exemple, molt semblant a l'anterior:
  • Calculeu 
34x35 i 33x36
73x74 i 72x75
22x23 i 21x24
Què hi observeu? Passarà amb altres nombres? Inventeu una altra parella de multiplicacions a les que passi el mateix.
En aquest cas, els dos resultats sempre difereixen en dos unitatsi aquesta podria ser una justificació:


Un tercer exemple inspirat per un post de Don Steward en el seu blog: Median
  • Calculeu 
34x35+36 i 36x35–34
73x74+75 i 75x74–73
22x23+24 i 24x23–22 
Què hi observeu? Passarà amb altres nombres? Inventeu una altra parella de multiplicacions a les que passi el mateix.
Com totes les conjectures involucrades en aquests exemples, la justificació algebraica és senzilla però fora de l'abast dels alumnes als que està dirigida aquesta mena de pràctica de multiplicacions. En aquest cas: sabem que els dos resultats sempre coincidiran perquè n(n+1)+n+2 = n²+2n+2 i (n+2)(n+1)–n²+2n+2.

Però algun alumne interessat en entendre perquè són sempre iguals els dos resultats, pot sentir-se a prop d'una justificació si li comentem 75x74–73 = (73x74+74+74)–73 = 73x74+74+(74–73) = 73x74+74+1 = 73x74+75.

Canviant totalment d'estil, proposem una quarta tasca relacionada amb la pràctica de multiplicacions de nombres de dues xifres:

  • Si multiplico dos nombres de 2 xifres, què és més probable: que el resultat tingui 3 o 4 xifres?

Creiem que aquesta és una tasca per emprendre amb tot el grup. Comencem proposant una taula de 91 files i 91 columnes en la que en la primera fila i primera columna escribim els nombres del 10 al 90 i en les altres cel·les, els alumnes aniran escribint els resultats de la multiplicació del nombre que encapçala la fila pel nombre que encapçala la columna. Demanem als alumnes que acoloreixin la cel·la si el resultat té tres xifres per poder comparar la quantitat de reusltats de tres i quatre xifres.

Hem triat com a primera fila la inferior (els nombres del 10 al 90 apareixen d'esquerra a dreta) i com a primera columna la de l'esquerra (els nombres del 10 al 90 apareixen d'abaix a dalt). La nostra tria ha estat motivada per l'ordre del sistema de coordenades però no hi ha cap inconvenient en triar altre ordre. Aquí teniu una plantilla per imprimir aquesta taula.

És molt interessant quan els alumnes s'adonen que si obtenen un resultat de tres xifres no només han d'acolorir aquesta cel·la sinó totes les de la mateixa fila i columna que generen resultats menors. Encara més, si veuen que 20x40 té tres xifres poden pintar tot el rectangle que té aquest punt com a vèrtex superior dret. Si veuen que 50x50 té quatre xifres poden deduir que cap cel·la que estigui a la dreta i a dalt d'aquesta cel·la apareixerà pintada i per tant no cal fer aquestes multiplicacions per poder classificar les cel·les corresponents.

Imatge final de la taula que deixa molt clar que és molt menys probable obtenir un resultat de tres xifres
(només hi ha 1490 entre els 8100 resultats possibles)

15 d’abril de 2016

Rectangles i quadrats

En aquest post volem analitzar la relació entre la divisibilitat i la formació de rectangles amb tessel·les rectangulars.

Primer cas
Quants rectangles es poden formar amb vint-i-quatre tessel·les quadrades d'1 cm de costat?

Les 24 tessel·les les podem distribuir en rectangles de 1x24, 2x12, 3x8 i 4x6 que deixen en evidència la relació del problema amb la divisibilitat del nombre de tessel·les disponibles. Aquesta relació ja l'vam analitzar al post Descompondre en factors

http://illuminations.nctm.org/Activity.aspx?ID=3511
Segon cas
Quants rectangles es poden formar amb setze fulls DIN A4?

En aquest cas, la quantitat de divisors del 16 (cinc: 1, 2, 4, 8 i 16) coincideix amb la quantitat de rectangles... una de les raons de la diferència d'aquesta resposta amb la del primer cas és que aquí les "tessel·les" no són quadrades.

Aquesta activitat ja l'havíem relatat al post Referències personals per les unitats del sistema mètric destacant la importància de destacar que tots els rectangles obtinguts tenen àrea 1 m2.

Alumnes de la Marta P. a l'escola La Sínia
Tercer cas
Quants rectangles es poden formar amb deu tessel·les de 3 cm d'amplada i 4 de llargada?

Clarament el rectangle tindrà àrea 120 cm2 (10 tessel·les de 12 cm2). Malgrat que els divisors de 120 són: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 i 120 els rectangles que es poden formar amb aquestes tessel·les són "únicament" cinc (el de 1x120, 2x60 i 5x24 no es poden formar perquè és impossible tenir un costat d'1, 2 o 5 cm amb les tessel·les que tenim...el que pot sorprendre és que sí que es pot formar el rectangle de 10x12!!)


7 de desembre de 2015

Fraccions & Geometria

La representació gràfica de fraccions pot anar molt més enllà de exercicis en que demanem als alumnes  quina fracció representa la regió ombrejada en un cercle que s'ha dividit en 8 parts iguals de les que s'han pintat tres.

Podem plantejar als alumnes les mateixes situacions sobre figures una mica més "desafiants" però la tasca no ha variat substancialment perquè la divisió de la figura inicial en parts iguals ja ve donada.
Extret del "Quadern de treball" de "Matemàtiques - 6è" de l'Editorial Barcanova 
Però en aquest post ens interessa anar una mica més enllà i treballar la representació gràfica de funcions fent ús de propietats geomètriques de les figures

Exemple 1: Geofraccionador és un applet preciós dissenyat per J. García Moreno que ens apropa a la línia que volem desenvolupar en aquest post


Es pot portar aquesta idea a l'aula encara que no disposem d'ordinador:
Exemple 2: "What part?" era una proposta de Don Steward que vam trobar en el seu blog Median i la vam proposar a alumnes de 1r d'ESO  (ja no existeix l'entrada on vam veure aquesta proposta encara que la recull aquí)


Exemple 3: Hexagon fractions és una activitat de la mateixa font que l'exemple anterior que torna a reforçar la idea de la importància de dibuixar les línies auxiliars adequades

Proposta original: quina fracció de l'hexàgon està pintada de marró?
Figura original amb línies auxiliars afegides

Podem veure que el primer hexàgon marró és 18/24 = 3/4 de l'hexàgon groc, que el primer triangle marró és 9/24 = 3/8 de l'hexàgon groc, que el segon hexàgon marró és 3/4 del primer hexàgon marró (ho hem vist al primer cas d'aquesta sèrie) i per tant 9/16 de l'hexàgon groc i que el segon triangle marró és 1/2 de l'hexàgon groc.

Trobem un altre exemple a l'article de C. Foster "Avoiding Pythagores"
L'àrea marró és un terç de l'àrea de l'hexàgon groc.

Amb aquesta estratègia de dibuixar les línies auxiliars adequades podem descobrir propietats geomètriques molt interessants:

Exemple 4: si dividim els costats d'un triangle qualsevol en 2, 3 o 4 parts iguals i unim alguns dels punts obtinguts tal com es veu a la imatge, podem determinar quina fracció representen els triangles vermells respecte els triangles grans.

Unint la resta de punts de manera convenient queden determinats nous triangles que en compartir la mida de les seves bases i alçades tenen tots la mateixa àrea.
1er cas: Cada triangle petit  és ¼ del triangle gran, per tant, el triangle vermell és 1- ¾ = ¼ del triangle gran
2n cas: Cada triangle petit és 1/9 del triangle gran, per tant, el triangle vermell és 1- 6/9 = 1/3 del triangle gran
3er cas: Cada triangle petit és 1/16 del triangle gran, per tant, el triangle vermell és 1- 9/16 = 7/16 del triangle gran

Exemple 5: La regió taronja té per àrea dos novens de l'àrea de l'hexàgon (a partir de les línies auxiliars que apareixen en el 3r hexàgon es pot veure que la regió taronja n'ocupa 4 de 18)
Proposat per @matesymas
Les línies auxiliars no sempre són per dividir una figura en parts iguals entre sí tal com  ho veurem  en els següents dos exemples:

Exemple 5: en un octàgon regular si dibuixem dues diagonals com es veu a la imatge, l'àrea del rectangle és 1/2 de l'àrea total i les àrees dels trapezis 1/4 cadascuna.

Les línies auxiliars descomponen l'octàgon en 4 rectangles iguals (pintats de rosa) i 8 triangles iguals (pintats alguns de verd i uns altres de blau). Com el rectangle ocupa dos d'aquests rectangles i 4 dels triangles, la seva àrea és la meitat de l'àrea de l'octàgon i un argument anàleg es pot fer servir per relacionar les àrees dels trapezis amb l'àrea total.

Aquesta idea es pot extendre a altres polígons regulars de n costats (amb n parell): l'àrea del rectangle gris és 4/n de l'àrea total
http://www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/Vortrag97/Puzzle.pdf

Justificacions visuals
http://www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/Vortrag97/Puzzle.pdf
Solució inspirada en aquest tweet

Exemple 6: La següent imatge representa la justificació de que l'àrea del dodecàgon és 3/4 de l'àrea del quadrat que el circumscriu:


Més exemples: 
Aquesta mateixa setmana @Simon_Gregg va publicar aquesta prova visual que explica per qué el quadrat groc representa un cinqué del quadrat gran


El triangle groc té per àrea un cinquè de l'àrea del triangle equilàter a partir del qual es forma, unint un vèrtex amb un punt que triseca el costat oposat. 
Hi ha una demostració molt elegant a la pàgina 34 del llibre Math Made Visual: Creating Images for Understanding Mathematics de Claudi Alsina & Roger B. Nelsen. En aquest mateix llibre apareix com a exercici provar que l'àrea de l'Hexàgon vermell és dos cinquens de 'l'àrea del triangle equilàter a partir del qual es forma unint cada punt mig d'un costat amb punts que trisequen els altres costats.
L'espectacular pàgina GoGeometry és una font inesgotable d'aquest tipus de problemes. Com a mostra, us deixem només un parell d'exemples: